2.2 - Ondas estacionarias unidimensionales

Contenidos

1.1 Ondas que viajan en sentidos opuestos
1.2 Interferencia constructiva y destructiva
2. Onda Estacionaria

2.1 Ejercicio numérico
2.2 Reflexiones sin inversión de fase

2.3 Ejercicio numérico
3. Coeficiente de reflexión(Gamma)

3.1 Medición experimental del coeficiente de reflexión

3.2 Ejercicio numérico

3.3 Relación de onda estacionaria (ROE)

3.4 Tubo de Kundt

4. Modos de Resonancia

4.1 Ejercicio numérico

1. Ondas que viajan en sentidos opuestos

Ya hemos visto lo que sucede cuando se superponen ondas unidimensionales que viajan en el mismo sentido. Utilizando dos fuentes emisoras (parlantes) y un receptor (micrófono), vimos que la posición de cada elemento genera cambios de fase. En la situación mencionada los cambios en la distancia entre fuentes provocan una diferencia de fase en la llegada al micrófono que provoca interferencia. Dependiendo de la frecuencia puede producirse interferencia constructiva o destructiva (o alguna situación intermedia). La distancia al micrófono agrega un desplazamiento de fase, pero este es igual para ambas fuentes y por lo tanto la diferencia de fase entre fuentes se mantiene igual. Una vez que se determinó la diferencia de fase provocada por la separación entre parlantes, es posible realizar una predicción sobre el tipo de señal que registrará el micrófono y se realiza con los mismos procedimientos que vimos al principio para superposición de oscilaciones.  Para saber si se producirá interferencia constructiva o destructiva es posible analizarla comparando la distancia entre parlantes con la longitud de onda emitida.

Veremos ahora lo que sucede cuando se superponen dos ondas que viajan en sentidos opuestos.

Trabajaremos sobre la siguiente situación de ubicación de parlantes y micrófono. Tanto los parlante como el micrófono que estamos utilizando en este experimento son ideales, en el sentido de que ambos parlantes son exactamente idénticos en comportamiento y el micrófono capta del mismo modo en ambas direcciones. 

La señal emitida por el parlante 1, deberá recorrer la distancia d_p1m hasta el micrófono y por lo tanto llegará con un retardo temporal t_p1m = d_p1m/c (donde c es la velocidad de propagación del sonido). Algo similar puede decirse de la señal emitida por el parlante 2, que será registrada con un retardo t_p2m. Los parlantes están ubicados a distancia entre sí, pero reciben la información de la señal eléctrica en forma simultánea y en fase. Que estén en fase quiere decir que cuando uno de ellos esté comenzando a aumentar la presión en las moléculas de aire que están junto al cono, el otro parlante estará también elevando la presión de las moléculas de aire cercanas.

 Si el micrófono estuviese ubicado justo en el centro entre los parlantes, el tiempo de retardo sería el mismo y ambas señales llegarían en forma simultánea (perfectamente en fase). Por otra parte, es importante prestar atención al hecho de que la señal registrada por el micrófono será exactamente la misma para ambos parlantes. El micrófono capta la oscilación que la onda viajera produce en el punto en el que se encuentra ubicado, y la variación temporal de esa oscilación será idéntica tanto para la onda que viaja hacia la derecha como para la que viaja hacia la izquierda.

En el ejemplo, las señales de ambos parlantes llegan con un retardo de 2,5 ms y se superponen en fase, dando lugar al doble de amplitud en la señal registrada.

Pero, si el micrófono se moviese un poco hacia la izquierda, la señal del parlante 1 llegaría un poco antes (porque ahora la distancia sería menor), y la del parlante 2 un instante después. Esto se muestra en la siguiente figura.

Vemos que en este caso la señal 1 llega un poco antes de 2,5 ms, y la señal 2 llega un poco después. Como resultado se produce una diferencia de fase en la señal registrada que produce una suma de oscilaciones desfasadas (en este ejemplo, el resultado es mayor que la amplitud de cada señal, pero no llega a ser el doble). Es importante prestar atención a que cuando la señal 1 se adelanta 0,25 ms, simultáneamente la señal 2 se atrasa 0,25 ms.

Si los parlantes estuviesen más separados, pero el corrimiento desde el centro del micrófono fuese el mismo de este último ejemplo, el resultado no cambia. La conclusión es que en esta situación la distancia entre parlantes no es importante (sólo provocaría una demora adicional, pero sería igual en ambas señales). Lo que resulta crítico es la diferencia entre las distancias de cada parlante al micrófono, o también (que es más sencillo de tener en cuenta), el desplazamiento del micrófono respecto del centro entre los parlantes.

1.1. Ejercicio numérico

Ejercicio 1:

Se tiene la configuración que se muestra en la figura con dos parlantes enfrentados y un micrófono que no está ubicado exactamente en el centro. Las distancias son las siguientes. Considerar que la velocidad del sonido es c = 340 m/s

Distancia entre parlantes:  d_p1p2 = 2 m

Distancia parlante 1 al micrófono:  d_p1m = 83 cm

a) Determinar el tiempo que tarda la onda 1 en recorrer la distancia entre parlante y micrófono

b) Determinar la distancia entre el parlante 2 y el micrófono d_p2m

c) Determinar el tiempo que tarda la onda 2 en recorrer la distancia entre parlante y micrófono

d) Determinar la diferencia entre tiempos de llegada al micrófono de ambas ondas

El resultado anterior equivale a una diferencia de fase temporal. Si se conoce la frecuencia de la onda es posible obtener una ecuación del resultado de la superposición atribuyendo fase cero a la onda que llega primero y esa fase temporal a la onda que llega en segundo lugar. 

e) Ambos parlantes son alimentados con una señal senoidal de 250 Hz (en fase). Convertir la fase temporal hallada en fase angular.

f) Suponiendo que las ondas no tienen decaimiento con la distancia y tienen amplitud A1 = A2 = 1 pascal. Determinar los valores de cada parámetro en las siguientes expresiones de la señal total que registra el micrófono

$y\left(t\right) = A_1.sen(2\pi .f.t)+A_2.sen(2\pi .f.(t+t_0\left)\right)$

$y\left(t\right) =A_1.sen(2\pi .f.t)+A_2.sen(2\pi .f.t+{\phi }_0)$

$y\left(t\right) =A_{total}.sen(2\pi .f.t + {\phi }_{total})$

t0 = ?

φ0 = ?

Atotal = ?

φtotal = ?

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Respuestas

a) 2,44 ms

b) 1,17 m

c) 3,44 ms

d) 1 ms

e) φ0 = π/2 radianes = 1,57 radianes = 90º

f) 

t0 = 1ms

φ0 = π/2 radianes = 1,57 radianes = 90º

Atotal = 1,4142

φtotal = π/4 radianes = 0,785 radianes = 45º

1.2. Interferencia constructiva y destructiva

Vimos que al ubicar un micrófono en el centro entre dos parlantes se obtiene un punto de máximo nivel (el doble de cada señal de parlante), dando lugar a interferencia constructiva. Al alejar un poco el micrófono del centro ambas señales comienzan a tener un desfasaje entre ellas.
Si continuamos acercando el micrófono al parlante 1 (con lo que lo alejamos del parlante 2), llegará un momento en el cual el retardo entre ambas señales coincidirá con medio período, y por lo tanto la señal registrada será cero, como se muestra en la siguiente figura.

 
¿Cuánto debemos desplazar el micrófono desde el centro para que se produzca esta cancelación? Debemos lograr que la diferencia total entre retardos sea igual a medio período. Para lograr eso hay que acercar el micrófono para que el retardo desde el parlante 1 sea un cuarto de período menor que al centro, y entonces el retardo desde el otro parlante será un cuarto de período mayor. Como resultado de esto, si movemos el micrófono una distancia igual a un cuarto de la longitud de onda hacia la izquierda, se producirá una cancelación. Lo mismo ocurrirá si movemos el micrófono desde el centro hacia la derecha una distancia igual a λ/4.

Si seguimos desplazándolo, la diferencia de fase seguirá aumentando. Cuando lleguemos a separarlo λ/2 la diferencia de fase será de un ciclo completo y habrá nuevamente un punto de interferencia constructiva.

Este proceso se repite. Cada avance de λ/4 de separación desde el centro alterna un máximo y un mínimo.
El efecto de lo que sucede con estas ondas todo el tiempo es algo semejante a lo que se muestra en la siguiente animación

En la parte de arriba se representan dos ondas que se propagan en sentido enfrentados. En la última fila se representa el resultado total de la superposición. La línea roja marca el punto central, Un micrófono puesto allí captaría el doble de amplitud de variación de presión sonora, pero si se lo desplaza λ/4, la variación del campo sonoro sería nula.

1.3. Ejercicio numérico

Ejercicio 2:

Se tiene la configuración que se muestra en la figura con dos parlantes enfrentados y un micrófono que no está ubicado exactamente en el centro. Las distancias son las siguientes. Considerar que la velocidad del sonido es c = 340 m/s

Distancia entre parlantes:  d_p1p2 = 2 m

Distancia parlante 1 al micrófono:  d_p1m = 66 cm

a) Calcular el retardo temporal entre ambas ondas para alcanzar el micrófono

b) ¿Para qué valor de frecuencia ese retardo provocará interferencia destructiva?

c) Calcular la longitud de onda asociada a la frecuencia del punto b)

d) Calcular la distancia del micrófono respecto del centro entre ambos parlantes

e) ¿Cuál es la relación entre la longitud de onda que se cancela y la distancia del centro hasta el micrófono? La intención es calcular λ/d. ¿Será esta una relación que valga la pena recordar?

Ayudas:

a) Obtener de los datos las distancias d1 entre el parlante 1 y el micrófono, y d2 entre el parlante 2 y el micrófono. Luego calcular el tiempo que tarda el sonido en recorrer cada una de esas distancias t1 y t2. Para obtener el retardo entre señales hay que calcular Δt = t2 - t1

b) Si ambas señales llegan con un retardo de valor Δt, para que haya cancelación este tiempo debería ser equivalente a medio período. Por lo tanto Δt = T/2. De donde despejamos el período y luego de allí obtenemos la frecuencia.

c) Para obtener la longitud de onda utilizamos la ecuación general de las ondas que relaciona la velocidad de propagación, su frecuencia y su longitud de onda.

d) Entendemos que aquí no sería necesaria una ayuda adicional. ¿A qué distancia está el micrófono de la mitad entre ambos parlantes? Llamemos a esta distancia dm para utilizarla en el siguiente punto.

e) Aquí sólo hay que calcular λ/dm (con la longitud de onda que se cancela y la distancia al centro). 

NOTA: El resultado obtenido en e) no es una casualidad. Siempre que en el centro existan dos señales en fase y que nos apartemos esa proporción de λ respecto del centro tendremos una cancelación. Piensen que si nos acercamos esa proporción de distancia hacia un parlante nos estamos alejando esa misma proporción de distancia del otro parlante, por lo que la diferencia entre ambos será el doble y esto, cuando lo calculen, tendrá sentido respecto de que estamos esperando una cancelación de la señal.

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Ejercicio 3:

Tomando en consideración la misma configuración general de parlantes y micrófonos, y considerando que se emite una onda de 1 kHz. 

a) Calcular a qué distancia del centro debe ubicarse el micrófono para provocar interferencia destructiva. NOTA; La distancia más cercana al centro, ya que puede haber varias

b) Calcular a qué distancia del centro se ubicará la siguiente posición que provoca interferencia destructiva.

Ayudas:

a) Si conocemos la frecuencia y la velocidad de propagación podemos calcular la longitud de onda. Por otro lado considerando el ejercicio anterior sabemos que a cierta distancia del centro (en proporción a la longitud de onda) se produce la primera cancelación. Esa distancia será en realidad la distancia entre un máximo (el central) y un nodo adyacente de la onda estacionaria que se forma. Sugerimos ayudarse observando la animación del final de la página anterior del este mismo libro en el que se ven dos parlantes enfrentados y la superposición de ambas ondas, para prestar atención a las ubicaciones de los nodos respecto del centro.

b) Para esto hay que pensar que si la distancia anterior correspondía a un nodo (el más cercano al centro), el siguiente nodo agregará una distancia igual a la separación entre dos nodos de una onda estacionaria.

1.4. Soluciones ejercicios 2 y 3

2a) Δt = 2 ms

2b) f = 250 Hz

2c) λ = 1,36 m

2d) dm = 0,34

2e) λ/dm = 4. Esto significa que dm es λ/4 (un cuarto de la longitud de onda). Si el mic está un cuarto de longitud de onda más cerca del parlante 1 que si estuviese en el centro, el mic estará un cuarto de longitud de onda más lejos del parlante 2 que si estuviese en el centro. Así la diferencia de distancias que corresponden a ambos parlantes será media longitud de onda, y este es el valor que provoca una cancelación.

NOTA: Las conclusiones del ejercicio anterior serían que si quiero obtener la frecuencia de cancelación en esa situación puedo elegir dos caminos. Uno es obtener las diferencias de tiempo de llegada de ambas señales, relacionar esto con medio período y obtener la frecuencia. El otro camino es calcular la diferencia de distancias recorridas y relacionar esto con media longitud de onda. A partir de allí se calcula λ y luego f.

3a) d = 8,5 cm

3b) d = 25,5 cm

2. Onda estacionaria

El resultado que mostramos al final de la sección anterior se denomina "onda estacionaria". Se produce cuando hay dos ondas de igual frecuencia viajando en sentidos opuestos.

El término "onda estacionaria" merece una aclaración. Para que una onda sea considerada "onda" y no "oscilación" es necesario que se propague. Esto es, que tenga una cierta velocidad de propagación. Bajo esa noción general el concepto de "onda estacionaria" parece una expresión contradictoria (como si intentásemos hablar de un "círculo cuadrado") porque la palabra estacionaria suena a algo "quieto", algo que no se propaga. El término estacionaria hace referencia a que sus puntos de mínima oscilación (nodos) se mantienen siempre en la misma posición. Son los nodos los que se quedan "estacionarios". Cada vez que un físico detecta que hay una onda estacionaria lo piensa como la superposición de dos ondas de igual frecuencia que se mueven en direcciones opuestas. Esto sería lo que permite salvar la aparente contradicción. Si hay propagación, sólo que de dos ondas en vez de una, cuyo resultado conjunto termina provocando que los "nodos" se mantengan en lugares fijos. De hecho, si de repente lográsemos "detener" la propagación de las dos ondas (impidiendo que tengan velocidad de propagación", la onda estacionaria deja de existir.

¿Sucede esto en la realidad con el sonido?

Para que esto suceda tal como en la animación anterior y se presenten puntos donde no exista variación de presión sonora se necesitarían dos parlantes idénticos en todo sentido (no siempre emiten con exactamente la misma potencia ni fase idéntica, porque ellos mismos actúan como filtros electromecánicos). Pero además hay que considerar que los nodos que mostramos previamente están más cerca de un parlante que del otro. La disminución del nivel sonoro con la distancia provocará que las dos ondas no se cancelen por completo. Por último, el efecto ideal se produce en un punto en el sentido matemático (sin dimensiones). La cápsula de cualquier micrófono tiene un tamaño y por lo tanto capta las variaciones de presión de una pequeña zona. Todo esto provoca que en una experiencia real se noten zonas de máximo y mínimo nivel sin llegar completamente a cero.

De todas formas el efecto es muy notorio, como puede notarse en el siguiente video

NOTA: Es un video muy antiguo con una cámara hogareña de hace varias décadas, por lo que tiene mucho ruido. Sugiero tener en cuenta esto para bajar el nivel de sonido en la reproducción 

NOTA: El audio del video corresponde al sonido que recibe el micrófono de la cámara y no al del micrófono cuya señal se envía al osciloscopio.

Si la fase se envía a cada parlante con una diferencia de 180º (π radianes), simplemente mediante el envío de una señal estéreo con uno de sus canales invertido, entonces en el punto central habrá cancelación en el caso ideal (y un nivel sonoro menor en caso real). El siguiente video muestra una experiencia en la que se genera un breve tono puro (burst) en forma repetida, pero alternando fases. Se coloca un micrófono en el centro entre los parlantes y se registra un máximo de nivel cuando las fases coinciden y un mínimo cuando están invertidas. Lo interesante a notar es que si se tapa uno de los parlantes con una mano, la variación de nivel es mucho menor. Lo que resulta llamativo es que hay momentos en que el sonido de uno de los parlantes se atenúa debido a que el otro también está emitiendo sonido. Es un caso de "sonido + sonido = silencio".

En los textos escritos no resulta sencillo representar esta situación sin poder apelar a una animación, por lo que suele representarse con todas las imágenes superpuestas de las distintas posiciones de la onda estacionaria.

Algunas conclusiones que vale la pena reforzar y recordar para más adelante:

• Dos ondas que viajan en sentidos opuestos generan una onda estacionaria (y viceversa, cada vez que veamos una onda estacionaria, será porque existen dos ondas viajando en sentidos opuestos)
• Los nodos y los antinodos (máximos de variación) se mantienen estables en determinadas posiciones fijas.
• El tipo de forma de onda que se observa en un instante cualquiera del movimiento de una onda estacionaria tiene forma senoidal (pero no se desplaza). La longitud de onda de esta senoidal fija (por ejemplo las líneas roja o azul de la última figura) tienen la misma longitud de onda que las ondas viajeras que la componen. 
• La distancia entre un nodo y el antinodo inmediato es λ/4.
• Puede concluirse entonces que si detectamos con algún instrumento la presencia de nodos, y medimos la distancia entre dos de esos nodos, sabremos que esa distancia equivale a media longitud de onda, y por lo tanto podremos determinar la frecuencia de las ondas que la componen.

Ejemplo de cálculo: Alguien utiliza un micrófono para detectar la ubicación de nodos de una onda estacionaria provocada por dos parlantes enfrentados. Encuentra que dos nodos consecutivos están separados entre sí por una distancia de 20 cm. ¿De qué frecuencia es el tono que está siendo emitido por los parlantes?

La distancia entre dos nodos es la mitad de la longitud de onda. Esto es, λ/2 = 20 cm = 0.2 m

λ = 2. 0,2 = 0,4 m

Supongamos que la velocidad del sonido es c=340 m/s. Sabemos que c = λ.f- Despejando la frecuencia obtenemos

$f = \frac{c}{\lambda } = \frac{340}{0,4}= 850 Hz$

2.1. Ejercicio numérico

Ejercicio 4

En una situación como la de la foto se mueve el micrófono entre dos parlantes que están emitiendo un tono puro. Se determina que la distancia entre dos nodos consecutivos es de 10 centímetros. 

a) Calcular la longitud de onda

b) Calcular la frecuencia que está siendo emitida por los parlantes

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Ejercicio 5: 

Respecto de la misma situación indicar a qué distancia estarían dos nodos consecutivos si la frecuencia utilizada fuese de 440 Hz.

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Ejercicio 6: 

Sobre la misma situación, calcular qué frecuencia debería utilizarse si se desea que los nodos sucesivos se encuentren a 25 cm de distancia.

Rta ejercicios:

4a) λ = 0,2 m

4b) f = 1700 Hz

5) d = 38,6 cm

6) f = 680 Hz

2.2. Reflexiones sin inversión de fase

Es perfectamente posible generar ondas estacionarias con un sólo parlante. Simplemente hay que colocar un parlante a cierta distancia de una superficie reflectante y apuntar directamente hacia ella. Las ondas emitidas por el parlante se reflejarán contra la superficie y comenzarán a recorrer el mismo camino en sentido inverso. Si el parlante está provocando una oscilación continua, entonces se tendrán dos ondas propagándose en sentidos contrarios y necesariamente tendrán la misma frecuencia ya que en realidad se trata del producto de la misma señal.

Tal como sucede con las imágenes en un espejo, la pared reflectante provocará el mismo efecto que si hubiera un parlante "reflejado" en esa pared y que se encuentra a la misma distancia pero "detrás" de la pared. En ese sentido puede pensarse a la pared como el punto medio entre dos parlantes que están a igual distancia. Por lo tanto, justo en la pared habrá un antinodo de la onda estacionaria. A una distancia de λ/4 se encontrará el primer nodo, con otro salto de λ/4 se tiene otro antinodo y así siguiendo. Si solamente contabilizamos los nodos tendremos que el primero se encuentra a λ/4 de la pared y el resto se encuentran separados entre sí por λ/2.

NOTA: Todos los cálculos y las conclusiones sobre la propagación del lado izquierdo de la imagen serán idénticos si suponemos que existe una pared perfectamente reflectante o que existe otro parlante ubicado a igual distancia de la pared pero detrás de ella.

En la animación anterior se puede ver un micrófono que se encuentra a una distancia d = ³/₄ λ, en el que hay interferencia destructiva. La frecuencia utilizada en la simulación fue de 400 Hz, con una velocidad de propagación de c=340 m/s, lo que da una longitud de onda λ = c/f = 0,85 m. La distancia del micrófono a la pared es d = 0,6375 m, poco menos de 64 cm.

Si el micrófono se mantiene fijo a esa distancia y se modifica la frecuencia de emisión los nodos se desplazarán, por lo que el micrófono captará más o menos nivel según la frecuencia. El resultado de este registro será equivalente al de un filtro peine, donde la primera frecuencia de cancelación se producirá cuando la longitud de onda provoque justo el primer nodo en la ubicación del micrófono (d = λ/4, que en este caso se correspondería con una longitud de onda λ=4.d = 2,55 m, y a una frecuencia f = 133 Hz. Tal como vimos previamente si se emite ruido blanco el espectro de la señal registrada por el micrófono captará la forma de la función de transferencia haciendo visible el filtro peine. Vale la pena notar que si bien llegamos aquí a la conclusión de que se comporta como filtro peine debido a la existencia de ondas estacionarias, también lo podríamos haber pensado desde la lógica del retardo. La señal que pasa por el micrófono de la onda que viaja hacia la derecha desde el parlante debe recorrer el camino de ida a la pared y luego el de regreso, para alcanzar al micrófono con un retardo que será el que provoca el efecto de "filtro peine".

2.3. Ejercicio numérico

Ejercicio 7:

Un parlante emite una onda de frecuencia 500 Hz en forma perpendicular a una pared reflectante. 

a) ¿A qué distancia de la pared se encuentra el primer nodo?

b) ¿A qué distancia de la pared se encuentra el segundo nodo?

Ayudas:

a) Justo la pared será equivalente a la posición media entre los dos parlantes de los ejercicios anteriores. La distancia a la pared será igual a la distancia entre el centro y el primero nodo que calculamos previamente.

b) El segundo nodo se encontrará media longitud de onda más alejado que el primer nodo.

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Ejercicio 8:

Sobre la misma situación anterior. ¿Qué frecuencia habría que utilizar si se desea que el primer nodo se encuentre a 10 cm de la pared?

Ayuda: Sabiendo la distancia entre la pared y el primer nodo, puedo sacar alguna conclusión respecto de cuál debería ser la longitud de onda. Con ese dato puedo obtener la frecuencia.

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Ejercicio 9:

Sobre la misma situación anterior. ¿Qué frecuencia habría que utilizar si se desea que la distancia entre dos nodos sucesivos sea igual a 10 cm?

Ayuda: En toda onda estacionaria la distancia entre dos nodos sucesivos permite conocer la longitud de onda. Con este dato puedo obtener la frecuencia.

Respuestas:

7a) d = 17 cm

7b) d = 51 cm

8) f = 850 Hz

9) f = 1700 Hz

3. Coeficiente de reflexión (Γ)

El coeficiente de reflexión expresa la relación entre la amplitud de la onda reflejada y la que incide sobre la superficie. Se suele utilizar la letra griega gamma mayúscula (que es como una T mayúscula que sólo tiene el lado derecho de la barra superior). Una pared perfectamente reflectante tiene un coeficiente de reflexión igual a 1. Si, por ejemplo, la amplitud de la reflexión es la mitad que la de la onda incidente, el coeficiente de reflexión es Γ = 0,5.

$\Gamma = \frac{A_{reflejada}}{A_{incidente}}$

¿Qué sucede con la onda estacionaria cuando el coeficiente de reflexión es menor que 1?

Si el coeficiente Γ es menor que uno, eso significa que la onda que viaja hacia la derecha sería mayor que la que se refleja viajando hacia la izquierda. Al analizar lo que sucede en el registro por parte de un micrófono ubicado a cierta distancia, se producirá una superposición de dos oscilaciones de igual frecuencia, distinta fase y "distinta amplitud". 

En ese caso, lo que se recibe en el micrófono sería equivalente a una ecuación como la siguiente, donde se supuso un coeficiente de reflexión Γ = 0,75

$y\left(t\right) = 4.sen(2.\pi .400.t+{\phi }_1) + 3.sen(2.\pi .400.t+{\phi }_2)$

Las amplitudes se relacionan con el coeficiente de reflexión. Las fases dependerán de la posición del micrófono respecto de la pared. Al mover la posición del micrófono habrá lugares en los que la diferencia de fase entre ambas oscilaciones sea de 180º. Pero como las amplitudes no son iguales en ese caso no habrá cancelación total. Pero si pensamos en los fasores notaremos que uno tendrá una fase y el otro esa misma fase más 180º (o menos 180º, que es lo mimso), por lo que serán dos fasores que están en la misma dirección y sentidos opuestos. Esto quiere decir que la amplitud resultante será la resta de las amplitudes.

En las posiciones correspondientes a interferencia destructiva se tendrá entonces la mínima amplitud que será

$A_{min}= A_{incidente} - A_{reflejada} =4 - 3 = 1$

Si ahora pensamos en otras posiciones en las cuales la diferencia de fases sea igual a 360º (o cualquier múltiplo de 360), tendremos que los fasores se dibujarán en la misma dirección y mismo sentido. Esto significa que se sumarán sus amplitudes, dando por resultado A_max = A_incidente + A_reflejada = 4 + 3 = 7.

En las posiciones correspondientes a interferencia constructiva, se tendrá la máxima amplitud dada por

$A_{max}= A_{incidente} + A_{reflejada} =4 + 3 = 7$

Esto significa que si intentamos dibujar la onda estacionaria (en el espacio que separa al parlante del micrófono, y no en el tiempo), tendremos una especie de forma senoidal que sube y baja sin llegar a cero.

Comparemos lo que sucede con distintos coeficientes de reflexión. Mostramos primero una animación con Γ = 1, que nos da la onda estacionaria que vimos originalmente. Luego mostramos una animación con Γ = 0,75, que genera esta nueva situación en la que nunca se alcanza un valor nulo en ningún punto.

coeficiente de reflexión Γ = 1

coeficiente de reflexión Γ = 0,75

Podemos ver en esta segunda animación que la onda estacionaria ya no parece ser estacionaria. No hay nodos y la onda compuesta sube y baja su nivel a medida que avanza (lentamente) hacia la derecha. Sin embargo, se la sigue llamando estacionaria. Si bien no hay nodos sus puntos de mínima amplitud (y los de máxima amplitud) siguen ubicados en los mismos lugares que el caso que estudiamos inicialmente. Esto no es fácil de notar en la animación que muestra el comportamiento de la onda, pero si hacemos algo parecido a "dejar abierto el obturador" de una cámara fotográfica para tomar una imagen que muestre superpuestas las distintas posiciones de una onda, veríamos lo siguiente.

Se puede notar que los puntos de máxima amplitud de variación de la presión sonora podrían ser captados por micrófonos que estuviesen a distancia igual a λ/2, o el doble, o el triple de esta distancia. En modo más general diríamos que a distancias iguales a n.λ/2 (para cualquier valor de n entero). De modo similar los puntos de mínima variación de nivel de presión sonora se encontrarán a una distancia igual a λ/4, o 3 veces esa distancia, o 5 veces esa distancia. Formalmente se encontrarán a distancias igual a n_impar.λ/4. Si el valor que multiplica a λ/4 fuese par, coincidiría con los puntos de máxima amplitud.

La siguiente figura muestra en forma simultánea la envolvente de la onda estacionaria que se forma en el espacio (a lo largo del eje x) y los diagramas de tiempo que se obtendrían en distintas posiciones.

3.1. Medición experimental del coeficiente de reflexión

Cuando el coeficiente de reflexión Γ de una superficie reflectante es menor que uno, se forma una onda estacionaria que nunca llega a tener amplitud cero, pero que tiene una amplitud máxima y una mínima en distintos lugares fijos (distintas distancias de la superficie). Pero sabemos además que la amplitud máxima es la suma de amplitudes de ambas ondas (la que incide en la superficie y la que se refleja). También sabemos que la amplitud mínima es igual a la resta entre la amplitud de la ondas.

Donde

$A_{max}=A_{incidente}+A_{reflejada}$

$A_{min}=A_{incidente}-A_{reflejada}$

Esta relación es muy importante, porque resulta que moviendo el micrófono por los distintos puntos podemos detectar los valores de A_max y de A_min, mediante una medición muy simple. Una vez que tenemos esa información medida, podemos despejar de las ecuaciones anteriores para averiguar los valores de A_incidente y de A_reflejada, y con ellos obtener el coeficiente de reflexión Γde la superficie.

Dicho en otras palabras, este es el procedimiento experimental para medir el coeficiente de reflexión de una superficie. Adelantamos además que existe una relación entre este coeficiente de reflexión y el coeficiente de absorción de Sabine, de modo que este mismo procedimiento experimental para determinar los niveles máximos y mínimos de la onda estacionaria se utiliza para medir la absorción de una muestra de material en laboratorio.

Ejemplo numérico

Veamos mediante un ejercicio numérico cómo se despejan las ecuaciones anteriores. Tomemos el ejemplo previo (ya sabemos todos los valores, pero servirá de guía para entender el proceso). Si medimos la amplitud máxima y mínima con un micrófono, obtendremos que A_max =7 y que A_min = 1. La tarea consiste en hallar el coeficiente de reflexión Γ de esa pared.

Partimos de las ecuaciones que ya conocemos

$A_{max}=A_{incidente}+A_{reflejada}$

$A_{min}=A_{incidente}-A_{reflejada}$

Las sumamos término a término. Esto es sumamos el lado izquierdo del igual y el lado derecho del igual. Como eran igualdades, el resultado de sumarlas sigue siendo una igualdad.

$A_{max}+A_{min}=A_{incidente}+A_{reflejada}+A_{incidente}-A_{reflejada}$

Puede notarse que A_reflejada se cancela, porque primero se suma y luego se resta. Entonces nos queda

$A_{max}+A_{min}=2.A_{incidente}$

De donde podemos despejar la amplitud de la onda incidente

$A_{incidente}=\frac{A_{max}+A_{min}}{2}$

En nuestro ejemplo será

$A_{incidente}=\frac{A_{max}+A_{min}}{2}=\frac{7+1}{2}=4$

Para obtener la onda reflejada, utilizamos un truco muy semejante. En lugar de sumar las ecuaciones iniciales, las restamos.

$A_{max}-A_{min}=A_{incidente}+A_{reflejada}-(A_{incidente}-A_{reflejada})$

$A_{max}-A_{min}=A_{incidente}+A_{reflejada}-A_{incidente}+A_{reflejada}$

En la primera línea al final hay un menos antes del paréntesis. Al quitar el paréntesis se invierten los signos de lo que está dentro y queda A_reflejada con signo positivo (restamos algo negativo).

Como resultado, ahora se cancela la amplitud incidente y queda que A_min - A_max es igual a dos veces la amplitud reflejada. Despejamos A_reflejada y obtenemos

$A_{reflejada}=\frac{A_{max}-A_{min}}{2}$

En nuestro ejemplo sería

$A_{reflejada}=\frac{A_{max}-A_{min}}{2}=\frac{7-1}{2}=3$

Ahora podemos calcular el coeficiente de reflexión

$\Gamma =\frac{A_{reflejada}}{A_{incidente}}=\frac{3}{4}=0,75$

¿Qué significado tiene esto? Un coeficiente de reflexión igual a 0,75 me dice que la onda que se refleja tiene el 75% de la amplitud de la onda que incide sobre esa superficie. Esto puede ser útil para otras consideraciones posteriores.

3.2. Ejercicio numérico

Ejercicio 10:

Se coloca un parlante enfrentado a una pared que no es ideal (no refleja el 100% de lo que incide). Se emite una onda de 500 Hz con la intención de generar una onda estacionaria. Se mueve un micrófono a lo largo del recorrido de la onda y se detectan lugares donde hay un valor máximo de amplitud de presión de 1 pascal y otros lugares donde hay un valor mínimo de amplitud de presión igual a 0,2 pascales.

a) Indicar a qué distancia se producirá el primer valor mínimo de presión desde la pared

b) Indicar a qué distancia se producirá el primer valor máximo de presión desde la pared.

c) Calcular el coeficiente de reflexión Γ de la pared.

Ayudas:

a) La distancia donde está el mínimo será igual que la que se calcula para los nodos de una onda estacionaria ideal, como en los ejercicios anteriores.

b) Sobre la pared se produce un máximo siempre. El siguiente máximo estará a la distancia que hay entre dos máximos en una onda estacionaria.

c) Si se conoce el máximo valor y el mínimo, puede utilizarse una ecuación mostrada previamente que permite calcular el coeficiente de reflexión.

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Ejercicio 11:

Respecto de una situación similar a la anterior, reemplazando la pared por otra diferente cuyo coeficiente de reflexión es Γ = 0.6. La amplitud de la onda incidente es de 1 pascal.

a) Calcular la amplitud de la onda reflejada

b) Calcular la presión mínima que se detectaría si se recorre la zona con un micrófono

c) Calcular la presión máxima que se detectaría si se recorre la zona con un micrófono

Ayudas:

a) Si se conoce la amplitud de la onda incidente y el coeficiente de reflexión, puede calcularse la amplitud de la onda reflejada.

b) La mínima presión que se detecta en esta onda estacionaria será igual a la resta entre la amplitud incidente y la amplitud reflejada.

c) La mínima presión que se detecta en esta onda estacionaria será igual a la suma entre la amplitud incidente y la amplitud reflejada.

3.3. Relación de onda estacionaria (ROE)

Se denomina relación de onda estacionaria, o ROE, al resultado de la división entre la amplitud máxima y la amplitud mínima. En algún texto puede aparecer la versión de las siglas en inglés como SWR (Standing Wave Ratio). Si bien lo que veremos aquí es conceputalmente idéntico a lo de la sección anterior, este es el modo formal que aparece en las normas de medición.

El tema es que nosotros obtuvimos el coeficiente de reflexión a partir de calcular con los valores de A_max y de A_min, pero en realidad alcanza con saber la proporción entre ambos. Dicho de nuevo, no importa cuánto vale cada uno, sino que lo que necesitamos saber es la proporción exacta que hay entre ellos. Por eso formalmente se utiliza el valor de la relación de onda estacionaria que es una medida de la proporción entre ellos.

Es un coeficiente algo incómodo por el modo en que está definido ya que divide el valor de la amplitud máxima sobre el de la mínima. Esto quiere decir que si llegásemos a tener una onda estacionaria "ideal" provocada por una pared que refleja en forma perfecta toda la energía. entonces la amplitud mínima sería cero y el coeficiente ROE tendería a infinito. Ups!!!!

Personalmente no habría elegido definir el coeficiente de este modo, pero es la manera en que fue elegido y ya es parte de la jerga técnica. El tema es que esta relación se definió para temas relacionados con la comunicación, en donde se pretende que no exista reflexión porque eso significa pérdidas. Una reflexión total es igual e muchísimas pérdidas ya que nada llegaría al receptor. El coeficiente ROE se definió de modo que cuanto más alto sea su valor, más perdidas de comunicación implica.

Describiremos a continuación los pasos para repetir lo anterior, pero ahora en función del coeficiente ROE

$ROE =\frac{A_{max}}{A_{min}}$

De la sección previa sabemos que la relación entre las amplitudes máxima y mínima en función de las amplitudes incidente y reflejada.

$ROE =\frac{A_{max}}{A_{min}}=\frac{A_{inicidente}+A_{reflejada}}{A_{inicidente}-A_{reflejada}}$

Por otro lado sabemos que 

$\Gamma = \frac{A_{reflejada}}{A_{incidente}}$

Operando matemáticamente con esas dos ecuaciones es posible obtener una expresión que relaciona directamente la relación de onda estacionaria con el coeficiente de reflexión.

$\mathit{R}\mathit{O}\mathit{E}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{\Gamma }}{\mathbf{1}\mathbf{-}\mathbf{\Gamma }}$

Si se conoce el coeficiente de transmisión, puede obtenerse el valor de ROE (proporción entre valor máximo y mínimo de amplitud de onda estacionaria). Esta ecuación es de uso común en Comunicaciones , donde normalmente se conoce el coeficiente de transmisión de cierto dispositivo y se pretende tener una medida de qué tan bueno en cuanto pérdidas resulta. 

En Acústica será más común el proceso inverso, en relación a generar una onda estacionaria, medir su ROE (obteniendo el máximo y el mínimo con un micrófono) para utilizar luego estos valores n el cálculo del coeficiente de reflexión.

Para esto último hay que despejar el coeficiente de reflexión de la ecuación anterior. Con un poco de malabarismo adicional al que ya hemos realizado se llega a determinar que

$\mathit{\Gamma }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{R}\mathbf{O}\mathbf{E}\mathbf{-}\mathbf{1}}{\mathbf{R}\mathbf{O}\mathbf{E}\mathbf{+}\mathbf{1}}$

Esta es la ecuación que deben tener presente, junto a las definiciones iniciales de Γ y de ROE.

Ejemplo numérico:

Para medir el coeficiente de reflexión de una placa se hace incidir una onda sobre ella en forma perpendicular. Se realiza un recorrido con un micrófono para determinar el valor máximo y el valor mínimo de presión sonora de la onda estacionaria generada. Se detecta un máximo de 0,7 pascales (91 dB_SPL) un mínimo de 0,5 pascales (88 dB_SPL). Calcular el coeficiente de reflexión de la placa

Solución:

Con los valores de amplitud máxima y mínima se calcula el valor de ROE

$ROE =\hspace{0.17em}\frac{A_{max}}{A_{min}}=\frac{0,7}{0,5}=1,4$

Con este valor se calcula el coeficiente de reflexión

$\Gamma = \frac{\mathrm{ROE}-1}{\mathrm{ROE}+1}=\frac{1,4-1}{1.4+1}=\frac{0.4}{2,4}=0,167$

Esto significa que esa placa refleja ondas con un 16,7% de amplitud respecto de la onda incidente.

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Pasos matemáticos para obtener la relación entre ROE y Γ

NOTA: El fragmento de texto que sigue muestra cómo hacerlo pero no resulta imprescindible para seguir leyendo, se puede pasar a la siguiente sección rápidamente.

De la definición de Γ puede despejarse Areflejada = Γ.Aincidente

De esta manera el factor del numerador (arriba) de la división de ROE podría expresarse como

$A_{incidente}+A_{reflejada}=A_{incidente}+\Gamma .A_{incidente}=A_{incidente}.(1+\Gamma )$

Algo semejante puede hacerse con el denominador

$A_{incidente}-A_{reflejada}=A_{incidente}-\Gamma .A_{incidente}=A_{incidente}.(1-\Gamma )$

Volviendo a la definición de ROE, quedaría

$ROE =\frac{A_{max}}{A_{min}}=\frac{A_{inicidente}+A_{reflejada}}{A_{inicidente}-A_{reflejada}} = \frac{A_{incidente}.(1+\Gamma )}{A_{incidente}.(1-\Gamma )}$

Simplificando A_incidente arriba y abajo queda la expresión final

$\mathit{R}\mathit{O}\mathit{E}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{\Gamma }}{\mathbf{1}\mathbf{-}\mathbf{\Gamma }}$

Por último, para obtener la ecuación que se utiliza en acústica hay que despejar Γ. Para ello pasamos multiplicando (1 - Γ) y seguimos operando

$(1-\Gamma ).ROE = 1+\Gamma$

$1.ROE - \Gamma .ROE = 1+\Gamma$

$1.ROE - 1 =\Gamma .ROE + \Gamma .1$

$ROE-1 =\Gamma .(ROE+1)$

y por último pasamos (ROE+1) dividiendo

$\mathit{\Gamma }\mathbf{=}\frac{\mathbf{R}\mathbf{O}\mathbf{E}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{1}}{\mathbf{R}\mathbf{O}\mathbf{E}\mathbf{+}\mathbf{1}}$

3.4. Tubo de Kundt

El tubo de Kundt es un dispositivo ideado en 1866 que permite visualizar ondas estacionarias en un tubo transparente. Fue pensado para estudiar ondas estacionarias y para medir la velocidad del sonido. En la actualidad se sigue utilizando una versión algo modificada para medir la impedancia acústica de algunos materiales (y con ello la absorción de Sabine, por ejemplo). La versión actual suele denominarse tubo de impedancias.

¿Cuál era la idea de utilizar un tubo para medir la velocidad del sonido? Si se utiliza un tubo cerrado en un extremo y se coloca una fuente sonora (un parlante, por ejemplo) en el otro extremo que genere una onda senoidal, se producirá una reflexión en el extremo cerrado y con ello se generará una onda estacionaria. La distancia que separa dos nodos consecutivos será igual a λ/2.  Al tratarse de un tubo se eliminan además otros problemas como interferencia de ruidos externos y además dentro del tubo no se produce la caída de nivel de 6 dB cada vez que se duplica la distancia, como analizaremos más adelante.

El siguiente video (8 minutos) muestra una experiencia donde se realiza esta medición.

En la época de Kundt no se disponía de sistemas electrónicos que permitieran utilizar micrófonos ni parlantes, por lo que la versión de Kundt utilizaba algún tipo de pequeñas partículas de muy poco peso distribuidas en el fondo del tubo (corcho molido o telgopor, podría servir). En ciertos lugares las partículas de aire oscilarán con un desplazamiento máximo y en otras con un desplazamiento mínimo (nulo en el caso ideal). En los lugares donde no exista desplazamiento las partículas no se moverán, mientras que las que estén en zonas de máximo desplazamiento serán empujadas. Como consecuencia de ello quedarán en el fondo del tubo trazas que tendrán una separación igual a media longitud de onda.

Los tubos de impedancia acústica no son normalmente transparentes. Disponen de dos micrófonos para medir diferentes niveles de amplitud de presión provocados por la onda estacionaria y obtener la relación de onda estacionara ROE. Con esta información se puede calcular el coeficiente de reflexión Γ, y con ello el coeficiente de absorción del material para esa frecuencia (o la impedancia acústica como veremos más adelante). La siguiente figura muestra un tubo de impedancias comercial.

4. Modos de resonancia

En esta sección vincularemos el tema de las ondas estacionarias que se generan cuando hay reflexión de ondas, con el tema de resonancia mencionado al estudiar oscilaciones. Hemos mencionado también que si utilizamos un tubo, el nivel no decaerá con la distancia, por lo que trabajaremos aquí con tubos.

Pensemos primero en un tubo (en principio infinito hacia la izquierda) que tenga un extremo cerrado a la derecha, y generamos dentro del tubo una onda senoidal pura. Sabemos que se producirá una onda estacionaria una vez que la reflexión recorra el tubo hacia la izquierda. Dicha onda estacionaria tendrá su primer nodo ubicado a una distancia λ/4 del extremo cerrado, y el resto de los nodos estarán separados entre sí por una distancia igual a λ/2.

Pensemos ahora en un tubo que sea infinito hacia la derecha y que esté cerrado en el extremo izquierdo, con una onda senoidal propagándose hacia el extremo cerrado. Sabemos que en este caso se producirá una onda estacionaria que tendrá su primer nodo a una distancia λ/4 del extremos cerrado y los demás nodos estarán espaciados entre sí por λ/2.

Combinemos ahora ambos tubos de modo de tener un único tubo cerrado-cerrado. Supongamos para comenzar a pensar en lo que sucede que logramos generar una onda que se propague hacia la derecha, que se reflejará en el extremo cerrado y comenzará a viajar hacia la izquierda. A medida que se propague irá formando una onda estacionaria al combinar la onda incidente con la reflejada. Con separaciones de nodos perfectamente determinadas a partir del extremo izquierdo. 

Cuando la onda reflejada alcance el extremo derecho volverá a reflejarse. Para el extremo derecho la onda reflejada anterior es la incidente, y el extremo generará una nueva onda reflejada que se moverá hacia la derecha generando una nueva onda estacionaria con sus nodos a distancias determinadas por la longitud de onda. 

La siguiente simulación muestra ambos casos. Se marcan con flechas los lugares en donde se producirán los nodos.

Cuando tenemos un tubo con ambos extremos cerrados, el resultado será equivalente a intentar superponer estas dos situaciones. La pared de la derecha "obliga" a que la onda estacionaria se forma con nodos en donde están las flechas de la figura de arriba, y la pared de la izquierda "obliga" a que los nodos se formen en donde indican las flechas de la figura de abajo. ¿Y qué sucede enconces? Que  los nodos no terminan de formarse. Luego de la primera reflexión de la derecha se forman esos nodos durante un momento, pero cuando la onda llega al extremo izquierdo y rebota esta nueva onda comienza a provocar alteraciones que ya no permiten establecer una onda estacionaria que se mantenga en el tiempo.

Consideremos ahora que cambiamos la frecuencia (o acortamos el tubo) de manera que las flechas obligadas del lado izquierdo y las del lado derecho coincidan. En esa particular situación cada nuevo rebote reforzará la onda estacionaria donde ya estaba ubicada desde la primera reflexión y se mantendrá en el tiempo. De hecho, si la fuente sigue emitiendo, cada nueva reflexión sumará energía y la oscilación se hará más fuerte. Es importante notar que habrá más de una frecuencia en la cual puedan coincidir las flechas (o bien, más de una longitud de tubo si se mantiene la frecuencia).

Esto puede interpretarse en términos de frecuencia natural, frecuencia forzada y resonancia, de modo semejante a lo que hemos discutido antes. La frecuencia forzada será la que la fuente decida emitir. El tubo por su parte tiene sus propias frecuencias naturales (que se denominan "modos de resonancia"). Cuando la frecuencia forzada coincida con alguna de las frecuencias naturales del tubo oscilará cada vez con mayor amplitud, pero si no hay coincidencia la amplitud no crecerá tanto.

Por otra parte, si sólo generamos un tren de ciclos de una senoidal (unos cinco a diez ciclos, por ejemplo), lo que notaremos es que si la frecuencia forzada coincide con la natural la onda estacionaria será clara y se mantendrá en el tiempo. Mientras que si las frecuencias no coinciden la onda estacionaria no se formará y no se alcanzarán picos de tanta amplitud.

Un resorte o un péndulo tienen una sola frecuencia natural. Un tubo cerrado-cerrado tiene un conjunto de frecuencias naturales (que se denominan modos naturales de resonancia) y determinan aquel grupo de frecuencias que son "preferidas" por el tubo. El tubo "resuena" en esas frecuencias.

El primer modo de un tubo cerrado-cerrado se producirá cuando el primer nodo "obligado" de la derecha (a λ/4 del extremo derecho) coincida con el primer nodo "obligado" de la izquierda ( a λ/4 del extremo izquierdo). En esa situación la longitud total del tubo será igual a λ/2. En esta situación la onda estacionaria tendrá un solo nodo central.

El segundo modo se producirá cuando la onda estacionaria logre tener dos nodos estables. Contando desde la izquierda tendremos a λ/4 el primer nodo, luego estará la distancia λ/2 entre los dos nodos de esta situación, y por último habrá una distancia λ/4 hasta la pared derecha. En total, la longitud del tubo en este caso coincidirá con λ.

Puede verse que la situación se repite para L = ⁿ/₂.λ, con n entero. Cada vez que λ sea más chico, eso implicará una frecuencia mayor. Si utilizamos la relación c = λ.f, despejamos λ y reemplazamos en la ecuación anterior queda

$L =\hspace{0.17em}\frac{n}{2}·\lambda =\frac{n}{2}·\frac{c}{f}=\frac{n.c}{2.f}$

De aquí podemos despejar f, que pasa multiplicando y L pasa dividiendo.

$f =\frac{n.c}{2.L}$

Es común separar estas fracciones (por algo que veremos más adelante) de manera que la expresión queda

$\mathit{f}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathit{n}\mathbf{.}\frac{\mathbf{c}}{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathit{L}}$

De esta manera la frecuencia del primer modo de resonancia está dada por 

${\mathit{f}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{c}}{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{L}}$

y los demás modos se obtienen multiplicando esa f1 por n (cualquier número entero).

Supongamos un tubo cerrado-cerrado de 8,5 cm = 0,85 m. Su primer modo de resonancia tendrá una frecuencia de

${\mathit{f}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{c}}{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{L}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{340}}{\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{.}\mathbf{ }\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{085}}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{2000}\mathbf{ }\mathit{H}\mathit{z}$

El resto de los modos tendrá frecuencias de 4 kHz, 6 kHz, 8 kHz, etc.

El siguiente será el gráfico de resonancia del tubo (ideal, sin pérdidas por rozamiento)

En un tubo real, sabemos que el pico se suaviza. Sabemos que aparece un factor de calidad Q que depende del rozamiento. En el caso del tubo sucede que los efectos de pérdida por rozamiento son cada vez mayores cuanto mayor es la frecuencia, por lo cual los picos se irán achicando a medida que crece la frecuencia. El siguiente gráfico muestra la curva de resonancia de un tubo cerrap-cerrado en el que se agrega cierto tipo de pérdidas de energía por rozamiento.

4.1. Ejercicio numérico

Ejercicio 12:

Se tiene un tubo cerrado-cerrado de 20 cm de longitud. 

a) Calcular la frecuencia del primer modo de resonancia

b) Obtener una expresión que permita obtener la frecuencia del primer modo de resonancia del tubo cerrado-cerrado a partir de conocer su longitud

c) Obtener una expresión que permita calcular todos los modos a partir de conocer su longitud

Ayudas:

12a) Si el tubo es cerrado-cerrado quiere decir que cuando se forme una onda estacionaria habrá dos máximos (uno en cada extremo). Sabiendo la relación de la distancia entre dos máximos y la longitud de onda, puede hallarse esta última. Con ella puede obtenerse la frecuencia.

12b) Hay que juntar todas la cuentas del punto a en una sola expresión, para obtener el cálculo en forma directa.

12c) Semejante al 12b pero hay que agregar en algún lado una variable n que sea el modo de resonancia

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Ejercicio 13:

Se desea construir un tubo cerrado-cerrado que tenga un primer modo de resonancia en f = 880 Hz. Calcular la longitud de tubo.

Ayuda:

13) De la expresión obtenida en el ejercicio anterior, hay que despejar la longitud del tubo y calcular con la frecuencia indicada. Otra manera, un poco más larga, es ir haciendo paso a paso en orden inverso lo que se calculó en 12a)

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Respuestas

12a) 850 Hz

12b) f = c/(2L)

12c) f = n.c/(2L)

13) L = 19,3 cm