1.6 - Oscilación Forzada

Todo lo anterior se refiere a analizar el modo en que naturalmente tiende a oscilar un sistema con una ley de restitución del equilibrio como la del resorte. Si se lo aparta del equilibrio comenzará a oscilar con la frecuencia $\omega_0$ si es un sistema sin atenuación. Si tiene atenuación y está subamortiguado (caso que consideraremos como de nuestro interés) oscilará con frecuencia $\omega$ que será menor que $\omega_0$, aunque cuando la amortiguación es leve, serán valores muy semejantes.

Cuando se somete al sistema a una oscilación forzada, la ecuación diferencial tiene que incorporar una fuerza externa.

$x''+2\alpha x' + \omega_0^2 x =F_0.cos(2\pi\omega_b.t)$

El lado izquierdo de la igualdad es la ecuación diferencial que ya analizamos previamente, pero ahora no está igualada a cero sino a algo que depende de t, que representamos en este caso con una fuerza de variación senoidal con un módulo máximo F0 y una frecuencia $\omega_b$ que no tiene por que ser igual a $\omega_0$

Ecuaciones diferenciales homogéneas e inhomogéneas

Este tipo de ecuación diferencial se conoce como inhomogénea , o no homogénea Las definiciones respecto de la homogeneidad o inhomogeneidad también quedan fuera de las intenciones de este curso. Sin embargo, podemos dar una descripción simplificada para poder comprender los aspectos principales de este tema. Cuando las ecuaciones diferenciales son lineales a coeficientes constantes e igualadas a cero, son homogéneas. Este tipo de ecuaciones podrían considerarse semejantes a un polinomio, pero en lugar de que la variable en cada término esté elevada a un exponente entero diferente, aquí es un orden de derivada diferente. Los coeficientes de cada término de este “polinomio” son constantes (no pueden depender de t), y no pueden existir términos que tengan multiplicación entre $x$ y/o derivadas. 

Ejemplos de ecuación diferencial homogénea
$x''+a_1 x' + a_2 x = 0$
$x'' + a_2.x = 0$
$x'''+a_1 x''+a_2 x' +a_3=0$

Ejemplos de ecuación diferencial inhomogénea
$x''+a_1 x' + a_2 x = f(t)$
$x''+a_1 (x')^2 + a_2 x = 0$
$x'' + a_2.x'.x = 0$
$x'''+a_1 x''+a_2 x' +a_3.f(t)=0$

Lo que necesitamos saber para esta materia es que cuando se tiene una ecuación diferencial como la siguiente $x''+a_1 x' + a_2 x = f(t)$ donde si se iguala el lado derecho a cero, se tiene una ecuación homogénea, y de ese lado derecho lo que hay es alguna función de t, la solución de esta ecuación se compone dos partes: a) una parte es la misma solución que analizamos previamente (considerando la ecuación homogénea, o sea el lado izquierdo igualado a cero) b) otra parte es una solución particular, que es la que se relaciona con la f(t).

Soluciones de la ecuación diferencial inhomogénea

Dada la ecuación diferencial:

$x'' + 2\alpha x' + \omega_0^2 x = K \cdot \sin(\omega_1 t)$

Hallar la solución:

Esta ecuación diferencial inhomogénea describe el comportamiento de un sistema oscilatorio que experimenta una fuerza externa:

$K \cdot \sin(\omega_1 t)$

Resolverla implica encontrar la función $x\left(t\right)$ que satisface la ecuación.

1. Ecuación Homogénea: En primer lugar, consideremos la ecuación homogénea asociada, que se obtiene al igualar el término de fuerza externa a cero:

$x'' + 2\alpha x' + \omega_0^2 x = 0$

Esta ecuación no tiene término forzado y describe el movimiento natural amortiguado del sistema. La solución general de esta ecuación homogénea involucra exponentes y sinusoides, y puede ser escrita como:

$x_h(t) = e^{-\alpha t} \cdot (A \cdot \cos(\omega t) + B \cdot \sin(\omega t))$

donde $A$ y $B$ son constantes a determinar y $\omega$ es una frecuencia natural relacionada con ${\omega }_0$ y $\alpha$.

$\omega=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}$

2. Superposición: Dado que la ecuación original es inhomogénea debido al término $K\cdot sin\left({\omega }_{1}t\right)$, podemos usar el método de superposición para encontrar una solución particular. Suponemos que $x_p\left(t\right)$ es una solución particular de la forma $x_p\left(t\right)=C\cdot sin({\omega }_{1}t+\varphi )$, donde $C$ y $\varphi$ son constantes a determinar. $C=\frac{K}{\sqrt{{({\omega }^2-{\omega }_0^2)}^2+{\left(\frac{b\omega }{m}\right)}^2}}$

3. Sustitución y Solución: Sustituimos $x_p\left(t\right)$ en la ecuación diferencial inhomogénea y resolvemos para determinar los valores de $C$ y $\varphi$. Al hacerlo, debemos ajustar la amplitud y la fase de la solución particular para que coincida con la frecuencia y la señal de la fuerza externa.

4. Solución Completa: La solución completa de la ecuación diferencial inhomogénea es la suma de la solución homogénea y la solución particular:

$$x_h(t) + x_p(t)$$

La solución homogénea representa el comportamiento natural del sistema en ausencia de forzamiento externo, mientras que la solución particular describe cómo la fuerza externa influye en el sistema.

Al combinar estas dos soluciones, obtenemos una representación completa de cómo el sistema responde a la combinación de su comportamiento natural amortiguado y la influencia de la fuerza externa.

Después de este comentario general muy simplificado, volvemos a la ecuación de una oscilación forzada.

$x''+2\alpha x' + \omega_0^2 x =F_0.cos(2\pi\omega_b .t)$

La solución es la combinación de la solución que ya conocemos, más una particular relacionada con la función de la oscilación forzada. Consideremos el caso más común (subamortiguado)

$x(t) = A_{homog}.e^{-\alpha t}.cos(\omega t+\phi_0)+A_{part}.cos(2\pi\omega_b.t+\theta_0)$

NOTA: Tener en cuenta que aquí estamos considerando tres frecuencias angulares diferentes. Está $\omega$ como argumento del coseno, que es ligeramente inferior a $\omega_0$ que es el valor que está elevado al cuadrado como factor que multiplica a la $x$ en la ecuación diferencial, y está también $\omega_b$ que es la frecuencia angular forzada. 

[Ver al final de todo este documento el código Matlab para generar estos gráficos]

Si suponemos que en tiempo t=0 se inicia la acción de la oscilación forzada, se tendrá una respuesta natural que irá desapareciendo en forma exponencial, junto a una respuesta a la frecuencia forzada que será la que se mantiene en el tiempo. En el estado estable (después de esperar lo que sea necesario) la salida tendrá la misma frecuencia que la oscilación forzada aunque su amplitud será diferente dependiendo de qué tan cerca o lejos esté la frecuencia forzada de la frecuencia natural. La siguiente figura representa la respuesta natural (sólo frente a un desplazamiento) 

La siguiente figura muestra un ejemplo con una frecuencia forzada diferente a la natural. La respuesta forzada es la verde, la natural es la azul, y la amarilla es la total. 

Si se expande la escala temporal, se nota que después de un tiempo sobrevive la respuesta forzada. 

[Link al simulador mostrado MIT Mathlets]

Curva de resonancia

Si consideramos un sistema subamortiguado con frecuencia natural $\omega_0$, le aplicamos una frecuencia forzada $\omega$ y esperamos a que se extinga la respuesta natural, tendremos una oscilación de la misma frecuencia que la forzada pero con otra amplitud. Si repetimos el procedimiento con distintos valores de frecuencia forzada obtendremos una curva de resonancia como la siguiente 

Las dos curvas que se muestran en línea llena de color rojo corresponden a dos valores de coeficiente de atenuación diferente. La línea de puntos es la que corresponde al caso sin atenuación, en el cual la respuesta jamás se estabiliza y su amplitud continúa creciendo en el tiempo, por lo que es apropiado decir que la respuesta estable tiene amplitud infinita.

El factor de calidad Q de la curva de resonancia

El factor Q (factor de calidad) es un parámetro que se relaciona con la agudeza de la forma acampanada de la curva de resonancia, tal como hemos mencionado previamente en la clase. Cuando no existe amortiguamiento, el valor de Q es infinito, $Q=\infty$. El factor Q puede expresarse en base a los parámetros de la ecuación o en base a los parámetros de la propia forma de la curva en función de la frecuencia. $Q=\frac{\omega_0}{2.\alpha} = \frac{1}{2.\zeta}$

Pero también es equivalente a la relación entre la frecuencia central y el ancho de banda. De modo que $Q=\frac{f_0}{BW} = \frac{f_0}{f_2-f_1}$

Donde f2 y f1 son los valores de frecuencia en las cuales la amplitud de oscilación estable se ve reducida en 3 dB. En valores lineales significa que la amplitud máxima se divide por raíz de 2. Esto podría permitir alguna predicción respecto del coeficiente de amortiguación necesario para determinado ancho de banda.

La amplitud de la solución particular (que es la que se mantendrá en el estado estable una vez que se extinga la respuesta natural) puede calcularse mediante la expresión que indica el libro de Serway al final del capítulo 15

$A_{part}=\frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega^2-\omega_0^2)^2+(\frac{b.\omega}{m})^2}}$

El trazado de esta amplitud en función de omega representa la curva de resonancia.

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Código Matlab para los gráficos mostrados previamente

% Resorte

t=0:1e-3:5;

fp=10; f0=15;

yp=exp(-t/0.9).*sin(2*pi*fp*t);

y0=0.2*sin(2*pi*f0*t);

figure(1)

subplot(3,1,1)

plot(t,yp)

axis([-inf inf -1.5 1.5])

grid on

title('respuesta natural')

subplot(3,1,2)

plot(t,y0)

axis([-inf inf -1.5 1.5])

grid on

title('respuesta estable a la frecuencia forzada')

subplot(3,1,3)

plot(t,yp+y0)

axis([-inf inf -1.5 1.5])

grid on

title('respuesta total')