Tabla de contenidos
2. Superposición de ondas
3. Filtro peine
1. Diferencia entre oscilación y onda
Desde el punto de vista físico una oscilación es algo que le sucede a un punto material que se desplaza en forma cíclica alrededor de su punto de equilibrio. Una onda, en cambio, involucra una infinidad de puntos físicos distribuidos por el espacio y se genera cuando una oscilación se propaga (que es algo similar a un contagio en cadena). Sólo cuando existe esta propagación sería correcto hablar de onda. Una onda está formada por una infinidad de oscilaciones conectadas entre si de alguna manera.
Es importante identificar los dos conceptos, aunque en el uso común diario se utilice la palabra onda para hablar de ambos, como cuando se hace referencia a una "onda cuadrada" (que en realidad es una oscilación), o cuando se habla de "forma de onda".
Si se golpea una campana en el espacio vacío, la campana vibra, pero no tiene modo de contagiar esta vibración por lo que no forma una onda que se propague desde la campana (no produce sonido). Las ondas mecánicas necesitan que exista un medio para poder propagarse.
Las ondas heredan algunas características que están presentes en las oscilaciones como la amplitud, la frecuencia o el período, y la fase. Pero agregan nuevas características que son imposibles de asociar con una onda como la velocidad de propagación o la longitud de onda.
La animación anterior no es una simulación, sino una filmación en cámara lenta con un proceso que permite observar diferencias de densidad en el aire. Lo que se ve junto a las manos es producto del calor. En el momento en que las manos se tocan puede notarse una especie de remolino junto a los dedos, pero esa no es la onda sonora. La onda sonora está formada por unas líneas curvas mucho más finas que se alejan rápidamente de la mano. Para mostrar esto copiamos a continuación uno de los fotogramas en los que hemos aumentado el contraste. Allí la flecha ancha hacia abajo muestra la zona donde hay "remolinos" de aire provocados por el golpe. La flecha ancha que apunta hacia arriba muestra una parte de las zonas donde hay movimientos de moléculas producidos por calor. La onda sonora se marca con dos flechas más angostas y se ve solamente durante unos pocos fotogramas, por la velocidad de avance. El frente de onda en esta imagen fija se ve como dos segmentos de circunferencia un poco más oscuro que el resto, como si el centro de esa circunferencia estuviera en la palma de las manos. Hay que observar el gif animado con mucha atención para notar la verdadera onda que se propaga correspondiente al sonido.
En las zonas marcadas por las flechas rojas más anchas hay desplazamiento de partículas de aire (una especie de "viento"), pero ese no es el modo en que se propaga una onda. Una onda se propaga sin que sus partes componentes de desplacen en forma neta. Esta es una idea muy importante y es necesario trabajarla bastante en la cabeza. Cuando tiro una mancha de aceite en agua, y luego genero una onda en la superficie del agua, noto que la mancha de aceite sube y baja mientras la onda pasa por ella, pero el aceite no sigue a la onda. Razonaremos un poco más esta idea en la sección de la velocidad de propagación.
Función del tiempo y del espacio f(x,t)
Por las dudas hacemos aquí una aclaración para asegurarnos de que van siguiendo la idea principal. Tiene que ver con diferenciar entre "variables" y "parámetros". Si bien la ecuación de una oscilación tenía otras letras como A, f, φ, hay que tener claro que en cada oscilación en particular esas letras tendrían un valor. En ese caso se los denomina "parámetros". Son variables en el sentido en que valen una cosa en un ejercicio y otra cosa en el siguiente, pero el significado de t es diferente (t es una variable), y significa que en cada ejercicio quedará como "t" en la ecuación, y sólo se reemplazará por valores si los recorremos todos (desde el inicio hasta el final del tiempo que corresponda al ejercicio) para graficar o para colocar en una tabla, si se pregunta por un valor en un sólo instante de tiempo. Por otra parte "y", que es lo que colocábamos antes del signo igual, es otra variable (en el sentido completo del término) que se deja así y sólo se reemplaza por valores cuando se pide un único instante de tiempos o cuando se recorre todo el tiempo relativo al ejercicio para obtener un gráfico o una tabla.
La ecuación de una oscilación que discutimos en las clases anteriores sólo depende de una variable (el tiempo). Veremos que la ecuación de una onda tendría que poder describir la variación en el tiempo y en el espacio. Veamos por qué con un ejemplo. Supongamos que tenemos un parlante y tres micrófonos. El primer micrófono lo suponemos justo junto a la membrana del parlante, mientras que los otros estarán separados como se muestra en la figura siguiente. Los diagramas temporales representados en el lado derecho muestran la información temporal de la señal emitida por el parlante y de la que reciben los micrófonos.
Allí puede notarse que el primer micrófono recibirá idealmente la señal sin ningún retardo, pero cada uno de los otros dos recibirá la señal con retardo proporcional a su distancia. Si en lugar de representar esa señal del dibujo con líneas, estuviésemos trabajando con senoidales puras, cada uno de esos retardos se correspondería con un desfasaje temporal, y por lo tanto también con un desfasaje angular. La ecuación temporal de una onda debe expresar tanto la variación en el tiempo como en el espacio. Esto sería equivalente a tener una infinidad de micrófonos uno junto al otro y ser capaces con una sola ecuación de representar cualquiera de ellos (o incluso todos ellos a la vez en un gráfico en 3D por ejemplo).
No necesitaremos trabajar demasiado con esta ecuación f(x,t), por lo que no es necesario que la memoricen, pero hay un par de cosas importantes a las cuales prestarle antención. La ecuación que depende de ambas variables es la siguiente:
Se muestra allí en color rojo el agregado respecto de la que ya conocíamos. El signo (-) de esa parte roja es para una onda que se desplaza hacia la derecha (sentido positivo de las x). Todo ese factor agregado, del que discutiremos algunas cosas en otro momento, logra incorporar el desfasaje adicional que tendría la oscilación de un micrófono ubicado en la posición x.
La función completa depende de x y de t, pero si le doy un valor a x fijo (es como elegir un micrófono) todo ese término se transforma en un número (se vuelve un parámetro) y por lo tanto nos queda la ecuación de una oscilación que sólo depende de t y expresa lo que registraría un micrófono ubicado en el punto x.
El final del video que mostramos en la primera clase sobre la ecuación de las oscilaciones desarrolla un poco más el tema de esta ecuación f(x,t). Volvemos a copiarlo aquí dirigiéndolos directamente al final del mismo (si necesitan refrescar algo de lo anterior tienen disponibles los controles de reproducción).
Hay un par de cosas del video que es importante recalcar.
Por un lado la mención a que el valor y(t) o y(x,t) se denomina elongación (o como dice el video también "el valor de la onda" de un modo más coloquial). ¿Por qué no llamarlo amplitud? Porque la amplitud es el máximo apartamiento y no sirve para describir el apartamiento instantáneo que va cambiando todo el tiempo.
En segundo lugar, el video utiliza lo que se denomina "frecuencia angular" y se indica con la letra griega omega minúscula (ω) que se parece a una "doble ve" minúscula manuscrita. Este uso es muy común y sólo significa contener en un sólo símbolo a 2 pi y a la frecuencia. Esto es, ω = 2π.f
Por otra parte, menciona (y sabemos que es un tema algo difícil y confuso) que si queremos representar una onda que se propaga hacia la derecha la ecuación debe contener un sen(ω.t - k.x + φ). Sabemos que ese signo menos allí es molesto, pero no le daremos importancia en este momento y no nos afectará prácticamente nada de lo que seguiremos analizando.
Por último, el parámetro k se denomina, como bien dice el video, "número de onda" (un nombre muy poco claro). Tiene importancia en algunos temas un poco más avanzados de acústica. Como curiosidad, les comento que con el equipo de investigación estamos utilizando desde hace unos años un procedimiento matemático para resolver simulaciones utilizando un método con un nombre que asusta: "el método pseudo espectral del espacio k". Esa k es la que menciona el video. No profundizaremos en esto tampoco por el momento, pero queremos que tengan claro que esa k tiene su uso y su importancia en ciertas áreas de la acústica.
1.1. Velocidad de propagación
El sonido es un tipo de onda que se genera por una perturbación que se propaga en un medio elástico (normalmente aire, pero podría tratarse de algún otro gas, un líquido o un sólido). Esta velocidad de propagación es algo que merece la pena analizar un poco más. Se traba de una velocidad algo extraña, no tanto por su valor, sino por lo que significa. Normalmente una velocidad se refiere a algo que se desplaza y mide cuánto se deplaza por unidad de tiempo. Pero, ¿qué es lo que se desplaza en el sonido? Si se sienten tentados a decir que se desplaza el aire, están equivocados. Pero es una equivocación que se vuelve una especie de trabalenguas. Efectivamente las moléculas de aire se desplazan, pero lo hacen en forma de vibración alrededor de su posición de equilibrio. La velocidad neta de desplazamiento de las moléculas de aire es cero (a menos que sean empujadas por otras causas distintas al sonido como la temperatura o el propio golpe como en el gif animado anterior).
Pensemos en una "ola" generada por personas del público en un gran estadio. Si están bien sincronizadas pueden llegar a formar una "ola" que se propague con alta velocidad, pero ninguno de los participantes de la ola se mueve de su silla. Sólo se para y se vuelve a sentar.
En el gif animado vemos que cada persona sube y baja, pero hay una onda que se desplaza en la dirección x. Una cosa sería medir la velocidad con que la persona se levanta y otra diferente es medir la velocidad con que este movimiento "se va contagiando" a sus vecinos. Podríamos imaginar varias situaciones diferentes. En un caso, todos tienen tan buenos reflejos que en cuanto uno comienza a levantarse, su vecino comienza casi inmediatamente sin esperar a que termine. De hecho podría levantarse muy lentamente, pero contagiar este comportamiento muy rápido. Eso correspondería a una velocidad de desplazamiento individual lenta, pero velocidad de propagación rápida.
Pero también podría suceder lo contrario, que el primero se levante y se siente rápido, y que el vecino con menos reflejos tarde unos segundos en percatarse, y cuando lo haga también suba y baje rápidamente. Este otro caso, la velocidad de desplazamiento individual sería rápida, pero la de propagación sería lenta.
Con el sonido propagándose en el aire pasa algo razonablemente similar,
La línea roja representa una superficie que provoca una perturbación en las moléculas de aire. Esta perturbación se propaga, pero si observamos cualquiera de los puntos que simbolizan las moléculas de aire, ellas no tienen un desplazamiento promedio hacia la derecha. En realidad cada una hace un pequeño movimiento hacia la derecha y luego regresa a su equilibrio. ¿Hay relación entre la velocidad con que se aleja y vuelve al equilibrio y la de desplazamiento? En el sonido no hay relación entre estas dos variables. Dicho de otro modo, la velocidad de propagación del sonido es de aproximadamente 345 m/s (recordaremos luego que puede variar con la temperatura fundamentalmente), mientras que la velocidad promedio de cada partícula es cero, y la máxima velocidad instantánea de cada partícula depende de la presión sonora con que se produzca la perturbación y de la frecuencia emitida. Como para tener un ejemplo en mente, un sonido de 1 pascal (94 dB SPL), tendrá una velocidad máxima de partícula de 628 m/s, pero si la frecuencia fuese el doble su velocidad instantánea máxima también será el doble.
NOTA: Por otra parte, las moléculas están todo el tiempo sometidas a lo que se conoce como agitación térmica. Esta velocidad térmica también tendría promedio cero, pero su valor instantáneo máximo será aún más elevado. Podemos ignorar este fenómeno que sólo provocaría efectos a escala microscópica. De modo formal, cuando se habla de una partícula en acústica se piensa en un volumen pequeño de aire que contiene suficientes átomos como para que la velocidad de agitación térmica promedio sea siempre cero. Podemos ignorar completamente esta cuestión más fina sin que afecte el resto de los razonamientos.
La velocidad de propagación de la onda no mide el desplazamiento de ningún elemento físico, sino de algo más "etéreo" o "fantasmal". De modo un poco más formal se conoce a esta magnitud con el nombre de "velocidad de fase". En el curso seguiremos hablando de velocidad de propagación porque lo consideramos más claro en nuestro contexto de aplicación. Los físicos distinguen entre movimiento de partículas, en el que una velocidad mide desplazamiento de materia en relación con el tiempo, y propagación de ondas, en donde la velocidad mide la transmisión de energía en función del tiempo. De hecho, esto se volvió algo tan marcado en el pensamiento de los físicos que cada vez que querían explicar un nuevo fenómeno lo clasificaban en transporte de materia o en transmisión de energía, y todos los que caían en transmisión de energía lo suponían asociado a ondas.
La velocidad de propagación del sonido en aire en condiciones normales (22 ºC) es de unos 345 m/s. En algunos casos se utiliza 340 m/s, que corresponde a una temperatura 14 ºC. Es importante hacerse a una idea de que es una velocidad imporante. El sonido avanza 345 metros por casa segundo que pasa (son unas 3 cuadras y media). En algunas situaciones eso parece casi instantáneo, pero no siempre. Este retardo vuelve muy difícil sincronizar aplausos del público en un gran estadio. Pero aún a distancias menores, esta diferencia puede volverse notoria.
El siguiente video breve muestra una experiencia en la que se pide a un grupo de personas en línea que hagan palmas siguiendo el sonido que escuchan de un metrónomo.
Este retardo es un problema de importancia en una orquesta de muchos músicos, en donde instrumentistas que estén muy alejados entre si pueden percibir retardos importantes a nivel musical. El seguimiento visual al director permite sincronizar las ejecuciones.
1.2. Factores que influyen. Dependencia con la temperatura
La velocidad de propagación depende de varios factores. La propagación en sólidos o líquidos es normalmente más alta que en gases. Esto podría parecer extraño cuando uno aún no ha desvinculado la propagación del desplazamiento, porque tiende a suponer que los gases se desplazan más fácilmente que los sólidos. Sin embargo lo que importa en la propagación es la "velocidad" con la que una perturbación se contagia. En los sólidos es más veloz cuanto más rígido sea el material.
Velocidad del sonido en aire = 340 m/s (que equivale a 1224 Km/hora)
Velocidad del sonido en agua = 1500 m/s (que equivale a 5400 Km/hora)
Velocidad del sonido en aluminio = 5000 m/s (que equivale a 18000 km/hora)
NOTA 1 - IMPORTANTE: Es muy común en libros de acústica utilizar la letra c para representar la velocidad de propagación del sonido. Reservando la v o la u, para representar la velocidad de las partículas. La letra c para representar una velocidad tiene tradición en física como representación de la velocidad de la luz.
NOTA 2: Si bien en forma general en los sólidos la velocidad del sonido es mayor que en el aire, esto depende de la rigidez. En caucho, por ejemplo la velocidad del sonido es de algo más de 50 m/s y existe un tipo de materiales que pueden resultar muy prometedores en el futuro próximo, denominados aerogeles, en los que la velocidad de propagación del sonido es de unos 250 m/s, pudiendo llegar a menos de 100 m/s en algunos tipos especiales de aerogel.
NOTA 3: En el interior de los tejidos humanos la velocidad de propagación es muy cercana a la del agua. Esto tiene importancia en aplicaciones que utilizan estímulos sonoros como las ecografías.
Velocidad de propagación y frecuencia. Medios dispersivos
¿Se propagan todas las ondas de distintas frecuencias a la misma velocidad? Es una pregunta importante para analizar. Esta pregunta tiene distintas respuestas según el tipo de medios en que se propaga la onda. Se denominan medios dispersivos a los que provocan diferencias en la propagación según la frecuencia. Esto tiene consecuencias catastróficas en relación con las formas de onda. Pensemos que si un tono compuesto está formado por senoidales de distintas frecuencias y cada una de ellas se propaga a diferente velocidad, los tiempos de llegada a distintos puntos serían diferentes y la composición de las ondas daría resultados diferentes. Si la diferencia fuese grande, la música se escucharía con diferencias tímbricas y tonales en las escalas que dependerían de la distancia a la fuente.
Por suerte para nosotros, el aire es un medio no dispersivo para las ondas sonoras, por lo cual todas las frecuencias tienen la misma velocidad de propagación. Pero esto no sucede con las ondas superficiales en agua, por ejemplo. Allí la velocidad de propagación depende en ciertas condiciones de la frecuencia. Esto provoca que las ondas generadas en forma de oscilaciones sobre la superficie del agua no mantengan su forma al propagarse. En el caso de las ondas superficiales en agua, la velocidad depende en ciertos casos de la profundidad del lecho. De hecho, las ondas superficiales en agua son el ejemplo más intuitivo para pensar las ondas, pero también el más problemático porque este tipo de ondas tienen todas la complicaciones que las ondas puedan tener. En el caso de la luz, por ejemplo, su velocidad de propagación es constante e independiente de la frecuencia en el vacío (y prácticamente igual en el aire), pero en otros materiales transparentes la velocidad depende de la frecuencia y este fenómeno es el que se relaciona con la dispersión de la luz que forma el arco iris.
Factores que afectan la velocidad del sonido en el aire
La velocidad del sonido en aire cambia bastante con la temperatura, muy poco con la humedad y prácticamente no cambia con la presión (al menos dentro de lo que puede variar la presión atmosférica normalmente).
Por este motivo suele hablarse casi exclusivamente de su dependencia con la temperatura. El cálculo de la velocidad en función de la temperatura suele expresarse mediante dos ecuaciones. Una algo complicada y la otra muy simple. Primero presentamos ambas y luego discutimos algunas cosas sobre ellas.
¿Por qué dos ecuaciones?
Claramente la segunda ecuación es mucho más sencilla de aplicar y es la que se utiliza normalmente. Pero, si sirve ¿para qué está la otra? Observemos las curvas que representan ambas ecuaciones en el siguiente gráfico
La curva azul representa la ecuación más complicada y la roja la ecuación simplificada. Puede notarse que en el rango de temperatura que va de -25ºC a 65ºC las dos gráficas están prácticamente superpuestas. La que mejor describe el comportamiento es la azul, pero la roja es muy sencilla y da los mismos resultados para todos los rangos de temperatura más típicos relacionados con acústica y audición. En lo que sigue, cuando resulte necesario utilizaremos la ecuación simplificada.
NOTA 1: Una lectura verbal de la ecuación simplificada permite decir que la velocidad del sonido crece 0,6 metros por segundo, por cada grado de aumento de temperatura.
NOTA 2: La técnica utilizada para simplificar la curva es muy útil en muchos otros casos. Se resume en identificar un punto de apoyo en la curva real que parezca conveniente (en este caso se utilizó el valor de c = 331.3 que corresponde a temp=0ºC). Trazar una recta tangente a la curva en ese punto, y expresar la ecuación de dicha recta, teniendo en cuenta que la nueva ecuación tendrá un rango de validez limitado. En modo mucho más formal esta técnica de aproximar curvas se conoce como la aproximación de los polinomios de Taylor-McLaurin, ya que en situaciones más complicadas la aproximación puede hacerse con una cuadrática o una cúbica, en lugar de una recta.
1.3. Tipos de ondas: longitudinales y transversales
Ya diferenciamos entre el movimiento de las partículas y el movimiento de la perturbación (el contagio). Esto nos permite diferenciar tipos diferentes de ondas cuando la dirección del movimiento de las partículas no coincide con el de la dirección de propagación de la perturbación.
En las ondas transversales, cada partícula oscila en una dirección que es perpendicular (a 90º) a la de propagación de la onda. Esto es típico en las ondas que se propagan en cuerdas, por ejemplo.
En las ondas longitudinales, cada partícula oscila en una dirección que coincide con la de propagación de la onda. Esto es lo que sucede con las ondas sonoras en general (y con las ondas en tubo en particular).
Existen algunos casos específicos en los que las partículas se mueven con una combinación de modos transversales y longitudinales, y en esa situación generan un tipo de movimiento en círculos o en óvalos. Este es el caso típico de las ondas superficiales en agua. No es algo que tenga demasiada influencia en lo que trabajaremos en el curso.
Las ondas de presión en el aire son longitudinales. El motivo de esto es que el modo de "contagio" para propagar la onda se logra presionando sobre los vecinos. Dado que no hay un vínculo fuerte entre las distintas partículas más allá de la presión que se ejercen unas a otras, los movimientos transversales (a 90º) no tienden a propagar la perturbación en forma directa. Hay casos muy especiales en los que podría existir una onda de presión que tenga algún componente transversal pero sólo en el caso de frecuencias ultrasónicas, por lo que quedan fuera del interés del presente curso.
La siguiente animación contiene una onda longitudinal de partículas sueltas que propagan una onda, seguido de una "supuesta" onda transversal con partículas sueltas, para ilustrar el razonamiento anterior en el que decimos que las ondas sonoras no son jamás transversales.
En las ondas transversales se presenta un fenómeno que no tiene sentido en las longitudinales y que se denomina "polarización". Este término jamás se aplica al sonido (aunque es común en relación a la luz cuyas ondas son transversales). Una onda transversal puede estar formada por una superposición de oscilaciones de igual frecuencia que oscilan en distintas direcciones perpendiculares al eje de propagación. En la siguiente figura se muestra en forma esquemática una onda donde se superpone una componente horizontal con una vertical. En el trayecto hay un filtro polarizador, que sólo permite pasar oscilaciones en una dirección particular, por lo que luego de ese filtro la onda queda "polarizada". Repetimos que nada de esto puede hacerse con ondas sonoras.
NOTA: Como curiosidad. Si bien el término "vidrios polarizados" en un primer momento hace ya muchísimo tiempo se aplicó en este sentido, con los años se dejaron de utilizar verdaderos filtros de polarización en los automóviles. Los famosos "vidrios polarizados" de los autos son simplemente placas semitransparentes que atenúan la intensidad de la luz que los atraviesa. Los filtros polarizados si se utilizaban en las proyecciones de cine 3D. Esos anteojos que se distribuyen no son solamente anteojos oscuros que atenúan un poco la luz, sino que verdaderamente la polarizan. La pantalla emite imágenes para el ojo izquierdo con una polarización e imágenes para el ojo derecho con otra polarización a 90º. Los filtros colocados en los anteojos están cruzados, de modo que sólo llegue a cada ojo la señal adecuada.
1.4. Longitud de onda
Una onda que resulte de una oscilación senoidal pura que se propaga con velocidad constante, tiene asociada una longitud de onda (simbolizada con la letra griega lambda, λ). Este parámetro es la distancia en metros que existen entre puntos de igual fase correspondiente a ciclos sucesivos de la onda. Es un concepto que tiene cierta semejanza con la idea de período, pero que no debe confundirse con él. El período (T) es una unidad de tiempo y se refiere al tiempo que transcurre hasta completar un ciclo de una oscilación. La longitud de onda ( ) es una unidad de longitud y corresponde a la distancia recorrida por un ciclo de la onda.
Puede ser útil analizar esto en base a un ejemplo de un movimiento animado
.gif)
↑
Cuando observamos la variación de presión sonora que ocurre en un punto fijo del espacio a medida que pasa el tiempo, obtenemos un diagrama de tiempos. El eje horizontal de ese gráfico se mide en segundos y todo el gráfico se refiere a lo que ocurre en un único punto del espacio. En la animación se muestra la propagación de una onda plana. Cualquier punto que esté en la misma línea vertical (por ejemplo, encima de la fecha roja dibujada) tendrá exactamente el mismo diagrama de tiempos. En el mismo momento allí todos esos puntos estarán a una misma presión (amontonamiento o separación de sus vecinos horizontales)
Para determinar la longitud de onda se considera todo el espacio (la variable x se libera), pero se fija la variable t. Se toma en cuenta la foto de un instante (como si pudieramos congelar un momento de la propagación de la onda). Si se traza con ella un gráfico de presión en función de la distancia también se obtendrá una forma senoidal, pero ahora la distancia entre picos se medirá en metros.
El período y la longitud de onda están directamente relacionados por la velocidad de propagación. Si esperamos un tiempo igual a un período, la onda habrá avanzado una distancia igual a una longitud de onda. En cualquier movimiento uniforme la velocidad puede calcularse dividiendo la distancia recorrida sobre el tiempo empleado e recorrerla. En este caso la distancia es λ y el tiempo transcurrido es T. Pero sabiendo que f = 1/T puede obtenerse la siguiente relación
Esta expresión de la velocidad de propagación nos será muy útil en varios temas posteriores
En la siguiente animación pueden verse los diversos elementos. El gráfico superior es de presión en función de la distancia al parlante. La variable x es el eje, y se están graficando de modo superpuesto en la animación cada una de las senoidales que corresponden para una serie de instantes de tiempo. Pot otra parte, el gráfico que aquí se presenta en forma vertical corresponde solamente a la variación temporal de la posición x = 0 m.
La longitud de onda es algo sumamente importante para una gran variedad de temas de acústica, ya que los comportamientos de las ondas cuando interactúan con otros objetos depende de la longitud de onda. En particular es muy importante la relación entre la longitud de onda y el tamaño del objeto con el que interactúa como veremos más adelante.
Ejemplo de cálculo sobre una onda que se propaga:
Dada la siguiente onda indicar su frecuencia, su período, su longitud de onda y su velocidad de propagación. Las líneas grises verticales están separadas 1 metro entre ellas.
Si seguimos con la mirada un máximo de presión propagándose podremos ver que va cruzando las sucesivas líneas rectas grises. Podemos medir el tiempo que tarda en recorrer cierta distancia y con esa información calcular la velocidad de propagación. Para disminuir los errores con el cronómetro conviene contabilizar el tiempo que tarda en cruzar varias líneas.
Si iniciamos el cronómetro cuando la línea roja se acerca a la primer línea gris (máximo de presión) y seguimos con la mirada el máximo de presión hasta que llega a la anteúltima línea gris, habrá recorrido 20 líneas. Nosotros medimos el tiempo con el cronómetro del celular y nos dio 10.95 segundos. La velocidad de propagación será entonces v = distancia/tiempo = 20 m/10.95 s = 1,83 m/s
Debido a la imprecisión de la medición visual con el cronómetro y la animación, probablemente sea exagerado utilizar tres cifras decimales y sería más razonable decir que es de aproximadamente 1,8 m/s.
Visualmente puede notarse que la longitud de onda (separación entre dos máximos de presión) es de unos 2 metros.
El período podría medirse con cronómetro, observando la diferencia de tiempos entre un máximo de presión atravesando una línea gris y el siguiente máximo de presión. Nuevamente para minimizar el error es recomendable medir el pase de varios máximos (por ejemplo, 10) y luego dividir el tiempo medido con el cronómetro por esta cifra. Esto nos dará un resultado más aproximado ya que reparte el error cometido al pulsar el cronómetro para encender y apagar entre todos los ciclos que estamos midiendo. Con esta información puede calcularse la frecuencia como f = 1/T
Pero también puede calcularse la frecuencia utilizando la ecuación que se verifica para todas las ondas y que relaciona la velocidad de propagación, la frecuencia y la longitud de onda.
Su período será T = 1/f = 1/0,9 = 1,11 segundos
2. Superposición de ondas
Vimos que la superposición de dos oscilaciones podía dar diferentes resultados en relación a las frecuencias de cada una de ellas. Analizaremos en esta sección lo que sucede cuando se superponen ondas, aunque solamente nos interesará el caso en que las dos frecuencias sean iguales. El resto de situaciones produce comportamientos complejos del patrón total de ondas que no resulta ni sencillo ni demasiado práctico intentar clasificar.
¿Cuál es la diferencia con lo que sucede al superponer oscilaciones?
En principio, al tratar con ondas unidimensionales (que sólo se propagan en dirección x en sentido positivo o en el sentido contrario) tendremos dos situaciones:
1) Cuando ambas ondas viajen en la misma dirección y
2) Cuando viajen en direcciones contrarias.
El primer caso se analiza en las secciones siguientes. El segundo caso se verá en el próximo tema.
NOTA; En terminología técnica suele distinguirse entre dirección y sentido, dando al término dirección el significado de ser paralelo a alguna recta, mientras que el sentido indicaría hacia cuál de los dos extremos de esta línea recta se dirige la onda. En la frase anterior utilizamos un sentido menos técnico de la palabra dirección. Un físico habría dicho que el primer caso es en la misma dirección y sentido, mientras que el segundo caso es en la misma dirección y sentidos contrarios.
2.1. Mismo sentido - Distancia entre fuentes
Si dos ondas viajan en el mismo sentido, sus resultados será muy semejantes a lo que sucede con la superposición de dos oscilaciones. Lo que cambia es que existirá una separación entre fuentes y esto se traducirá como una diferencia de fase. De manera que aún cuando ambas oscilaciones estén originalmente en fase los resultados de la superposición deberán tener en cuenta la diferencia de fase provocada por la distancia entre ellas. Esta diferencia de fase será equivalente a la diferencia de tiempo que tarde el sonido en viajar entre las fuentes y también tendrá relación con la relación entre la separación entre fuentes y la longitud de onda emitida por las fuentes.
Trabajemos sobre una situación que sirva como ejemplo. Supondremos que tenemos dos parlantes y dos micrófonos ubicados sobre la misma línea recta.
Se atreverían a anticipar qué es lo que podría ser captado por los micrófonos 1 y 2. Esto es, cómo serían los diagramas de tiempo de sus registros. Imaginemos ahora que alguien decide probar de variar por turnos cada una de esas distancias. ¿Cómo afectarían los resultados de los registros? ¿Hay alguna de esas distancias que resulte más crítica que las otras por algún motivo? Sobre esto trabajaremos un poco.
Consideremos en principio que ambos parlantes reciben la misma información de audio. Esto significa que están en fase (en el sentido temporal de su señal). La señal de audio es una senoidal de frecuencia f y fase cero.
¿Qué recibirá el micrófono 1? Llegará la señal del parlante 1 con un retardo temporal igual al tiempo que el sonido tarda en recorrer la distancia dp1p2 + dp2m1. Consideremos los tiempos con iguales nombres. El retardo será tseñal1 = tp1p2 + tp2m1. También recibirá la señal del parlante 2 con un retardo de tiempo por tener que recorrer la distancia dp2m1, que llamaremos tseñal2 = tp2m1. En resumen, recibirá dos señales que tendrán una diferencia de fase temporal entre ellas tsuma = tp1p2 .
Esto significa que no importa a qué distancia se ubique el micrófono del parlante 2, las señales siempre llegarán con una diferencia de fase que solamente está determinada por la distancia entre parlantes.
Repito esto razonando respecto de los últimos diagramas temporales. La curva azul representa la señal que llega a ambos parlantes (llega la misma y al mismo tiempo). El período de esta señal es de 2 ms, de lo que puede obtenerse que la frecuencia es de 500 Hz. Las ondas de cada parlante comienzan a propagarse, la onda emitida por el parlante 2 que está más cerca llega antes (2,5 ms), y luego llega la onda emitida por el parlante 1 (3 ms). Una vez que están las dos presentes la suma es equivalente a la de dos oscilaciones de 500 Hz con un retardo entre ellas de 0,5 ms (que equivale a π/2).
¿Qué señal registra el micrófono 2 en esta misma situación? El siguiente gráfico muestra la nueva situación
Ahora como este micrófono está más lejos ambas señales llegan más tarde pero, la diferencia de llegada entre ellas sigue siendo la misma, lo que asegura que la diferencia de fases es igual, y por lo tanto el resultado de la superposición es el mismo (sólo que un poco más tarde).
Sin embargo, si aumentamos la distancia entre parlantes el resultado tiene cambios más importantes. Veamos un ejemplo con un poco más de distancia entre parlantes, pero regresando a ver el registro del micrófono 1.
Ubicamos el micrófono a la misma distancia que antes del parlante 2, pero aumentamos la distancia entre parlantes. Esto significa que la señal del parlante 2 llega igual que en el primer caso (2,5 ms), pero la del parlante 1 llega un poco más tarde. Esto provoca más diferencia de fase, que en este caso termina provocando una señal sumada cuya amplitud es menor que cualquiera de sus componentes.
Conclusión: variar la distancia entre las fuentes sonoras provoca cambios de fase que modifican el resultado, pero no importa la distancia a la que esté el micrófono, por lo cual daría lo mismo utilizar el mic1 o el mic2, en ambos casos se obtendría la misma suma, sólo que con un poco más de desplazamiento en el tiempo.
¿Es posible lograr que ambas señales se cancelen? Con lo que analizamos de suma de senoidales de igual frecuencia, sabemos que si dos senoidales tienen una diferencia de fase de 180º (π radianes), entonces su suma da cero. Veamos el caso en el siguiente gráfico.
La línea roja continua muestra el resultado de la superposición de las ondas emitidas por ambos parlantes cuyo resultado es cero, al menos luego de un primer breve momento cuando aún una de las ondas no llegó al micrófono.
¿Sucede esto en la realidad? Si, aunque hay que tener algunas consideraciones. Estamos en una situación ideal donde suponemos que la señal viaja solamente en una dirección. Este sería el caso de lo que se conoce como una onda plana. Pero no es posible emitir una onda plana con un parlante. Lo que se emite de un parlante forma un tipo de onda más parecido a una onda esférica. Si se tuviese una onda plana, su nivel de sonoridad no cambiaría con la distancia, pero en una onda esférica el nivel va decayendo con la distancia, por lo cual la onda que llega más tarde, como recorrió más distancia, sería algo menos intensa y por lo tanto no llegaría a anular el sonido, aunque lo podría atenuar significativamente (como veremos más adelante en una experiencia).
¿Para qué valor de distancia las ondas tienden a cancelarse?
Para que exista cancelación el retardo entre parlantes tp1p2 tiene que ser la mitad del período T. Además sabemos que como la onda se propaga a una velocidad c, luego de un tiempo tp1p2 habrá recorrido una distancia dp1p2. Entonces tendremos que
Pero resulta que
Con lo cual resulta que
Esto significa que si se colocan los parlantes a una distancia igual a la mitad de la longitud de onda, el sonido emitido tiende a cancelarse ... para cualquier distancia a la que se encuentre el micrófono!!!
Relación entre distancia y longitud de ondas
Cuando la distancia entre parlantes coincide con media longitud de onda, el resultado es la cancelación de ondas. Esto se conoce como "interferencia destructiva".
Si la frecuencia se modifica, sabemos que la longitud de onda también lo hace. Si disminuimos la longitud de onda (aumentando la frecuencia) de modo que coincida con la distancia entre parlantes (dp1p2 = λ), el resultado será que ambos registros vuelven a estar en fase (luego de un primer ciclo que es resultado de la onda emitida por el parlante 2 antes de que llegue la otra señal). En el siguiente gráfico se muestra una situación con una distancia entre parlantes que genera un retardo temporal de 1 milisegundo (como en el último ejemplo, donde se cancelaba la señal), pero ahora la frecuencia pasó de 500 Hz a 1000 Hz.
Cuando ambas señales se suman en forma directa (logrando el doble de amplitud) se dice que se produce "interferencia constructiva".
Si seguimos aumentando la frecuencia, la longitud de onda disminuirá y se notará un nuevo caso de cancelación cuando la distancia coincida con 3/2 de la longitud de onda. El siguiente gráfico muestra el caso
Este proceso se repite provocando interferencia constructiva en todos los casos en que la distancia entre parlantes sea igual a múltiplos de la longitud de onda (dp1p2 = n.λ donde n tiene que ser un número entero). Por otra parte, la interferencia destructiva se da en todos los casos en donde la distancia coincida con un número impar de medias longitudes de onda (dp1p2 = n/2 .λ donde n tiene que ser un número impar).
2.2. Mismo sentido - Frecuencia - Filtro peine
En la sección previa analizamos lo que sucede al considerar la relación respecto de la distancia entre fuentes y la longitud de onda emitida. Particularmente analizamos los casos en que se produce interferencia constructiva y destructiva. Para valores intermedios a los calculados se obtiene una señal sumada que es mayor que cero pero menor que el doble de amplitud.
Ahora retomaremos este mismo análisis desde el punto de vista de la frecuencia. Básicamente no hay cambios en el razonamiento, sino en la manera de presentarlo y en que da lugar a un tipo de comportamiento conocido como "filtro peine" (conocido como comb filter, en inglés).
Partimos de seleccionar una distancia entre parlantes y ubicar sobre la misma línea a ambos parlantes y a un micrófono, tal como en los ejemplos de la sección previa. Supongamos que la velocidad de propagación del sonido es c=340 m/s y que la distancia entre parlantes es de 34 cm. Sabemos que el primer caso de interferencia destructiva se producirá cuando la ditancia sea igual a la mitad de la longitud de onda. En esta situación se dará para λ = 2 . 0,34 m = 0,68 m.
Calculemos la frecuencia que corresponde a esta longitud de onda partiendo de la ecuación fundamental c = λ.f, de la cual despejamos la frecuencia.
El siguiente caso de interferencia destructiva se producirá cuando la distancia entre parlantes sea igual a 3/2 de la longitud de onda. Esto significa que λ = 2/3 . 0,34 m = 1/3 0,68 m = 0,227 m.
Como, esta frecuencia es igual a 3 veces la primera de 500 Hz.
Las siguientes cancelaciones se producirán para 5, 7, 9 y así siguiendo con todos los numeradores impares.
Tomemos ahora el primer caso de interferencia constructiva. Se producía cuando la distancia entre parlantes era igual a la longitud de onda, por lo tanto
El siguiente caso de frecuencia constructiva se produce cuando la distancia entre parlantes coincide con dos longitudes de onda, y esto se corresponde con el doble de frecuencia.
Los distintos casos de interferencia constructiva se darán para todos los múltiplos de la frecuencia del primer caso. Esto es, se obtienen multiplicando la frecuencia del primer caso constructivo por 2, 3, 4, 5, etcétera.
Hay que tener presente una cuestión muy importante sobre este ejemplo. Los parlantes están colocados a una distancia fija, la ubicación del micrófono está en línea con ellos pero la distancia al mismo no influye en los resultados. Si vamos variando la frecuencia emitida se notará que el registro capta incrementos de nivel para algunas frecuencias y cancelación para otras frecuencias. Pero lo importante a notar es que todo esto sucede simultáneamente. Esto significa que si enviamos una onda cuya forma de onda sea compleja, algunos de sus componentes podrán ser incrementados en nivel y otros atenuados. Esto es lo que hace un filtro, y a este proceso se lo conoce como filtro peine.
Si hacemos un diagrama de nivel obtenido en función de la frecuencia (un diagrama de su respuesta en frecuencia) veremos lo siguiente.
Los gráficos corresponden a los valores de amplitud que se obtienen para cada frecuencia en escala lineal y logarítmica. A este tipo de filtrado (que anula algunas frecuencias en forma regular) se lo denomina filtro peine. ¿Por qué será?
En términos técnicos la respuesta en frecuencia representada en los últimos dos gráficos se denomina "Función de Transferencia" del filtro generado, y en realidad es el término que también se utiliza para definir el contorno de cualquier filtro. Es una especie de espectro porque tiene un eje de amplitudes y otro de frecuencias. ¿Por qué no se lo llama formalmente espectro? En principio porque un espectro hace referencia a una señal que realmente está presente, y en este caso lo que el diagrama representa es lo que el sistema modificaría a cualquier espectro que sea afectado por este proceso. Dicho en otras palabras, si tenemos la función de transferencia mostrada en esos gráficos y generamos en los parlantes una señal acústica que corresponda a un tono puro de 80 dB SPL y 1000 Hz, se obtendrá un espectro que tendrá una sola barrita en 1 kHz con un nivel 6 dB más elevado que lo que se obtendría utilizando solamente el parlante 2, por ejemplo.
Para poder observar un espectro que adopte la forma de la función de transferencia es necesario que la señal tenga todas las componentes en frecuencia. Esto se logra utilizando ruido blanco como señal. Si procesamos ruido blanco con la función de transferencia de un filtro peine, obtendremos ese contorno de dibujo de un peine.
NOTA: Si el micrófono está en medio entre parlantes, las señales que lleguen estarán viajando en sentidos opuestos, y eso será analizado en una próxima sección.
Registro mediante mezcla de la señal de los micrófonos
Un tema importante a tener en cuenta es lo que se obtiene si tomamos señal de ambos micrófonos (separados entre si) y sumamos las señales en una consola de mezclas. Para hacerlo un poco menos confuso desconectaremos el parlante 1. Solamente el parlante 2 emite señal y la onda generada no tendrá superposiciones. Sin embargo, esta señal llegará a cada micrófono con un retardo que ahora estará relacionado con la distancia entre micrófonos. Si la distancia entre micrófonos es igual a media longitud de onda, las señales registradas tendrán una diferencia de fase de 180º (π) y por lo tanto se cancelarán en la mezcla. Si, en cambio, están separados por una distancia igual a una longitud de onda, las señales registradas tendrán un ciclo completo de diferencia de fase, lo que hará que una vez que ambas señales estén presentes en el registro se obtenga una amplitud de valor doble.
Cuando una única señal es captada por dos micrófonos cuyas señales luego son mezcladas, el retardo producto de la distancia entre micrófonos provocará el efecto de filtro peine en el registro. Obviamente esto sucederá cuando la disposición sea la mostrada antes. Si la fuente se encontrase a igual distancia entre micrófonos no habrá cancelación para ninguna frecuencia.
3. Filtro peine
Básicamente el efecto de filtro peine se produce cuando sumamos dos señales idénticas con un retardo temporal. En el ejemplo de los dos parlantes y el micrófono dicho retardo temporal está dado por la velocidad de propagación del sonido y por la distancia entre parlantes.
Para los ejercicios considerar que la velocidad del sonido es c = 340 m/s.
Ejercicio 1: Se tienen dos parlantes emitiendo en la misma dirección y sentido, separados entre sí por 1 metro. En la misma línea (formada por los parlantes) se coloca un micrófono separado por 2 metros respecto del parlante más cercano. Realizar un diagrama de respuesta en frecuencia que muestre el tipo de filtro que provoca esta disposición de elementos, indicando claramente los valores importantes en el eje de frecuencia y el valor máximo del eje vertical de amplitudes.
Ejercicio 2: Dado el siguiente gráfico que representa la transferencia que se obtiene en un sistema formado por dos parlantes y un micrófono en línea recta. Indicar cuál es la distancia entre parlantes.
Solución 1 (por retardo temporal):
Lo primero a identificar es la frecuencia que se cancela en el filtro peine y la primera que refuerza con igual fase.
Si la f que se cancela es 300 Hz, y refuerza con 600 Hz eso quiere decir que para f=600 Hz el retardo que podemos llamar t0 provoca una diferencia de fase de 360º (igual a 2π), por lo que corresponde a un período completo. Tenemos que T = 1/f = 0,00333 s = 3,33 ms
t0 = T/2 = 0,00167 s = 1,67 ms
La velocidad del sonido es c = d/t0. Despejamos d de allí y obtenemos la distancia necesaria para provocar un retardo t0
d = c.t0 = 340 m/s . 0,00167 = 0,567 m = 56,7 cm
Esta es la distancia entre parlantes. Es importante notar que la distancia al micrófono no importa.
Solución 2 (por comparación con la longitud de onda):
Lo primero a identificar es la frecuencia que se cancela en el filtro peine. Si la f que se cancela es 300 Hz, eso quiere decir que la longitud de onda que provoca cancelación es λ = c/f = 340/300 =1,133 m
La distancia entre parlantes tendrá que ser la mitad de la longitud de onda para que se provoque cancelación cuando se superpongan las ondas.
dp1p2 = λ /2 = 0,567 m = 56,7 cm
Ejercicio 3: Dado el siguiente gráfico que representa la transferencia que se obtiene en un sistema formado por dos parlantes y un micrófono en línea recta. Indicar cuál es la distancia entre parlantes.
Respuesta: dp1p2 = 11,3 cm
Ejercicio 4: La tarea consistirá en simular el sistema de dos parlantes y un micrófono en un editor de audio. Pero además lo aplicaremos a una situación muy particular. Primero tienen que entender lo que se pretende lograr. Se busca generar en primer lugar una señal diente de sierra de tres componentes, con frecuencia fundamental 500 Hz.
Si esta señal fuese procesada con un fitro peine cuya primera frecuencia de cancelación fuese de 1 kHz, entonces le estaríamos quitando un componente y por lo tanto alterando su forma de onda. Para generar el filtro peine sumaremos dos señales iguales. Una con un retardo respecto de la otra, para lograr el efecto del filtro peine.
El ejercicio consiste en hacer esto en un editor de audio. Se puede hacer con cualquier editor, pero explicaremos aquí los pasos utilizando Goldwave.
paso 1: Generar un archivo nuevo monoaural de 1 segundo, 48 kHz, con una diente de sierra de 3 componentes de fundamental 500 Hz. (Para esto deben ir a Tools/Expression evaluator y copiar la ecuación que dejamos a continuación para ahorrar tiempo de algo ya hecho en un ejercicio en otra clase). Una vez generado colocar el zoom en 1 a 1 (View/Zoom 1:1)
0.3*(sin(2*pi*500*t)+1/2*sin(2*pi*1000*t)+1/3*sin(2*pi*1500*t))
paso 2: Copiar toda la señal del archivo en el clipboard (Ctrf+C o Edit/Copy) y pegarla en un archivo nuevo. Puede utilizarse Edit/Paste New. Colocar el Zoom en 1 a 1 y pararse con el mouse exactamente al comienzo de la señal.
paso 3: Agregar un retardo de 0,5 ms. Para esto seleccionar Edit/Insert Silence., y escribir el valor (en segundos). Esto es 0,0005 segundos
paso 4: Mezclar las señales. El modo en que Goldwave mezcla señales es sumando lo que tenemos en el clipboard con la señal que está en la ventana activa. En la manera en que venimos siguiendo los pasos, la ventana activa será la del retardo y tendremos en el Clipboard la señal original sin retardo. Por lo tanto hay que seleccionar Edit/Mix y aparecerá una ventana que permitiría modificar el nivel de lo que tenemos en el Clipboard antes de sumarlo. Por defecto suma sin cambios, de modo que ponemos Ok y se genera la suma de ambas señales. Debería obtenerse una señal con una forma de onda diferente. Si se utiliza el analizador de espectro y se presiona play en una y otra señal de las ventanas abiertas notaremos que se logró quitar el componente en frecuencia deseado. Notaremos además un cambio en el timbre.
NOTA; Si no se visualiza el espectro hay que verificar que tengamos la ventana de controles visible (Se activa y se desactiva utilizando Tools/Control). Una vez que la ventana de controles está activa, veremos una serie de controles de Play/Rec/Pause y debajo un par de gráficos. Clickeando con el botón derecho del mouse es posible elegir qué tipo de representación queremos que nos muestre. Sugerimos elegir Spectrum y entrar a propiedades para que nos muestre entre 0 y 4000 Hz por ejemplo, para que las barritas de nuestro ejemplo no estén demasiado juntas. En la otra ventana puede ser útil seleccionar Spectrogram, modificando nuevamente sus propiedades para que muestre entre 9 y 4000 Hz.
La siguiente figura es una muestra de lo que se espera obtener
Ejercicio 5: Repetiremos el ejercicio anterior con un ruido blanco. Los pasos para obtener la suma de dos señales con una de ellas con retardo son los mismos del ejercicio 4. Lo que agregamos es la explicación de cómo obtener ruido blanco en Goldwave.
Goldwave tiene una serie de señales preestablecidas en su generador de funciones. Hay que ir a Tools/Expression Evaluator y una vez allí contra el lado derecho hay una lista de Presets. El anteúltimo nombre de la lista dice Noise y cuando se despliega aparece White. Hecho esto verán escrita la ecuación para generar ruido blando., El único tema es que tiene amplitud 1 y al sumar dos señales tendremos saturación, por lo que tenemos que disminuir su amplitud. Un modo es ir a Effect/Volume(/Change y allí seleccionar -6 dB (por ejemplo), o bien colocar la expresión matemática entre paréntesis y multiplicarla por 0.5
0.5*(rand(2)-1)
Escuchen el archivo y observen el espectro para verificar que han generado ruido blanco.
A partir de aquí el proceso es el mismo que el del ejercicio 3. Una vez obtenida la mezcla notarán un ruido con un timbre extraño, y observarán el siguiente espectro.
Ejercicio 5: Alguien coloca los dos parlantes y el micrófono en línea como en la sección anterior. Genera ruido con los parlantes y obtiene la siguiente señal en el micrófono. ¿Qué distancia hay entre los parlantes?
