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1. Reflexión parcial
Vimos que cuando una cuerda tiene un extremo fijo la onda se refleja invertida (y esto genera onda estacionaria con un nodo justo en el extremo y con el siguiente nodo a media longitud de onda). A su vez, cuando una cuerda tiene un extremo libre la onda se refleja sin inversión (y esto genera onda estacionaria con un máximo en el extremo y su primer nodo a un cuarto de longitud de onda).
En la siguiente animación se ven ondas estacionarias en cuerdas con las distintas condiciones de contorno (los extremos que tienen una marca negra están fijos, y en los otros habría una especie de "lazo" que les permite subir y bajar libremente).
La primera hilera de la figura tiene cuerdas fijo-libre, la segunda libre-libre y la tercera fijo-fijo (que es la situación típica real de las cuerdas). En cada caso se observa el período (el ritmo de cambio) relativo de cada una de las situaciones.
¿Será posible imaginar alguna situación intermedia entre un extremo fijo y uno libre? Esto es, que el extremo se pueda mover, pero con dificultad, que esté frenado en su movimiento por algún tipo de rozamiento. De este modo no sería extremo libre, pero tampoco fijo. ¿Qué sucederá con la onda en esa situación?
Existen varias condiciones de contorno intermedias entre extremo fijo y extremo libre. De hecho, cuando intentamos crear una situación práctica viable que pudiera aproximarse a un extremo libre colocando un resorte pesado y uno liviano, se producía una reflexión parcial (no total), donde parte de la onda se reflejaba y parte se transmitía al siguiente resorte.
(Chequeo de comprensión hasta acá: Si la onda pasa de un resorte pesado a uno liviano, ¿Cómo se refleja la onda? ¿Lo hace con o sin inversión? ¿Cómo es la onda que se transmite respecto de la original?)
Situaciones posibles:
- Si se tiene un extremo fijo, la onda rebota invertida
- Si se tiene un extremo libre, la onda rebota sin inversión.
- Si una onda se propaga sobre una cuerda liviana que pasa luego a una cuerda más pesada (sería un extremo "casi" fijo), reflejará con inversión (como en un extremo fijo), aunque lo hará con menor amplitud, porque parte de la energía de la onda seguirá su trayecto inicial.
- Si una onda se propaga sobre una cuerda pesada y pasa luego a una cuerda más liviana (extremo "casi" libre), reflejará sin inversión (como en un extremo libre), aunque con menor amplitud, porque también parte de la energía inicial seguirá su camino original.
- Por último, si hacemos la experiencia uniendo dos cuerdas de igual masa, la onda que que pasa de una a otra cuerda idéntica no habrá reflexión de ninguna clase.
La siguiente figura muestra estos casos.
NOTA: Las imágenes sólo representan lo que sucede en un rango de tiempos breve (luego de que la onda atraviesa el punto de cambio de situación de restricción). Si el fenómeno se observa durante un poco más de tiempo habrá nuevas reflexiones en tres de los casos en los extremos fijos finales, Nos interesa, sin embargo, que comprendan lo que sucede con la onda frente a un cambio de medio de propagación (como el paso de un tipo de cuerda a otro).
Lo interesante de esta manera de mirar lo que sucede es que resulta posible imaginar que puede lograrse un tipo de extremo "semi fijo" o "semi libre" mediante algún tipo de artilugio técnico. Por ejemplo sumergiendo el anillo del último caso en aceite, de modo que no esté "tan libre". En ese caso se provocará una reflexión sin inversión de menor amplitud (más parecida al anteúltimo caso mostrado en la figura). En este caso la amplitud de la reflexión será menor, porque parte de la energía de la onda se consumirá debido al rozamiento viscoso del movimiento de la cuerda con el aceite.
Se la cuerda se une a un extremo fijo rebota invertida. Si está libre rebota sin inversión. Si está "casi fijo" rebota invertida pero con menor amplitud. Si está "casi libre" rebota sin inversión con menor amplitud.
Entonces, sería posible imaginar algún tipo de aceite de una densidad tal que "simule" un punto intermedio entre "casi libre" y "casi fijo", tal como el caso como en el caso de la hilera central de la figura anterior caracterizada como "restricción natural". En esa situación la onda no se refleja. Y esta idea es muy importante porque significaría que "la energía de la onda se absorbe" completamente. Sería la condición para conseguir un material "absorbente ideal".
Cuando la cuerda termina en un extremo fijo decimos que hay reflexión total con inversión.
Cuando la cuerda termina en un extremo libre decimos que hay reflexión total sin inversión.
Cuando la cuerda no cambia en el punto que estamos analizando (una cuerda unida a otra cuerda igual formando una más larga), decimos que no hay reflexión y que se produce "absorción total" de la energía. Obviamente, esto suena extraño porque no hay un punto claro en el cuál hacer el análisis ya que en realidad se trata de la misma cuerda. Pero intentar pensarlo de este modo organizará las ideas de lo que tenemos que comprender.
En los otros dos casos (cuerda pesada a livivana o viceversa) decimos que existe reflexión parcial.
Ejercicio:
Una onda se propaga hacia la derecha por una cuerda que está unida a otra cuerda. Cuando llega al punto de unión entre ambas cuerdas una parte se refleja y otra parte se transmite. La figura siguiente muestra un esquema de cómo resultan las ondas reflejadas y transmitidas. ¿Qué se puede decir respecto de las impedancias de ambas cuerdas?
Solución:
Cada vez que una onda se enfrenta a un cambio de medio hay una reflexión parcial. Este cambio de medio puede ser de una cuerda a otra, o en el caso del sonido de un medio a otro como cuando la onda sonora pasa del aire a un material poroso puesto sobre la pared.
La onda que continúa su propagación en el segundo medio siempre mantiene su orientación (nunca se invierte), pero la onda que se refleja puede hacerlo con o sin inversión dependiendo de la impedancia de ambos medios.
Para ayudar a recordar los casos podemos considerar los casos límite. Un extremo fijo en una cuerda sería equivalente a un segundo medio con altísima impedancia. En un extremo fijo en la cuerda la onda se refleja invertida. De modo que podemos usar esto para recordar que cuando la onda se refleja invertida es porque el segundo medio tiene mayor impedancia que el primero. La onda reflejada tiene menor amplitud y mantiene la misma longitud de onda. La onda transmitida, sin embargo cambiará su longitud de onda ya que en el 2do medio la velocidad de propagación es diferente.
En el caso de dos cuerdas que están unidas necesariamente tendrán la misma tensión. En este caso la impedancia de la cuerda se relacionará con la masa por unidad de longitud de la cuerda. Una segunda cuerda más "pesada" tendrá más impedancia (se parecerá más a un extremo fijo).
Aún puede obtenerse más información de ese esquema. Dado que ahora sabemos que la segunda cuerda tiene más impedancia, y que necesariamente ambas cuerdas tienen la misma tensión, eso quiere decir que la velocidad de propagación en la segunda cuerda será menor. Para ilustrar esto recordamos la ecuación de la velocidad de propagación en una cuerda.
Si µ (masa por unidad de longitud) es mayor en la segunda cuerda, esto quiere decir que estamos dividiendo la fuerza de la tensión F por un número más grande, lo que dará por resultado una velocidad menor. Si la velocidad de propagación es menor, entonces la longitud de onda será menor.
Es importante tener presente que cuando una onda cambia de medio no se modifica su frecuencia, pero como hay cambios de velocidad si se modifica su longitud de onda.
Respuesta: Debido a que hay reflexión con inversión puede concluirse que la impedancia de la segunda cuerda (azul) es mayor que la de la primera cuerda (gris). Por otra parte sabemos que la velocidad de propagación en el segundo medio será menor y que su longitud de onda deberá ser menor.
2. Impedancia relacionada con la propagación de una onda
La noción de impedancia se estudia en Electrónica. Pero es un concepto que trasciende el ámbito de la electricidad. Básicamente la noción de impedancia se relaciona con el tipo de efecto que produce una causa. Es posible definir una impedancia mecánica que relaciona una causa (una fuerza, por ejemplo) y un efecto (el tipo de movimiento provocado). No vamos a calcular numéricamente la impedancia en relación con una onda en una cuerda, pero es importante llevar a cabo algunas reflexiones de tipo conceptual. La noción de impedancia tendrá valor numérico cuando analicemos la impedancia de las ondas acústicas.
Conceptualmente podemos pensar que una alta impedancia implica que la cuerda se resiste a moverse ante una fuerza perturbadora. Esto es lo que sucede cuando la onda se propaga por una cuerda e intenta seguir propagándose sobre una cuerda más pesada. La cuerda más pesada se relaciona con una mayor impedancia, y el punto de unión entre cuerdas es un "cambio de impedancia" en la propagación de la onda. Un extremo fijo equivale a una impedancia infinita (no permite ningún tipo de movimiento y es el equivalente a una resistencia infinita en electricidad que no permite ningún tipo de corriente). Un extremo libre es impedancia cero. Cualquier fuerza por pequeña que sea provocará un desplazamiento importante cuando hay impedancia cero.
La noción muy importante a sacar como conclusión es que las ondas durante su propagación se enfrentan a un valor de impedancia (que es la de la cuerda en la que se propagan). La onda se propagará sin ninguna reflexión mientras no exista ningún cambio en la impedancia. Es como pensar que tienen la energía suficiente para mover ese tipo de cuerda. Si en un punto determinado hay un cambio de impedancia y la fuerza que están por aplicar en la nueva parte es más grande (o más chica) que la necesaria para continuar con la propagación de la onda, esto provocará que parte de la onda se refleje y que la otra parte se transmita.
Hay tres ideas importantes a partir de esto. La primera es que toda onda que se propague en un medio tendrá una "impedancia característica" propia. La segunda es que si comprendemos esto podemos generar artificialmente una impedancia (un tipo de resistencia al efecto provocado por la causa) tal que se comporte como nosotros estemos pretendiendo. Por ejemplo, si pensamos en una onda sonora y pretendemos que nada se refleje necesitamos crear una superficie que tenga la misma impedancia que el aire frente a la onda. Esto es fácil de decir, pero tecnológicamente no es tan fácil de lograr. De todas maneras tener claro qué es lo que sería necesario lograr es de gran ayuda cuando se intenta conseguir una superficie que tenga absorción perfecta. La tercera idea es que resulta posible pensar en reflexiones que invierten la fase de las ondas (cuando la impedancia del punto de cambio de medio es mayor) y otras que no invierten la fase (cuando la impedancia es menor). Esto también puede tener consecuencias de aplicaciones técnicas.
¿Cómo podríamos cambiar artificialmente la impedancia de una onda?
Veamos un ejemplo en lo que se conoce como "máquina de ondas". Se trata de una construcción pensada para el estudio y la enseñanza del comportamiento de las ondas. La siguiente figura muestra dos diferentes.
En una máquina de ondas se posible fijar la varilla del extremo para simular extremo fijo, dejarla libre o bien colocar algún tipo de dispositivo que "frene" el movimiento simulando cualquier estado intermedio entre ambos. De este modo podemos seleccionar impedancia nula, menor que la propia onda, exactamente la de la onda, mayor que esa o infinita. Para simular una impedancia variable es posible utilizar un dispositivo como el de la siguiente figura, donde un pistón se mueve dentro de un líquido viscoso. Se trata de un amortiguador, cuyo efecto de frenado puede variarse acercando o alejando el gancho donde hace contacto respecto del eje de la máquina de ondas.
Cuando una onda que se propaga se enfrenta a un cambio de impedancia (en este último caso sería el cambio de la impedancia propia de la propagación en la máquina de ondas, respecto de la impedancia agregada al final mediante el amortiguador), se produce una reflexión parcial. Hemos visto ya y recordamos aquí que cuando se produce una reflexión parcial se genera una onda estacionaria que no alcanza a tener nodos que valgan cero. Tendrá puntos de mínima amplitud y puntos de máxima amplitud donde la separación entre los mínimos (los nodos que en realidad no valen cero) será igual a media longitud de onda. La medición de los valores mínimos y máximos de amplitud que alcanza la onda estacionaria en diferentes puntos permite calcular la relación de onda estacionaria ROE, y con ella es posible obtener el coeficiente de reflexión.
Cuando hay adaptación de impedancias (esto es, la nueva impedancia alcanzada es igual a la de propagación anterior) no se genera ninguna onda estacionaria. En este caso en todos los puntos el máximo de variación alcanzado será la propia amplitud de la única onda que se propaga. El valor máximo y el valor mínimo son entonces iguales a la amplitud y en ese caso ROE = 1. El coeficiente de reflexión es cero, para esta situación:
Cuando la impedancia no está adaptada se produce reflexión parcial. En ese caso ROE será mayor que 1. Por ejemplo podría ser que el valor máximo fuese 6 y el mínimo 2, lo que daría
Si hay reflexión total, entonces el valor mínimo es cero y ROE teórico será igual a infinito. En ese caso el coeficiente de reflexión no se puede calcular con la cuenta que escribimos antes (porque requiere dividir infinito menos uno sobre infinito mas uno), aunque con matemática algo más avanzada puede mostrarse que sería Γ = 1. Esto último puede ser concluido por razonamiento, porque al fin y al cabo el coeficiente de reflexión Γ=0 implica que nada se refleja y Γ=1 implica que se refleja toda la energía.
NOTA 1: Presten atención a que del lado derecho de las ecuaciones mostradas el coeficiente de reflexión Γ figura con un par de líneas verticales que lo envuelven (tipo paréntesis). Cuando se escribe esto en matemáticas se dice que se está calculando el módulo de Γ (o de cualquier otra variable), lo que significa que sólo se obtiene el valor numérico sin signo. Esto se debe a que ROE es una medición práctica entre mínimos y máximos que no presta atención a la posición en donde se da ese mínimo o ese máximo. El signo de Γ hay que concluirlo en base a razonamientos sobre si hay reflexión sin inversión (Γ positivo) o si hay reflexión con inversión (Γ negativo). Observando la onda estacionaria también podría concluirse el signo de Γ. Si en el punto de cambio de medios hay un máximo, entonces se parece a un extremo libre y Γ es positivo. Si, por el contrario hay un mínimo, entonces se parece a un extremo fijo y Γ es negativo.
NOTA 2: Es algo molesto el modo en que fueron definidos los coeficientes ROE (Relación de Onda Estacionaria) y el coeficiente de reflexión Γ (letra gamma mayúscula), pero así fueron creados y forman parte de la jerga de las ondas en distintas áreas incluyendo la acústica. En la práctica será más utilizado el coeficiente de reflexión, pero ROE es el que se puede medir más fácilmente con un tubo de Kundt de medición de impedancias.
Para ayudar a recordar el significado numérico de ambos
2.1. Tipos de reflexión en una máquina de ondas
En esta sección veremos algunas demostraciones utilizando la máquina de ondas.
Primero vemos lo que sucede con un pulso cuando se refleja en un extremo libre.
Podemos notar que el pulso regresa con su misma amplitud y sin inversión.
Ahora veamos lo que sucede si el extremo queda fijo. En este caso hay reflexión total con inversión.
Veamos ahora qué sucede con ambos extremos libres si se envía un impulso desde el centro (que se propagará en ambas direcciones). Esta vez se muestra en cámara lenta. Observen el momento en que ambos pulsos se superponen, dando amplitud doble, y luego siguen su camino como si nada hubiera pasado.
En la siguiente experiencia se repite el pulso en el medio del sistema, pero esta vez se tiene un extremo libre y el otro fijo. Esto provoca inversión de una de las ondas reflejadas.
Puede notarse que en el momento en que ambos pulsos reflejados se superponen la onda es prácticamente nula, pero luego cada pulso sigue su camino.
Se muestra a continuación lo que sucede si se instala un pequeño motor que provoque una oscilación de tipo senoidal en un extremo. En este caso las reflexiones provocarán una onda estacionara.
La siguiente experiencia modifica el largo de la máquina de ondas (fijando una de las varillas cercanas a un extremo, logrando de este modo un extremo fijo calculado para que la onda estacionaria provocada se convierta en un modo de resonancia en las sucesivas reflexiones en ambos extremos. En este caso vemos que la amplitud de oscilación total es mayor.
2.2. Impedancias adaptadas y desadaptadas en la máquina de ondas
Con el fin de "adaptar impedancias", provocando que el extremo de la onda se comporte tal y como si la máquina continuara más allá de su extremo, se utiliza un elemento amortiguador construido mediante un pequeño cilindro con un líquido viscoso y un pistón.
Cuanto más lejos del eje de giro de las varillas se ubique este amortiguador, será mayor la impedancia. Hay que encontrar el punto justo que "emule" la impedancia propia de la máquina de ondas para lograr adaptar las impedancias y que no se provoque ningún tipo de reflexión. La siguiente experiencia muestra un resultado posible luego de adaptar impedancias.
Se nota una pequeña reflexión que es realmente mucho menos que el pulso original. El trabajo de encontrar la perfecta adaptación con este sistema mecánico y medianamente casero del amortiguador no es del todo sencillo. De todos modos, la conclusión a sacar sería que si se coloca un elemento que tenga la misma impedancia que la que se presentaría si la máquina de ondas continuase más allá del extremo, entonces no habría reflexión. Decimos en ese caso que las impedancias están adaptadas. Al proceso de evitar que existan reflexiones alterando la impedancia en el cambio de medio se lo conoce como "adaptación de impedancias" y tiene mucha importancia en varias áreas técnicas de transmisión de señales de audio y video.
Si se pone a prueba la transmisión de una onda senoidal continua en un sistema con impedancias adaptadas, no se formará onda estacionaria. En la experiencia vemos solamente una onda progresiva tal y como si la máquina de ondas no hubiese terminado en ese punto.
¿Qué sucede si colocamos el amortiguador de modo que la impedancia del extremo no esté adaptada, pero tampoco corresponda a un extremo fijo ni a un extremo libre?
En las experiencias que siguen se colocan unidas dos máquinas de onda, cada una con varillas de diferente longitud, lo que provoca una impedancia diferente. En las varillas de menor longitud la velocidad de propagación resulta mayor, para la misma frecuencia utilizada. Lo que se muestra a continuación es lo que sucede si se coloca la máquina de ondas que vimos antes con una que tiene varillas más cortas. Hay que comprender que en el punto de unión la onda sentirá un cambio de impedancia y por ello, parte se reflejará. Veremos que la energía que no se refleja (porque es sólo parcial la reflexión por el cambio de impedancias) se transmitirá continuando su camino en la segunda máquina de ondas. Esto se puede ver en la siguiente experiencia.
Puede notarse que parte del pulso se refleja y parte continúa su camino. También podemos notar que en la máquina de varillas más cortas el pulso se hace "más largo" porque allí la velocidad de propagación es mayor. En una onda senoidal continua esto daría por resultado una longitud de onda mayor.
Hacemos aquí una pregunta de chequeo de comprensión (que no responderemos). Hemos dicho antes que en la segunda máquina la velocidad es mayor, pero no hicimos ninguna comparación respecto de las impedancias (sólo dijimos que no están adaptadas). En base a lo que se observa en el fragmento de video anterior, ¿la impedancia de la máquina de varillas cortas es mayor o menor que la de varillas largas? (No sólo deben contestar cómo es, sino justificar en base a algo de lo que se ve en el video que permita sostener esa afirmación).
En las distintas áreas científicas e ingenieriles en las que se trabaja con ondas suele ser deseable que no existan reflexiones. Esto permite que toda o la mayor parte de la información se traslade del primer medio (máquina 1) al segundo medio (máquina 2) sin que se pierda energía que retorne a la fuente. Es posible en muchos casos agregar un elemento en el medio entre los dos medios que permita realizar una adaptación de impedancias. Esto es básicamente similar a lo que hace un transformador en circuitos eléctricos. No podemos explicar aquí por qué funciona de este modo el siguiente "transformador" pero podemos mostrar lo que sucede al colocarlo en su sitio.
En la siguiente experiencia se utiliza un "transformador de cuarto de onda" (así se lo denomina) que en este caso es un pequeño conjunto de varillas de longitud intermedia entre las dos que pretende adaptar y que tiene que tener exactamente una longitud de un cuarto de onda para funcionar correctamente.
La siguiente experiencia muestra cómo se comportan las ondas cuando este transformador está colocado entre ambos medios de propagación de las ondas.
Puede notarse en el primer medio una onda progresiva (sin reflexiones) y una onda progresiva también en el segundo medio con mucho mayor longitud de onda.
Este tipo de adaptación de impedancias es útil, pero tiene limitaciones. Funciona solamente para oscilaciones continuas y solamente para una frecuencia fija de oscilación (aquella que provoque que la longitud del transformador sea igual a un cuarto de la longitud de onda).
Existe otro modo de adaptar impedancias que funciona en un rango más amplio de frecuencias. Se trata de una serie de varillas que se colocan entre los dos medios y cuyas longitudes varían gradualmente entre las longitudes de ambas máquinas de ondas.
En la siguiente experiencia se muestra un pulso que pasa de un medio al siguiente con muy poca pérdida por reflexión.
Este segundo tipo de transformador no lograría eliminar por completo el rebote, sino atenuarlo mucho, pero tiene la ventaja de que sirve para un rango amplio de frecuencias. De hecho, no tenemos experiencias para mostrar lo que sucedería si cruzamos los dos últimos casos, pero les comentamos que si se envía un pulso teniendo un transformador de un cuarto de onda habría un nivel de reflexión importante. Un pulso (aunque visualmente lo notamos con una forma redondeada y le tenderíamos a atribuir una frecuencia) es una forma de onda compuesta y tiene muchas componentes de frecuencia. Todas las que no coincidan con un cuarto de longitud de onda en el transformador se reflejarán debido al cambio de impedancias.
NOTA 1: Todo lo mencionado se verifica para cualquier tipo de ondas. Se puede ir adelantando entonces algunas conclusiones sobre estas consideraciones y las ondas sonoras. Cada vez que una onda sonora que se propaga desde el aire choca con otro material se produce un cambio de impedancia. Esto implica que parte de la onda se reflejará y parte se transmitirá hacia el interior del material. Para que un material pueda absorber la onda en forma completa (sin que exista una reflexión) será necesario que la impedancia acústica del material sea igual a la del aire. Por el contrario, si queremos que todo se refleje será necesario que exista un cambio abrupto de impedancias. Un modo de lograr esto es con un material cuya impedancia sea casi infinita (azulejo, por ejemplo, donde casi toda la onda se refleja).
NOTA 2: Una consecuencia del análisis realizado en las secciones de esta clase es que toda onda que se propaga en un medio tiene asociado cierto valor de impedancia. Este valor se pone de manifiesto cuando la onda cambia de medios (que es cuando la impedancia cambia y esto provoca reflexiones). Esto quiere decir que existe cierto valor para la "impedancia acústica de propagación de una onda en el aire". Veremos esto con más detalle luego, pero es para ir haciéndose a la idea de que existe un valor de impedancia acústica del aire.
3. Ondas en tubos
Vimos en clases anteriores que existen ondas transversales y longitudinales. Las ondas en cuerdas son transversales, mientras que las ondas en tubos son longitudinales. Esto significa que la oscilación de cada punto en una onda sonora se realiza en la misma dirección en que la onda se propaga y esto dificulta la representación gráfica del fenómeno.
En la figura anterior se muestra en la parte de arriba la posición de las partículas de aire en un determinado instante (una foto) durante la propagación de la onda, y en la parte de abajo se muestra el estado de esas partículas cuando no hay onda propagándose.
¿Cuál es el problema de representación gráfica? Que en una cuerda el desplazamiento de las partículas de la cuerda es en el eje y, mientras que la onda se propaga en el eje x, por lo tanto es sencillo dibujar un gráfico tradicional de y en función de x, para un instante de la onda (una foto). Pero en el sonido, como ambas se propagan en el mismo sentido, ambos desplazamientos se producen en el mismo eje x. El gráfico que se utiliza en este caso representa en el eje x la distancia a la fuente emisora (una placa que vibra, por ejemplo), mientras que en el eje y se representa cuánto se corrió hacia la derecha la partícula respecto de su posición de equilibrio.
En la siguiente figura se representa nuevamente la posición de las partículas de aire en un instante de una onda senoidal que se propaga hacia la derecha provocada por la oscilación de una placa. Pero en este caso se han colocado justo debajo las posiciones en rojo de las partículas en su posición de equilibrio, uniendo cada partícula en equilibrio con ella misma desplazada.
En esta representación se completa una longitud de onda luego de 16 saltos de separación entre partículas. Las posiciones de las partículas que corresponden a la primera longitud de onda se numeraron para facilitar la descripción. Si les pregunto cuál es la partícula con mayor desplazamiento positivo), ¿qué responderían? No es muy fácil de detectar en este diagrama, pero por lo que puede verse el desplazamiento de las partículas 3, 4 y 5 es bastante similar (esto se debe a que los puntos cercanos al máximo de una senoidal tienen valores cercanos en cualquier senoidal). El máximo desplazamiento se producirá en este caso en la partícula 4. Pero convengamos que no sería nada fácil notar eso si no estuviesen las marcas rojas y las líneas de unión entre marcas negras y rojas. Pero el problema de representación es que normalmente se grafica en el eje horizontal (x) la posición donde debería estar la partícula en equilibrio (las rojas numeradas) y en el eje vertical (y) se representa cuánto se apartó de su posición de equilibrio.
La siguiente figura muestra un gráfico donde el eje horizontal indica la posición de equilibrio que debería tener cada partícula y la posición vertical indica cuánto se apartó de su posición de equilibrio (valores positivos cuando se desplazó a la derecha y negativos a la izquierda).
Nuevamente cabe mencionar que resulta muy difícil de imaginar cómo es este gráfico observando solamente la posición de las barritas negras. Esto es lo que corresponde al desplazamiento de las partículas, pero también podríamos estar intentado representar otra variable que va cambiando en las distintas posiciones y en los distintos momentos. Esta otra variable es la presión, que estaría representada por el "amontonamiento" entre partículas. Esta otra variable (presión) es un poco más fácil de "ver" observando simplemente las barritas negras. Si les pregunto cuál es la partícula que está sometida a mayor presión entre las de color negro (porque es la que tiene a sus dos vecinas laterales más cerca), claramente se ve que la mayor presión está en la partícula número 8. Sin embargo no es tan "visual" darse cuenta rápidamente cuál partícula es la que tiene presión cero. Porque en realidad presión sonora cero debería interpretarse como "separación entre partículas igual a la que tenían en la posición de equilibrio". La presión sonora es igual a cero cuando en la situación física las partículas mantienen entre sí una separación correspondiente a la presión atmosférica.
3.1. Presión sonora y desplazamiento de partículas
Lo que se discutió en la sección anterior nos lleva a notar que podemos representar dos variables distintas para la misma onda: la presión y el desplazamiento de partículas. Pero hay algo más importante aquí: en una onda progresiva la presión y el desplazamiento tienen una diferencia de fase de 90º. Se puede notar en el gráfico anterior que la partícula que tiene presión más alta es la número 8, y esta tiene desplazamiento cero (está justo sobre la marca roja).
En la figura anterior las amplitudes de presión y de desplazamiento son arbitrarias, sólo con el fin de ejemplificar lo que estamos contando. Hay que tener claro que se trataría de escalas diferentes (presión en pascales y desplazamiento en metros, con valores de micrómetros en realidad).
¿Por qué hay dos variables? En realidad en la cuerda también existían dos variables, pero la de desplazamiento es tan sencilla de observar y de medir que la otra queda opacada. Esa otra variable en cuerdas es tan poco común de ser utilizada que no tiene un nombre específico. Se trataría de una variación diferencial de tensión en la cuerda en cada punto (por efecto de estar deformada). En el aire existe una presión atmosférica de 101 300 pascales sobre la cual se montan las variaciones de presión sonora (que normalmente no superan los 2 pascales, esto quiere decir que son 50 mil veces menores que la presión atmosférica). En la cuerda existe la tensión de la cuerda (que calculamos previamente con la velocidad y la densidad lineal de masa) pero además existe una variación leve de tensión en cada punto de la cuerda donde se propaga la onda. Esta variación local pequeña de tensión sería el equivalente a la presión sonora y también tendría una diferencia de fase de 90º respecto del desplazamiento transversal de la onda. Pero resulta muy difícil de medir y tiene pocas aplicaciones prácticas, por lo que prácticamente no se lo tiene en cuenta.
¿Por qué en ondas sonoras se necesitan ambas variables? En principio porque ambas se pueden medir y ambas tienen efectos en los fenómenos de tipo sonoro. En realidad existen más variables posibles. En lugar de tomar en cuenta el desplazamiento de partículas en cada punto de la onda, podríamos considerar la velocidad de partícula (no la de propagación), o la aceleración de esa partícula. Pero sucede que estas tres (desplazamiento, velocidad y aceleración) tienen una relación matemática bastante directa, por lo que son "distintas caras de la misma moneda".
Al considerar ondas sonoras una variable siempre es la presión, pero la segunda variable a considerar más común en acústica es en realidad la velocidad de partículas y no el desplazamiento. Hay dos argumentos principales para esto. El primero es que la velocidad es más fácil de medir (los micrófonos de cinta responden a la velocidad de las partículas, por ejemplo). El segundo es que la presión puede asociarse a la tensión eléctrica y la velocidad de partículas a la corriente eléctrica, y ambas se relacionan entre sí con la noción de impedancia acústica.
No será necesario que todo el tiempo consideremos ambas variables, pero debemos tener en cuenta que ambas existen, y cuando las cosas se pongan complicadas de comprender tendremos que concentrarnos en ver si estamos hablando de presión, de desplazamiento o de velocidad. Por el momento continuaremos considerando presión y desplazamiento (más adelante pasaremos a tener en cuenta presión y velocidad)
NOTA: Es muy importante que presten atención a esto último. Las ondas sonoras pueden representarse mediante dos variables (que serían en cierta forma como dos caras de la misma moneda) donde una indica cómo varía la presión en cada punto y la otra indica cómo varía el desplazamiento desde el equilibrio en cada punto. En realidad, este segundo modo se reemplazará un poco más adelante por cómo varía la velocidad de las partículas en cada punto. El llamado de atención es porque cuando hablamos de una cuerda solamente hablamos del desplazamiento de sus partículas respecto del equilibrio como única variable.
Condiciones de contorno (extremos) para presión y para desplazamiento
La principal diferencia que encontramos entre estas dos variables es el modo en que se comportan cuando enfrentan un obstáculo que impide el movimiento de partículas (como una pared para una onda plana o un extremo cerrado en un tubo).
Por lo que vimos al analizar la máquina de ondas, la onda que se propaga por un medio lo hace en relación con una impedancia dada por el medio. Cuando esta onda se enfrenta con una pared fija, esto impone una restricción al desplazamiento de partículas (de modo semejante al que un extremo fijo imponía una restricción al desplazamiento de la cuerda). Esto quiere decir que si consideramos la variable "desplazamiento" para describir a la onda notaremos que para ella la pared será exactamente equivalente a un extremo fijo y por lo tanto se reflejará invertida. Dicho de nuevo, la onda de desplazamiento se refleja con inversión cuando choca con una pared. Esto provoca que justo en la pared exista un nodo de desplazamiento. Con los siguientes nodos ubicados a distancia de media longitud de onda.
Deberían recordar que cuando hicimos nuestras primeras reflexiones sobre las ondas sonoras dijimos que en la pared había un máximo de presión y que el primer nodo se encontraba a un cuarto de longitud de onda. ¿No es esto contradictorio con lo anterior?
En realidad no es contradictorio. La onda de presión se refleja sin inversión al llegar a la pared. Esto quiere decir que una vez establecida la onda estacionaria los nodos de presión y los de desplazamientos quedarán corridos en forma alternada.
Como sabemos que esto es un rompecabezas complicado de asimilar sugerimos mirar la siguiente animación para intentar ayudar a nuestra mente a digerir estos conceptos.
La onda estacionaria de color negro es la que corresponde a la descripción del desplazamiento izquierda-derecha de las partículas. La onda estacionaria de color rojo es la que corresponde a la presión sonora dentro de un tubo.
NOTA 1: Sugerencia para observar la animación anterior. Concéntrense en mirar los puntos de partículas dentro del tubo que están justo por encima del primer nodo de desplazamiento (curva negra). Verán que esos puntos no se mueven, y que los que están junto a ellos hacia la izquierda y la derecha se mueven en sentidos opuestos durante cada medio ciclo de la onda estacionaria. Observen además que justo esos puntos son los que mayor variación sufren porque pasan de estar muy apretados por sus vecinos (máxima presión positiva) a estar muy espaciados con sus vecinos (máxima presión negativa). Si luego de observar lo anterior pasamos a mirar los puntos que están encima de un máximo de desplazamiento (curva negra), veremos que esos puntos se mueven mucho. Durante medio ciclo hacia la derecha y durante el otro medio ciclo hacia la izquierda. Pero todos ellos están a igual distancia (la presión no varía y es la que corresponde a la presión atmosférica).
NOTA 2: Los micrófonos dinámicos omnidireccionales detectan presión sonora (ya lo discutiremos con más detalle), y los micrófonos de cinta detectan velocidad de partículas (y en el caso de la onda estacionaria, la máxima velocidad se produce en los puntos donde hay máximo desplazamiento). Esto quiere decir que si colocamos un micrófono de presión junto a la pared detectaremos máximo nivel de la onda estacionaria, pero con uno de cinta no detectaremos presión (o en realidad una muy baja). Separándonos un cuarto de onda de la pared la cosa se invierte: el micrófono de presión detectará un nodo y el de cinta un máximo.
4. Ondas estacionarias y condiciones de contorno
Tal como sucedía en las cuerdas, si ambos extremos están cerrados, cada extremo tiende a obligar a que ciertos puntos internos del tubo sean nodos de las ondas estacionarias que se producen por la reflexión en ellos. Cuando los nodos obligados por ambos extremos coinciden tenemos un "modo de resonancia del tubo". Esto ya fue analizado, pero solamente con presión. Lo que vemos a continuación es una animación que muestra ambas ondas estacionarias de presión y de desplazamiento en forma superpuesta.
La onda estacionaria de arriba dice "displacement of particles" (desplazamiento de partículas). Vemos allí que el desplazamiento es cero en ambos extremos (nodos de la onda estacionaria) y máximo en el centro para el primer modo de resonancia de este tubo.
La onda estacionaria de abajo dice "divergence from average pressure" (divergencia respecto de la presión promedio). Esto se refiere a la presión sonora, que es la diferencia respecto de la presión atmosférica normal. En este caso se nota que justo en los extremos cerrados la presión es máxima.
Condición de extremo abierto
Vimos que onda de presión se refleja sin inversión en un extremo cerrado (pared) y la de desplazamiento hace justo lo contrario. ¿Qué sucederá con un extremo del tubo abierto?
Cuando uno desconoce totalmente el tema de ondas (no ha sido sometido a la tortura de estas últimas clases) podría pensar que allí no han nada contra lo cual chocar, por lo tanto no debería haber reflexión. Sin embargo, en el extremo abierto de un tubo se produce una reflexión de la onda que está por salir del tubo.
Discutiremos lo que sucede con dos niveles de profundidad. El primer nivel es el más común de encontrar en las descripciones de los textos que hablan de tubos. El segundo nivel es un poquito más profundo, y al que nos podemos atrever gracias al trabajo previo de conceptualización de lo que sucede con las ondas en la máquina de ondas.
¿Qué sucede en un extremo abierto? (Primera aproximación)
Lo primero que tenemos que pensar es que cuando se genera un impulso de presión dentro de un tubo la onda comienza a propagarse, teniendo en claro que lo hace enfrentándose a la impedancia del sistema. Cuando la onda llega al extremo libre hay un cambio de impedancia, y sabemos por lo que vimos con la máquina de ondas que cada vez que hay un cambio de impedancias en el trayecto se produce una reflexión de la onda. ¿Será una reflexión con inversión o sin inversión?
Con lo que vimos que sucede con la presión y con el desplazamiento será necesario especificar más la pregunta. Al analizar lo que sucedía con un extremo cerrado comenzamos analizando lo que pasaba con el desplazamiento (ya que resultaba más sencillo porque una pared impide que las partículas que están junto a ella se desplacen). Seguiremos un camino similar: ¿La reflexión de la onda de desplazamiento de partículas se invierte o no se invierte en el extremo libre?
Un extremo abierto del tubo no impone ninguna restricción al desplazamiento de las partículas y por lo tanto se comporta de modo similar a un extremo libre de una cuerda. Esto provocará que exista una reflexión sin inversión del desplazamiento. En ese punto se producirá un máximo de desplazamiento y comenzará a formarse una onda estacionaria dentro del tubo con su primer nodo ubicado a un cuarto de onda del extremo abierto.
Tal como sucedió en el primer caso analizado, la onda de presión se comportará a la inversa. La onda de presión se refleja con inversión en un extremo abierto. Esto provocará una onda estacionaria con un nodo de presión en el extremo abierto, con el siguiente nodo a media longitud de onda hacia dentro del tubo.
Podemos explicar un poco más por qué sucede esto con la presión. El tema es que el extremo abierto del tubo está en contacto directo con el aire externo que está a presión atmosférica normal. Si tomamos como suposición aproximada que las variaciones de presión sonora dentro del tubo no tendrán suficiente capacidad como para provocar cambios en la presión atmosférica del ambiente externo al tubo podemos asumir que en el extremo abierto la presión atmosférica está fijada, y esto equivale a presión sonora cero. Dicho en otras palabras, en ese extremo abierto tiene que haber un cero de presión sonora que no es otra cosa que un nodo de la onda estacionaria de presión.
En un tubo cerrado-cerrado habrá máximos de presión y nodos de desplazamiento en ambos extremos, lo que nos lleva a la conclusión de que el largo del tubo tiene que ser igual a media longitud de onda de la frecuencia fundamental.
En un tubo abierto-abierto habrá nodos de presión y máximos de desplazamiento en ambos extremos, lo que también nos lleva a la conclusión de que el largo del tubo tiene que ser igual a media longitud de onda.
En un tubo abierto-cerrado se tendrá un nodo de presión y un máximo de desplazamiento en el extremo abierto, junto a un máximo de presión y un nodo de desplazamiento en el extremo cerrado. Esto tendrá un comportamiento similar al que se produce en una cuerda con un extremo fijo y otro libre. Se producen allí modos que sólo tienen armónicos impares. El primer modo se produce cuando la longitud del tubo coincide con un cuarto de longitud de onda. El siguiente en tres cuartos, y así siguiendo con valores impares de cuartos de longitud de onda.
Algunas conclusiones sobre esto último:
- El timbre de los tubos abierto-cerrado tendrá diferencias fundamentales de los abierto-abierto, debido a que el primero sólo tiene armónicos impares y el segundo
- Si se tiene un tubo abierto-abierto que produce una determinada frecuencia fundamental y se tapa uno de sus extremos se consigue un tono más grave (una octava más abajo), ya que pasa de resonar con media longitud de onda a resonar con un cuarto de longitud de onda.
El capítulo 5 del libro "Instrumentos Musicales: Artesanía y Ciencia" de Massmann y Ferrer llamado
"Oscilaciones de una columna de aire" describe detalles de este comportamiento. Es un libro muy claro en el modo de exponer los conceptos. Lo recomendamos para quienes crean que necesitan un refuerzo de lo explicado aquí o a los que les interese conocer un poco más de los instrumentos musicales. Describe el tubo básico en el capítulo 5 y luego dedica los siguientes dos capítulos a describir los vientos de madera y los vientos de metal.
Corrección del largo del tubo para determinar la frecuencia fundamental
Para que los cálculos mencionados en los párrafos anteriores sobre la frecuencia fundamental de emisión de un tubo con uno o ambos extremos abiertos se ajusten a los experimentos realizados con tubos es necesario que el diámetro del agujero sea mucho menor que la longitud total del tubo.
En realidad suele indicarse que es necesario hacer una corrección en la longitud antes de calcular. Esto quiere decir que después de medir la longitud del tubo hay que retocarla un poco para obtener lo que se denomina "longitud aparente" del tubo, y utilizar esta longitud aparente para calcular la frecuencia.
¿Por qué hay que efectuar esta corrección? Porque en realidad no es del todo cierto que en el extremo del tubo la presión tenga que ser exactamente cero (esto es, exactamente la presión atmosférica). Se ha propuesta una solución aproximada que suele dar buenos resultados que consiste en considerar que la longitud aparente del tubo (Laparente) que se utilizará para el cálculo es un poco mayor que la longitud real (Lmedida), tanto mayor cuanto mayor sea el radio del tubo. De este modo el cálculo de aproximación es el siguiente para un tubo con un extremo abierto
donde
Para el caso de un tubo abierto-abierto hay que agregar esta corrección en cada extremo y por lo tanto queda
4.1. Ondas estacionarias e impedancia
En la sección anterior vimos algo que llamamos primera aproximación a lo que sucede con un extremo abierto. Básicamente consiste en considerar que en el extremo abierto hay un nodo de presión y resolver todo como una cuerda. En un caso un poco más aproximado, el proceso sugiere considerar una longitud ligeramente superior a la medida, que se denomina longitud aparente, y que consiste en agregarle 0,6 veces el radio a la longitud medida por cada extremo abierto. Con esta corrección se procede como si con esta nueva longitud se tuviese nodos en los extremos y se calcula la frecuencia fundamental.
Veamos ahora una interpretación un poquito más profunda, apoyándonos en lo que vimos en la máquina de ondas.
En un extremo cerrado es indiscutible que hay un nodo de desplazamiento y por lo tanto un máximo de presión, a menos que el extremo esté cerrado por una membrana elástica en lugar de una pared rígida. Pero la suposición de que en el extremo abierto hay un nodo de presión sonora es una aproximación para facilitar el cálculo. Lo que en realidad sucede es que hay un cambio de impedancia. Hay una impedancia de la onda viajando dentro del tubo y hay otra impedancia de la onda viajando al aire libre fuera del tubo. Este cambio de impedancia provoca una reflexión parcial, con parte de la energía reflejándose y parte saliendo fuera del tubo. La impedancia de propagación en el aire libre es menor que dentro del tubo pero no es cero (luego conoceremos su valor). Esto provoca una reflexión parecida a la de un extremo "casi libre" en una cuerda. La onda de desplazamiento se refleja invertida por este cambio de una mayor impedancia a una menor.
¿Qué nos aporta esta nueva mirada? Nos dice que claramente que la onda reflejada tendrá menos amplitud (cosa que no sucede con un extremo cerrado) y que la energía que no se refleja se transmite al aire fuer del tubo (menos mal, porque la intención de un instrumento es que alguien pueda escuchar cómo suena).
Esta interpretación más compleja de lo que sucede no nos permite calcular (a nosotros en el curso porque requiere matemática más complicada), pero nos da una visión más amplia del fenómeno.
Las siguientes animaciones que realizamos con un programa de procesamiento de ecuaciones matemáticas de uso científico e ingenieril (MATLAB) muestra el caso de las reflexiones en tubos con distintas condiciones en los extremos.
Reflexión en un extremo cerrado y extremo libre
Los colores cálidos indican mayor presión que la atmosférica y los fríos menor.
Prestar atención a que en el tubo con extremo cerrado (izquierda) la la onda que avanza lleva adelante el color cálido y luego en la reflexión también el color cálido va primero. Por otra parte la intensidad de color es la misma luego de la reflexión.
En el tubo con extremo abierto se ve que la onda avanza con el color cálido adelante, pero luego la reflejada lleva el color frío adelante (porque la onda de presión se reflejó con inversión). Además se nota una pérdida de la intensidad en los tonos de la onda reflejada.
Frecuencia forzada en tubo cerrado-cerrado
Vemos un tubo cerrado-cerrado en el que se genera una excitación forzada que no coincide con ningún modo de resonancia. Notamos que en este caso no logra establecerse una onda estacionaria que se mantenga en el tiempo.
Onda estacionaria en tubo cerrado-cerrado
Vemos arriba un tubo cerrado-cerrado en el que se genera una excitación forzada prácticamente igual a la frecuencia del primer modo de resonancia, y debajo el caso en que la frecuencia forzada coincide con el segundo armónico
Si bien el caso del tubo cerrado-cerrado no tiene una aplicación en el desarrollo de instrumentos musicales resulta el más importante para analizar lo que sucede en salas y recintos. Pensemos que al fin y al cabo un recinto en el que estemos dentro para escuchar música no es otra cosa que un tubo cerrado-cerrado gigante. Veremos que el hecho de que la onda se propague en tres dimensiones agrega una serie de cuestiones, pero básicamente comprender lo que sucede en un tubo nos permitirá comprender los modos en recintos.
Onda casi-estacionaria en tubo cerrado-abierto
Se muestra el caso de una onda casi-estacionaria. En este caso y debido a que la reflexión es parcial no se logra una onda estacionaria como en el caso cerrado-cerrado. Las zonas blancas que muestra la animación son zonas con presión nula, y sabemos que en una onda estacionaria generada por una reflexión parcial no hay puntos nulos que se queden quietos, sino máximos y mínimos. El resultado total podría interpretarse como formado por una onda estacionaria ideal sumada a una onda progresiva de poca amplitud que se desplaza hacia la derecha. Esto provoca que no se llegue a ver las zonas blancas totalmente quietas. Los puntos negros dentro del tubo están ubicados aproximadamente donde existiría un máximo y un mínimo de variación de presión sonora total de la onda estacionaria que se establece dentro del tubo.
En la siguiente animación puede verse un punto negro que oscila en el lugar que corresponde al mínimo, y una zona marcada alrededor de la posición cero (equilibrio de presión). En la simulación anterior veríamos blanco cuando la curva roja pasa por la zona de equilibrio (cuando queda dentro del rectángulo largo y achatado). Ese punto que veríamos como blanco se mueve, mientras que el mínimo que oscila entre ligeramente rojizo y ligeramente azulado permanece en su lugar.
5. Tubo de impedancia (Kundt)
Con lo visto previamente en esta clase puede quedar más claro por qué se denomina tubo de impedancia al tubo de Kundt utilizado para medir muestras de materiales acústicos.
Lo que se hace en esos casos es utilizar un tubo donde se tiene un altavoz en uno de los extremos. El otro extremo se cierra pero no con una pared rígida sino con la muestra de material que se desea analizar. Cuando la onda progresiva alcanza la muestra a analizar se enfrenta a un cambio de impedancia. Por lo tanto se reflejará parcialmente generando una onda casi-estacionaria. Si medimos los máximos y los mínimos podremos determinar el coeficiente ROE, con ello determinamos el coeficiente de reflexión y a partir de allí se puede obtener el coeficiente de absorción de Sabine o el valor de impedancia de la muestra (estos dos temas serán trabajados más adelante).
Ejercicio de cálculo con relación de onda estacionaria ROE.
Ejercicio de ejemplo 1:
Se tiene una onda cuasi estacionaria en la que se mide Vmax = 1.7 y Vmin = 0.3. Determinar el coeficiente de reflexión Γ
Rta: ROE = Vmax/Vmin = 5.67
|Γ| = (ROE - 1)/(ROE +1) = 4.67/6.67 = 0.7
Esto significa que el 70% de la amplitud se refleja. Para determinar el signo de Γ debemos pensar en si hay reflexión invertida o sin inversión. Dado que hay un máximo contra la superficie del cambio de medios, eso quiere decir que se refleja sin inversión, y por lo tanto el signo de Γ es positivo.
Ejercicio de ejemplo 2:
Se tiene casi la misma situación, con una onda cuasi estacionaria en la que se mide Vmax = 1.7 y Vmin = 0.3. Determinar el coeficiente de reflexión Γ
Rta: ROE = Vmax/Vmin = 5.67
|Γ| = (ROE - 1)/(ROE +1) = 4.67/6.67 = 0.7
Esto significa que el 70% de la amplitud se refleja. Para determinar el signo de Γ debemos pensar en si hay reflexión invertida o sin inversión. Dado que hay un mínimo contra la superficie del cambio de medios, eso quiere decir que se refleja con inversión, y por lo tanto el signo de Γ es negativo.
Γ = - 0.7
Ejercicio de ejemplo 3:
Se tiene una onda estacionaria con coeficiente de reflexión Γ = 0,2. Determinar la relación de onda estacionaria (ROE)
Rta: Γ = (ROE - 1)/(ROE +1) = > (ROE +1). Γ = (ROE - 1)
ROE.Γ + Γ = ROE - 1 = > Γ+1 = ROE - ROE. Γ = ROE.(1 - Γ)
ROE = (1+ Γ)/(1 - Γ) = 1.2/0.8 = 1.5
NOTA: Veremos en otro momento que existe un modo de medir impedancia con onda cuasiestacionaria en un tubo utilizando un micrófono móvil, como en los ejercicios, y un modo de medirla con dos micrófonos fíjos (que analizaremos en otro momento).
5.1. Ejercicios sobre tubos y onda estacionaria
Ejercicio 1:
Se tiene un tubo cerrado-cerrado de 25 cm de longitud y 3 cm de radio. Calcular su frecuencia fundamental y la del primer armónico que le sigue en frecuencia que sea distinto de cero. Indicar si hay diferencias a tener en cuenta debido al radio del tubo.
Solución:
En un tubo cerrado-cerrado la presión será máxima en ambos extremos. La onda estacionaria de más baja frecuencia que puede formarse será cuando exista un nodo en el punto medio. Esto implica que entre el extremo izquierdo y el nodo habrá un cuarto de longitud de onda y entre el nodo y el otro extremo habrá otro cuarto de longitud de onda. La longitud total del tubo será igual a media longitud de onda para esta onda estacionaria.
L = λ/2 => λ = 2L
En toda onda su velocidad de propagación es igual a la frecuencia por la longitud de onda.
c = λ.f => f = c/λ
Pero como λ es igual a 2L en un tubo c-c queda
f1 = c/(2L) = 340/(2.0,25) = 680 Hz
En un tubo cerrado-cerrado los modos de resonancia se darán en todos los armónicos de la fundamental, por lo cual el siguiente armónico distinto de cero será exactamente el doble
f2 = 2.f1 = 1360 Hz
No hay que hacer ninguna corrección de longitud debido al radio del tubo, ya que eso se aplica a los extremos abiertos.
Ejercicio 2:
Se tiene un tubo cerrado-abierto de 25 cm de longitud y 3 cm de radio. Calcular su frecuencia fundamental y la del primer armónico que le sigue en frecuencia que sea distinto de cero. Indicar si hay diferencias a tener en cuenta debido al radio del tubo.
Solución:Primero resolveremos el caso ideal.
En un tubo cerrado-abierto la variación de presión de la onda estacionaria será máxima en el extremo cerrado y mínima en el extremo abierto. La onda estacionaria de más baja frecuencia que puede formarse será cuando exista un máximo en el extremo cerrado y un nodo en el extremo abierto. Esto implica que habrá un cuarto de longitud de onda entre ambos extremos.
L = λ/4 => λ = 4L
En toda onda su velocidad de propagación es igual a la frecuencia por la longitud de onda.
c = λ.f => f = c/λ
Pero como λ es igual a 4L en un tubo c-a queda
f1 = c/(4L) = 340/(4.0,25) = 340 Hz
En un tubo cerrado-abierto los modos de resonancia se darán solamente en los armónicos impares de la fundamental, por lo cual el siguiente armónico distinto de cero será exactamente el triple
f3 = 3.f1 = 1020 Hz
Al tener un extremo abierto, es necesario hacer una corrección de longitud del tubo. Esto se debe a que el caso ideal considera que en el extremo abierto la presión es cero, pero en realidad el tubo abierto no se comporta exactamente como si hubiese presión sonora cero en ese punto. La corrección más común en uso sugiere calcular la longitud aparente del tubo como la longitud real más un valor que depende del radio de abertura del tubo y que se calcula como 0,6.r
Laparente = L + 0,6.r = 0,25 + 0,6 . 0,03 = 0,268 m
Con estos valores corregidos se tendrá entonces
f1 = c/(4Lap) = 340 /(4.0,268) = 317,2 Hz
f3 = 3.f1 = 951,5 Hz
Ejercicio 3:
Se tiene un tubo abierto-abierto de 25 cm de longitud y 3 cm de radio. Calcular su frecuencia fundamental y la del primer armónico que le sigue en frecuencia que sea distinto de cero. Indicar si hay diferencias a tener en cuenta debido al radio del tubo.
Solución:Primero resolveremos el caso ideal.
En un tubo abierto-abierto la variación de presión de la onda estacionaria será cero (ideal) en ambos extremos abiertos. La onda estacionaria de más baja frecuencia que puede formarse será cuando exista un nodo en cada extremo. Esto implica que habrá un máximo en el centro y que la onda estacionaria que se establezca será tal que media longitud de onda será igual a la longitud del tubo.
L = λ/2 => λ = 2L
En toda onda su velocidad de propagación es igual a la frecuencia por la longitud de onda.
c = λ.f => f = c/λ
Pero como λ es igual a 2L en un tubo a-a queda
f1 = c/(2L) = 340/(2.0,25) = 680 Hz
En un tubo abierto-abierto los modos de resonancia serán todos los armónicos de la fundamental, por lo cual el siguiente armónico distinto de cero será exactamente el doble
f2 = 2.f1 = 1360 Hz
Al tener ambos extremos abiertos, es necesario hacer una corrección de longitud del tubo por cada uno de sus extremos. Esto se debe a que el caso ideal considera que en el extremo abierto la presión es cero, pero en realidad el tubo abierto no se comporta exactamente como si hubiese presión sonora cero en ese punto. La corrección más común en uso sugiere calcular la longitud aparente del tubo como la longitud real más un valor que depende del radio de abertura del tubo y que se calcula como 0,6.r. Como en este caso hay dos extremos abiertos, este valor debe sumarse dos veces.
Laparente = L + 0,6.r + 0,6.r = 0,25 + 0,6 . 0,03 + 0,6 . 0,03 = 0,286 m
Con estos valores corregidos se tendrá entonces
f1 = c/(4Lap) = 340 /(2.0,286) = 594,4 Hz
f2 = 2.f1 = 1188.9 Hz