3.1 - Ondas en cuerdas

Contenidos

1. Ondas en cuerdas

2. Velocidad de propagación de ondas en cuerdas

3. Reflexión de ondas en una cuerda con extremo fijo

4. Formación del timbre de una cuerda

5. Escala musical

5.1 Escala pitagórica y temperada

5.2 Ubicación de los trastes de la guitarra

6. Reflexión en cuerdas con "extremo libre"

1. Ondas en cuerdas

En el tema anterior estudiamos lo que sucedía con ondas unidimensionales entre dos paredes perfectamente reflectantes. La reflexión de una onda cualquiera contra una pared provoca una onda estacionaria, donde el primer nodo se establece a una distancia igual a λ/4 de la pared, con los demás nodos separados entre sí por una distancia igual a λ/2. Cuando hay dos paredes enfrentadas, dada una de ellas intentará imponer su propia distribución de nodos. Si los nodos que tiende a forzar cada pared coinciden en los mismos lugares se establece una onda estacionaria, si no coinciden se generan oscilaciones pero no hay refuerzo de la misma onda estacionaria en cada rebote y no se alcanza máxima amplitud. 

Esto nos lleva a concluir que sólo para algunas longitudes de onda (sólo para ciertas frecuencias) se establecerán ondas estacionarias que pasan a llamarse modos propios o modos de resonancia de esa situación experimental. Esos serían los modos de toda la escena (que incluye a las paredes y la distancia entre ellas). Si se cambia la distancia, se modifican los modos que pueden ser establecidos.

En las cuerdas también se generan ondas estacionarias, por un proceso semejante. Uno tiende a pensar en la oscilación de la cuerda como algo natural y obvio, pero donde nosotros vemos una cuerda que sube y baja entre sus extremos, un físico ve dos ondas viajando en direcciones opuestas y que dan por resultado final ese movimiento tan particular.

Cualquier persona no familiarizada con cuestiones físicas podría pensar que es una exageración intentar describir algo tan simple como la oscilación que observamos en una cuerda con algo tan complicado como la superposición de dos ondas que viajan en sentidos contrarios. Al fin y al cabo, ¿de qué otra manera podría oscilar una cuerda si sus extremos están fijos? ¿Tiene algún sentido forzar este movimiento que parece obvio para que "coincida" con lo que sabemos de ondas estacionarias? Suspendamos por un momento estas preguntas de sentido común para adentrarnos en la descripción que haría un físico respecto de por qué la cuerda oscila de esta manera.

Un físico diría que la cuerda es un medio elástico en el cual si se produce una perturbación (una especie de pellizco en algún punto), este se desplazará con cierta velocidad de propagación. El físico puede describir qué parámetros de la cuerda son los que afectan la velocidad de propagación de esta perturbación. Básicamente son la tensión y la masa por unidad de longitud, como veremos. En la cuerda se producen ondas transversales (los trozos de cuerda se mueven en una dirección que es perpendicular a la dirección de propagación de esta perturbación). Cuando estas ondas llegan a un extremo fijo, se reflejan y comienzan a propagarse en sentido contrario. Por lo tanto si se considera una cuerda infinita de un lado que termine en un extremo fijo, y se provoca una oscilación de frecuencia pura que genere una onda en dirección al punto fijo, después de unos instantes se superpondrán dos ondas que viajan en sentidos opuestos. Cada vez que esto sucede los físicos saben que se forma una onda estacionaria en la cual dos nodos sucesivos están separados entre sí por una distancia igual a media longitud de onda. 

Avancemos un paso más en la descripción. Si en el otro extremo también existe un punto fijo sosteniendo a la cuerda, también allí habrá reflexión y se establecerá un nuevo intento de distribución de nodos separados entre sí por media longitud de onda. Para cierta relación entre la longitud de la cuerda y la longitud de onda los puntos donde cada extremo tiende a establecer los nodos coincidirán y entonces se formará una onda estacionaria estable.

Volvemos a preguntarnos entonces, ¿tiene sentido dar una vuelta tan larga para llegar a concluir algo tan obvio como el tipo de movimiento que puede establecerse en una cuerda?

Si tiene sentido, porque esa larga vuelta nos aporta información que no aparecería en la descipción obvia que haría un observador respecto de la forma en que se mueve la cuerda al oscilar. Un físico con esta interpretación no solamente describe qué forma tendrá la oscilación, sino que establece una relación entre la longitud de onda y la longitud de la cuerda, y como la longitud de onda se relaciona con la velocidad y la frecuencia, surgen de allí algunas conclusiones que un observador casual no habría sido capaz de detectar.

1. La oscilación podrá tener formas tales que dos de los nodos de la onda estacionaria formada coincidan con los puntos fijos.

2. Cada una de estas maneras de oscilar tiene que tener una longitud de onda diferente (que será el doble de la separación entre nodos), por lo cual puede concluirse que cada una de esas maneras de oscilar tendrá una frecuencia diferente. Observando las distintas longitudes de onda posibles puede notarse que la segunda oscilación del gráfico anterior tiene que tener el doble de frecuencia que la primera, la tercera el triple de frecuencia, y así siguiendo. Esto habría pasado desapercibido ante el observador casual que pensó que el movimiento de la cuerda era algo obvio.

3. Si se modifica la longitud de la cuerda, manteniendo el resto de las características, la frecuencia de oscilación variará.,

4. Si mantengo estable la longitud de la cuerda, pero logro alterar la velocidad de propagación de una onda en esa cuerda, la frecuencia variará. Lo que lleva a pensar en que resulta importante conocer qué cosas pueden generan un cambio en la velocidad de propagación de la onda sobre la cuerda.

5. Un físico realizaría experimentos para determinar la velocidad de propagación de un impulso en la cuerda. Estudios de este tipo logran determinar que la tensión de la cuerda y su masa por unidad de longitud son las variables que determinan la velocidad de propagación.

Con todo esto a cuestas es posible construir una guitarra (o cualquier instrumento de cuerda). Eligiendo correctamente la tensión de la cuerda, su masa por unidad de longitud, y la longitud total que hay entre los puntos fijos, es posible controlar la frecuencia con que oscilará dicha cuerda.

Un físico concluiría además que dada una longitud de cuerda, una tensión y una masa por unidad de longitud de la cuerda, queda establecido cuáles serán sus modos de resonancia. El primer modo se producirá para una frecuencia fundamental que puede calcularse, a lo que se agregarán todos los armónicos de esa frecuencia.

2. Velocidad de propagación de ondas en cuerdas

La velocidad de propagación en cuerdas depende de la tensión de la cuerda (T en Newtons) y de su densidad lineal de masa (µ, o masa por metro). Esta relación está dada por la siguiente ecuación:

$v = \sqrt{\raisebox{1ex}{$T$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mu $}\right.}$

Veamos de que se trata esto...

Cuando a una cuerda que se encuentra en estado de equilibrio (a la cual consideramos perfectamente flexible e ignoraremos el efecto de la gravedad que tendería provocar una leve comba en la cuerda debido a su peso) se le aplica una tensión T, básicamente estamos ejerciendo una fuerza sobre ella. El resultado de aplicar esta tensión será la propagación de una perturbación sobre la cuerda. Dicha perturbación consiste en la variación de la forma de la cuerda a partir de su estado de equilibrio: los segmentos de la cuerda se mueven en una dirección perpendicular a la cuerda y por tanto perpendicularmente a la dirección de propagación de la perturbación. 

La tensión al ser una fuerza se mide en Newtons. El Newton es la unidad de fuerza en el Sistema Internacional de Unidades y se define como la fuerza que aplicada durante un segundo a una masa de 1 kg incrementa su velocidad en 1m/s. Esta definición se obtiene de la aplicación inmediata de la 2da Ley de Newton:

$F = m.a$

Donde m es la masa en Kg y a es aceleración en m/s².

Por otro lado, µ es la densidad lineal de masa de la cuerda y se calcula como µ = m/L, donde m es masa en kg y L longitud en metros. Es importante no confundir este concepto de densidad lineal con el concepto de "masa" a secas porque no representan la misma magnitud. 

Ejercicio 1:

Se tiene una cuerda de guitarra con tensión de 60 N y  µ = 0,00293 kg/m. Calcular la velocidad de propagación de una onda en la cuerda.

(Rta: 143,1 m/s)

Ejercicio 2:

Se tiene una cuerda de guitarra con tensión de 5 kg fuerza y  µ = 0,00293 kg/m. Calcular la velocidad de propagación de una onda en la cuerda.

(Rta: 129,3 m/s)

NOTA: Dado que la cuestión de tener que utilizar la fuerza en newtons suele ser un tema de confusión, volvamos a discutir alguna cuestión al respecto. En el habla cotidiana expresamos la fuerza en kilogramos, pero esto es una especie de "licencia poética". Un físico no se quejaría si en esa expresión en lugar de hablar de "kilogramos" decimos "kilogramos fuerza". Interpretada con todas las letras esta licencia poética y tomando como ejemplo una fuerza de "5 kilogramos fuerza", estaríamos diciendo algo así: "utilizaremos una fuerza tal que coincida con la fuerza peso que tendría una masa de 5 Kg en el planeta Tierra al nivel del mar". Parados sobre nuestro planeta, toda masa tiene un peso asociado que es siempre el mismo y por este motivo en el hablar cotidiano salteamos la conversión. El problema es que todas las ecuaciones están diseñadas para que utilicen la fuerza en newtons (N). Para convertir los "5 kilogramos fuerza" a su valor equivalente en newtons hay que multiplicar por la aceleración de la gravedad (9,81 m/s²). Esto sería como convertir en una ecuación a esa licencia poética mencionada antes. A efectos prácticos simplemente multiplicamos por 9,81 el valor expresado en kilogramos fuerza para obtener newtons. 

$F \left[N\right] = F\left[\stackrel{\rightharpoonup }{Kg}\right] . 9,81 \raisebox{1ex}{$m$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$s^2$}\right.$

La utilización de Kg con la flecha arriba es el modo en que un físico expresa en símbolos el término "kilogramos fuerza". En este ejemplo una fuerza de 5 kilogramos fuerza es equivalente a una fuerza de 49 N. Esto nos permite pensar que un "newton" es aproximadamente unos "100 gramos fuerza". Si la tensión de una cuerda de guitarra es de 60 N, quiere decir que estamos aplicando poco más de 6 kilogramos fuerza.

Basándonos en que sabemos calcular la velocidad de propagación en una onda en una cuerda de guitarra, podemos avanzar un poco más y pensar que una cuerda entre extremos fijos generará ondas estacionarias fijando los nodos de sus modos de resonancia. Con la velocidad de propagación y la ubicación de estos nodos puede determinarse la frecuencia y esto es lo que analizaremos en las secciones siguientes.

3. Reflexión de ondas en una cuerda con extremo fijo

En la sección anterior vimos que cuando tenemos una cuerda tensa cualquier perturbación provocada en la cuerda se propagará con determinada velocidad que hemos calculado.  En esta sección analizaremos qué sucede cuando esa perturbación o pulso de onda llega al extremo de la cuerda.

Empecemos por el caso donde uno de los extremos de la cuerda está sujeto a un soporte rígido, este caso lo llamaremos extremo fijo.

La onda incidente ejerce una fuerza sobre el soporte (en la animación sería el punto azul que se encuentra a la derecha) . La reacción a esta fuerza ejercida por el soporte sobre la cuerda, "recula" sobre la cuerda y genera una onda reflejada que viaja en dirección opuesta. Hay prestar especial atención a que la onda se refleja invertida (hacia abajo).

En el siguiente video se realiza una experiencia muy simple con un largo resorte. Lo interesante es estar atento para ver que la persona genera un impulso hacia la derecha, pero la reflexión de la onda luego de impactar en el extremo fijo regresa hacia la izquierda.

 

Reflexiones sobre este comportamiento:

• Cualquier perturbación que se propaga como onda transversal por una cuerda (o resorte) se reflejará invertido.
• Si consideramos un lapso de tiempo luego de la primera reflexión, sobre la cuerda existirán dos ondas viajando en direcciones opuestas. Sabemos que en ese caso se generará una onda estacionaria.
• Por otra parte, el extremo fijo no puede moverse y por lo tanto en ese lugar se establecerá necesariamente un nodo de la onda estacionaria. (En el caso de una onda sonora que refleja contra una pared, en la pared se establece un máximo de presión).
• El resto de los nodos se repartirán separados entre si por media longitud de onda.

En función de estas características, un físico diría que así como en el rebote contra una pared, la pared asegura un máximo de presión de onda y hay un nodo a un cuarto de lambda, en una cuerda un nodo está justo en el extremo fijo.

Para facilitar el razonamiento que sigue conviene considerar el caso de una cuerda infinita de un lado con un extremo fijo en el otro (para poder pensar solamente en una onda progresiva y otra regresiva evitando por el momento las sucesivas reflexiones). Esto generará onda estacionaria para cualquier frecuencia de oscilación, con nodos separados λ/2.  El extremo fijo impone condiciones al modo en que puede generarse la onda estacionaria (esto se conoce formalmente con el nombre de “condiciones de contorno”).

Cuando se limita el "lado infinito" de esta cuerda imaginaria colocando otro extremo fijo, sabemos que allí la onda regresiva volverá a reflejarse, tendiendo a generar una nueva onda estacionaria que tendrá un nodo en ese extremo fijo y con separación entre nodos de media longitud de onda.

Así, cuando ambos extremos estén fijos (la única situación razonable, pero aquí llegamos a ella por pasos), cada extremo fijo pretende que en ese punto exista un nodo de la onda estacionaria, y entonces las únicas ondas estacionarias que se podrán establecer en forma sostenida en el tiempo serán aquellas que tengan nodos que "justo" coincidan con los extremos fijos de la cuerda.

Estas ondas estacionarias estables (modos de resonancia) sólo se generarán para determinados valores de λ en relación con la longitud libre de la cuerda. 

NOTA: Esta "longitud libre" refiere a la parte de la cuerda que puede oscilar (por ejemplo, sabemos que en una la guitarra sobra un poco de cuerda que se enrolla en un cilindro para poder controlar la tensión, pero la longitud libre es la parte de la cuerda que puede oscilar y no "toda la longitud de la cuerda"). Lo que interesa para este análisis es sector de la cuerda (la longitud) que puede oscilar.

Los modos de una cuerda tendrán una frecuencia fundamental f1 determinada por la longitud de la cuerda, que se presenta cuando se genera la onda estacionaria de más baja frecuencia posible. Esto es, cuando los únicos nodos de la onda estacionaria coinciden con la separación de los extremos fijos. Además del modo correspondiente a esa frecuencia f1, se presentarán modos de resonancia en todos los múltiplos entreros de f1 (sus armónicos).

Esta idea permite llamar la atención de que esa longitud libre se puede variar presionando partes de la cuerda. Al presionar con el dedo la cuerda, acorto la longitud libre de oscilación (manteniendo la misma tensión de cuerda y la misma densidad de masa µ) por lo cual cambio intencionalmente la frecuencia.

Cuando la cuerda tiene trastes, esto ayuda a que los saltos de longitud estén predeterminados (en una guitarra, por ej.). Cuando no tiene trastes, es la posición del dedo quien determina la afinación correspondiente a la oscilación que puede establecerse en la cuerda libre.

La frecuencia de la cuerda se puede variar si se cambia la longitud (ubicación de los trastes) de una cuerda ya establecida en la guitarra, por ejemplo. Utilizar los trastes permite saltos en frecuencia a partir del primer modo de esa cuerda (llegando al doble de frecuencia cuando la posición del traste marca la mitad de la cuerda). Entres las secciones siguientes se verá el tema de escalas musicales.

Pero también hay que tener en cuenta que cada cuerda de la guitarra deberá tener frecuencias distintas para abarcar más octavas. La frecuencia del primer modo de cada cuerda se puede determinar por su densidad de masa y por su tensión. Ambas juegan, pero por un problema de diseño estructural es deseable que todas las tensiones de las 6 cuerdas sean más o menos las mismas (para no generar esfuerzos excesivos y poco simétricos respecto de la estructura de madera de la guitarra). Esto obliga a modificar la densidad de masa de las distintas cuerdas. En una guitarra española común tres cuerdas son de una clase (con diferente diámetro) y las otras tres tienen un entorchado para aumentar su masa. Cuando mayor sea la densidad de masa, menor será la frecuencia.

A continuación presentamos una tabla con la densidad lineal de masa y la tensión (en kilogramos fuerza) de cuerdas de guitarra. 

NOTA 1: Tener en cuenta que que para el cálculo la unidad de la tensión T es Newton (9.8 N = 1 Kg) por que que a los valores de T que aparecen en Kg deberemos multiplicarlos por 9.8 N para convertirlos en unidades de fuerza y poder usar la ecuación de velocidad vista en la sección anterior.

NOTA 2: En la columna donde se consigna velocidad figura v=1,3.f relacionando la velocidad con la frecuencia. Esto se debe a que la longitud de la cuerda es L = 65 cm = 0,65 m, y en toda onda la velocidad de propagación es v=λ.f, como el modo fundamental se establecerá con nodos entre los extremos y eso corresponde a media longitud de onda será v = λ.f =2-L-f (donde 2.L=1,3 m)

Ejercicio 3:

Con los datos de tensión y densidad lineal de masa de la cuerda LA de la guitarra, verificar que la frecuencia que se obtiene es la indicada en la primera columna.

Ayuda: Como la tensión está en kilogramos habrá que multiplicar ese número por 9,8 para pasar la unidad a newtons. Luego se aplica la ecuación y debería dar igual o muy cercano a lo que indica la columna de frecuencias

Ejercicio 4:

¿Qué longitud libre deberá tener la cuerda "LA" de la guitarra para generar una nota DO (cuya frecuencia es de 123 Hz)?

Ayuda: Para obtener la longitud libre (esto es, la parte de la cuerda que queda libre para oscilar) debo utilizar la ecuación que relaciona frecuencia, longitud y velocidad de propagación. De allí hay que despejar L. Tener en cuenta que aquí no se utiliza la velocidad de propagación de sonido en el aire sino la del impulso a lo largo de la cuerda.

Rta: = 58,1 cm

Ejercicio 5:

Supongamos que queremos cambiar la afinación de la guitarra, subiéndola un semitono. En ese caso necesitaríamos que la cuerda LA emita una frecuencia de 116.5 Hz. ¿Qué tensión tendrá en ese caso la cuerda de la guitarra? Expresarla en newton y en kilogramos fuerza.

Ayuda: La longitud de la cuerda es la calculada en el punto anterior. La masa es la misma (ya que no cambiamos la cuerda), por lo que puede obtenerse de la tabla
De la ecuación que relaciona velocidad, longitud y frecuencia hay que calcular la velocidad. Luego de la ecuación que relaciona velocidad con tensión y masa por unidad de longitud se despeja la tensión.
Rta: T = 59,72 N = 6,09 kg fuerza

4. Formación del timbre de una cuerda

Sabemos que las restricciones impuestas por los bordes determinan los lugares donde pueden existir los modos de resonancia, pero no nos dice nada aún sobre la intensidad de cada una de las frecuencias que componen los modos.

¿De dónde surge la diferencia de nivel de energía de cada modo que es algo clave para definir el timbre de una guitarra, por ejemplo?

Por un lado, los distintos modos tendrán diferente tipo de pérdidas de energía y esto influye en el factor de calidad Q. Las frecuencias más altas tienen mayor pérdida, por lo cual sus valores de Q serán cada vez más bajos. Sin embargo, esto no necesariamente significa que las amplitudes tengan que seguir obligatoriamente una secuencia decreciente, y no nos dice mucho respecto de qué ley regirá a esta secuencia de amplitudes de armónicos.

El tema podría pensarse del siguiente modo. Si lograse excitar la cuerda por igual en todas las frecuencias, entonces si podría suponerse que la curva de resonancia determinaría el nivel de amplitudes. Sin embargo, al tocar la cuerda (o frotarla) se está generando una excitación forzada que no necesariamente excitará a todos los modos con igual energía. De aquí se concluye que el modo de "tocar" la cuerda influirá en el timbre. No es lo mismo pulsar la cuerda con el dedo que con la uña o una púa, ni tampoco es lo mismo tocar la cuerda en el centro o cerca de un extremo. Cada una de estas situaciones desparramará la energía forzada de diferente manera sobre los modos de resonancia y provocará diferencias en el timbre.

Para ilustrar este fenómenos veamos detenidamente el siguiente video.

El siguiente link es para acceder al simulador que se utilizó en el video anterior sobre ondas en una cuerda. http://falstad.com/loadedstring/

A continuación puede verse la acción del arco de un violín sobre una cuerda en cámara lenta:

5. Escala musical

Las frecuencias de las notas musicales tienen una distribución logarítmica (no es lineal). Esto significa que la diferencia de frecuencias entre dos notas no es la misma en Hz, pero si es la misma en proporción.

Partiendo de un LA 110, las octavas serán 110, 220, 440, 880, 1760

La siguiente figura muestra la distribución en frecuencia con escala lineal en el eje horizontal y las octavas percibidas en la escala verticas (centradas en 440 Hz)

En las representaciones en frecuencia relacionadas con acústica y audio la escala horizontal se presenta en forma logartímica. En la siguiente animación se muestra cómo al deformar la curva azul hasta convertirla en una recta se obtiene en el eje horizontal una escala logarítmica

En una escala logarítmica, multiplicar por 2 una frecuencia implica pegar un salto hacia la derecha de igual longitud en la pantalla.

En una escala logarítmica cualquier desplazamiento será equivalente a multiplicar el valor de frecuencia por alguna constante. La división de una octava en semitonos quedará representada con saltos visualmente iguales en el gráfico, pero donde cada uno de esos saltos implicará multiplicar cada valor de frecuencia por una constante.

Partiendo de un LA 440,  los semitonos que siguen son 440, 466, 494, 523, 554, 587, 622, 649, 698, 740, 784, 830, 880. En la siguiente imagen se muestra un detalle de la escala logarítmica en frecuencias mostrando solamente los saltos entre 440 y 880, junto a los puntos rojos que marcan la frecuencia de los semitonos.

Las líneas de separación van juntándose hacia la izquierda porque es una escala logarítmica (ya deformada). Si vemos esta misma imagen en escala lineal, la separación entre semitonos es la que tendría diferentes separaciones.

En una escala lineal se puede notar que los saltos entre semitonos no son iguales.

Cómo se calculan las frecuencias de cada nota?

Las octavas son fáciles de obtener. A partir de una frecuencia se calcula el doble, y luego el doble de esta:    110, 220, 440, 880, ...

foctava = 2. finicial

Los saltos entre semitonos implican multiplicar por un número mayor que uno pero menor que 2. Llamemos q a ese factor que aún no conocemos.

Si partimos de una frecuencia f0, la f1 que es un semitono más alta será

f1 = q.f0

Si f1 está un semitono arriba de f0, será

f1 = q.f0

El siguiente semitono de frecuencia f2, estará dos semitonos arriba

f2 = q.f1

pero como f1 = q.f0, será

f2 = q² .f0

f3 será

f3 = q³ .f0

En general, fn será

fn = qⁿ .f0

Sabiendo que la escala musical occidental tiene 12 semitonos en cada octava, entonces subir doce semitonos tiene que ser lo mismo que multiplicar por 2.

f12 = q¹² .f0

pero también

f12 = foctava = 2.f0

Por lo tanto, es necesario que el factor q elevado a la potencia 12 sea igual a 2.

q¹² = 2

Despejando obtenemos que

$q=\sqrt[12]{2}=1,0595$

En general hay otra forma de expresar esta raíz que resulta más práctica a la hora de utilizar la calculadora. La raíces se pueden expresar como potencias con exponente fraccionario. La raíz doceava de algo es igual ese algo elevado a la (1/12).

$q=\sqrt[12]{2}=2^{\left(\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$12$}\right.\right)}=1,0595$

NOTA: Tener cuidado de no olvidar el paréntesis al hacer esta última cuenta en la calculadora. Debería quedar expresada de la siguiente forma  2^(1/12)

Si se conoce el valor de frecuencia correspondiente a una nota, y se quiere obtener la frecuencia que corresponde a un semitono por encima de esta hay que multiplicar por q. Si se desea obtener la frecuencia de 3 semitonos arriba de la original hay que multiplicar la frecuencia por q elevado a la 3.
Si, en cambio, se desea obtener un semitono por debajo de la frecuencia original, hay que dividir el valor de frecuencia por q, y si se desean 3 semitonos por debajo, la frecuencia se divide sobre q elevado al cubo.

Ejercicio 6:
Calcular la frecuencia que corresponde al primer semitono por encima de 440 Hz (La central del piano) y verificar si se obtiene el mismo resultado indicado previamente.

Ejercicio 7:
Calcular la frecuencia que corresponde al primer semitono por debajo de 880 Hz, y nuevamente verificar si se corresponde con el valor indicado previamente.

Ejercicio 8:
Partiendo del LA 440, obtener la frecuencia que corresponde a 5 semitonos más arriba y chequear esta información con los valores dados previamente.

Escala pitagórica y temperada

Los saltos en frecuencia entre dos notas se denominan “intervalos musicales”.

El intervalo de octava es el que clásicamente se considera más armónico, y resulta de obtener una frecuencia que es el doble (o la mitad) de otra tomada como referencia.

El siguiente intervalo considerado más armónico es el de la “quinta justa”. Una quinta justa es una relación entre dos frecuencias en la cual dos períodos de la más grave coinciden con tres períodos de la más aguda.

Pero aquí surge un inconveniente.

No es posible conseguir simultáneamente que los saltos de semitonos sean siempre los mismos (saltos iguales en escala logarítmica) y que la quinta justa sea exacta.

La quinta justa de un LA 440, tendría que obtenerse según este criterio de 2 y 3 períodos multiplicado 440 por 3/2 (o lo que es lo mismo, multiplicando por 1,5) y eso da 660. Si voy saltando por semitonos como los calculados el valor más cercano sería utilizando n=5, pero resulta que  q⁷ = 1,498. Muy cercano pero no es 1,5.

Uno podría pensar qué pasaría si estuviéramos inventando por primera vez la escala musical y probamos con otra cantidad de semitonos (por ejemplo, 13 o más). Si se hace la prueba con cualquier división de la octava en partes iguales, las opciones que más se acercan a que una de las notas esté cerca de 1,5 (la quinta justa) se produce cuando se utilizan 12 semitonos o múltiplos (como por ejemplo, 24 semitonos que es lo que utiliza en la música oriental

La siguiente imagen muestra los intervalos que tendrían diversas escalas probando con distinta cantidad de notas en la escala. La cantidad de notas por octava se muestra en el eje vertical. El eje horizontal es lineal (no logarítmico).

Las líneas rojas marcan 440 como base, luego 660 que es la quinta justa (que debería formar parte de la escala por una cuestión de consonancia) y 880 que es la octava. Puede verse que de toda la distribución la única cantidad de notas donde alguna de ellas se acerca mucho a 1,5 es la división en 12 partes iguales.

La “quinta justa” de las primeras etapas de la música occidental se correspondía con una frecuencia que era exactamente una vez y media mayor que otra. Esto es, 1,5.f0 ó bien (3/2).f0

La construcción de esa escala (de 12 semitonos también) se hacía progresivamente subiendo por quintas y luego bajando por octavas con el siguiente procedimiento. La idea es ir obteniendo las frecuencias que están entre 440 y 880 en este ejemplo. Se toma el LA 440, se asigna la nota que corresponde a una quinta justa (que es un MI) y se multiplica 440 por 1,5 lo que da 660. Se toma este MI como punto de partida y se sube una quinta justa (multiplicando por 1,5). Esto nos lleva a 990 que correspondería a una nota SI. Como esta frecuencia se salió del rango 440 a 880 que estamos intentando completar, se baja una octava (dividiendo 990/2) y se obtiene el SI 495. Se toma el SI como punto de partida para obtener la quinta y se sigue el mismo procedimiento hasta completar las dos notas. Este tipo de escala se asegura de tener quintas justas, pero los saltos entre semitonos una vez completada la escala dejan de ser iguales. Con este tipo de afinación no resulta posible cambiar de tonalidad a una melodía sin que se altere mucho. Esto es parte del motivo por el cual muchas obras clásicas enfatizan la nota base de la tonalidad.

En el siglo XVIII surge la propuesta de utilizar el criterio que aquí presentamos primero, que era dividir los saltos en partes iguales. Esto horrorizó a muchos personajes de la época que consideraban una especie de herejía alterar la escala musical. En esa época Bach compone su famosa obra "El clave bien temperado" (aludiendo a que utilizaba el instrumento musical con la afinación logarítmica con saltos iguales). Se trata de una obra audaz que cambia permanentemente de tonalidad, lo que hace imposible tocarla de un modo que suene razonable con la escala tradicional (pitagórica) y sólo tiene sentido musical si se utiliza la escala temperada.

Por lo que mencionamos previamente, la “quinta justa” de la “escala bien temperada” no se corresponde con una vez y media, sino con un valor cercano 2^(7/12) = 1,498.

Con la escala pitagórica:

-tengo quintas justas exactas

-los saltos entre semitonos no son todos iguales

-no puedo transponer las obras musicales de su tonalidad original

-

Con la escala bien temperada:

-no tengo quintas justas exactas

-los saltos entre semitonos son todos iguales

-puedo transponer las obras musicales

Cuando se divide el conjunto de cuerdas de guitarra en saltos marcados por los trastes, todos los saltos son iguales y esto lleva necesariamente a la afinación bien temperada (saltos iguales). Para lograra que una guitarra pueda afinarse utilizando la escala pitagórica (o alguna otra diferente  a la temperada, es necesario que las marcas de los trastes tengan una distribución diferente, como se muestra en las siguientes imágenes.

Guitarras con escalas alteradas

Ubicación de los trastes de la guitarra

En esta parte utilizaremos lo visto anteriormente para calcular la posición en que deben ir los trastes en una guitarra para obtener las frecuencias de los semitonos.

La longitud libre estándar de una cuerda de guitarra es de 65 cm. El primer traste debe colocarse de modo tal que cuando sea presionado deje una longitud libre tal que la frecuencia emitida corresponda a un tono más alto en frecuencia. Para esto la longitud deberá acortarse. Puede demostrarse a través de los cálculos utilizando la ecuación que relaciona longitud, velocidad y frecuencia, que si se desea subir la frecuencia multiplicando el valor de fo por q =2^(1/2) habrá que dividir la longitud de la cuerda por q para que emita esa misma frecuencia.

En la siguiente imagen L0 corresponde a la longitud libre total de las cuerdas (65 cm) y L1 corresponde a la longitud libre que deja oscilar el traste número 1.

Ejercicio 9:

Sabiendo que la longitud libre de una cuerda "al aire" es de 65 cm, calcular la longitud libre de una cuerda cuando se pulsa para que oscile apoyándose en el primer traste (L1).

Ejercicio 10:

Repetir calculando L2 (longitud libre correspondiente al segundo traste.

6. Reflexión en cuerdas con "extremo libre"

Un extremo libre en una cuerda es una construcción teórica, poco viable en la realidad, dado que  se necesitaría que la cuerda mantenga un valor de tensión, pero que su extremo no esté sujeto al desplazamiento vertical, pudiendo subir y bajar libremente. Sin embargo es posible imaginar situaciones que se podrían aproximar a estas condiciones ideales.

Una cuerda con extremo libre se representa imaginando que la cuerda está unida a un anillo que puede deslizarse sobre una barra vertical.

No resulta nada intuitivo predecir qué pasará con una cuerda con estas características. Lo que sucedería en un caso como este es que un pulso que llegase al extremo libre se reflejaría sin invertirse.

Existe una manera de poner a prueba experimentalmente esta situación. Claramente la representación que utiliza un anillo en una varilla no es viable, porque en cuanto la cuerda adquiera tensión el anillo ya no se deslizará fácilmente sobre la varilla. Sin embargo es posible crear una situación aproximadamente parecida a esta uniendo dos cuerdas, una bien pesada y la otra extremadamente liviana. La idea es generar una oscilación del lado de la cuerda pesada y considerar que el punto de unión con la cuerda liviana es en realidad el extremo libre. Cumple razonablemente con lo que necesitamos, que es que pueda oscilar en forma vertical, pero que permita además mantener la tensión de la cuerda.

En el siguiente gif animado se coloca un resorte con gran masa enganchado a un resorte de menor masa y puede observarse que en este caso la reflexión no se invierte. Hay que saber qué se espera observar, ya que la mayor parte de la onda sigue de largo hacia la cuerda liviana, por lo que la amplitud de la parte que se refleja es baja. Lo importante aquí es prestar atención a que se refleja en el mismo sentido que tenía el impulso original (hacia la derecha).

Para continuar el análisis seguiremos imaginando una situación ideal en la que pudiésemos tener un extremo libre perfecto en el que se reflejaría totalmente la onda incidente. Es una situación difícil de lograr experimentalmente, pero es más sencillo su análisis hasta comprender lo fundamental y  luego podremos ir aproximándonos a una situación real.

Esta particularidad de que tenga un extremo libre y que con ello se refleje sin inversión se asemeja a lo que observábamos en las ondas de presión al reflejarse contra una pared ideal. En el extremo, que ahora está libre de movimientos verticales, se obtendrá un máximo de la onda estacionaria que terminará formándose. Se produce entonces una onda estacionaria con un máximo en el extremo y con el primer nodo a λ/4 de ese extremo, manteniendo el resto de los nodos a λ/2.

Cuando se combina un extremo fijo y uno libre en una cuerda, las condiciones cambian debido a que cada extremo impone sus condiciones de contorno. El extremo fijo será un nodo y el siguiente nodo estará a λ/2, mientras que el extremo libre será un máximo y su primer nodo estará a λ/4, con los siguientes nodos separados entre sí por λ/2.

Veamos cuáles modos pueden presentarse. Las condiciones que se van a cumplir son las siguientes:

• En el extremo fijo habrá un nodo
• En el extremo libre habrá un máximo
• Un máximo y un nodo estarán separados por λ/4
• Dos nodos (si se producen) estarán separados por λ/2

Con estas condiciones, el primer modo de resonancia sería el siguiente

Donde puede notarse que la longitud libre de la cuerda coincide con λ/4. Con esta información y la velocidad de propagación en la cuerda puede determinarse la frecuencia del modo fundamental.

Pero en este caso no existe el segundo armónico. ¿Por qué? Porque cualquier situación que imaginemos donde la longitud sea igual a λ/2 obligatoriamente implica que en ambos extremos hay nodos o que ambos extremos están libres. El siguiente armónico que sí puede presentarse es el tercero.

A partir de ello podemos calcular que la longitud de la cuerda será igual a 3/4 de la longitud de onda. 

Esto corresponde a la frecuencia del primer modo y los demás serán múltiplos impares de esta frecuencia.

El modo de resonancia más bajo en frecuencia será tal que se genere un cuarto de la longitud de onda en el largo de la cuerda.

λ = 4.L

A partir de esto, su frecuencia fundamental será  f = v / (4.L)

Ejercicio 11: Se tiene una cuerda con un extremo fijo y el otro libre de longitud 0,65 m. La tensión es de 60 N y su masa longitudinal es µ = 2,93 g/m. Calcular la velocidad de propagación y la frecuencia fundamental.