Anexo - Ecuación de la superposición de ondas (progresivas y estacionarias)

Relaciones trigonométricas de suma de ángulos

En primer lugar escribiré las relaciones trigonométricas generales de suma de ángulos a partir del diagrama utilizado en clase

En esta figura se muestra un cuarto de circunferencia de radio 1, con dos ángulos α y β. Se dibujan varios triángulos rectángulos en los cuales resulta sencillo identificar el valor de su hipotenusa y catetos. Encadenando estos valores se llega a las relaciones indicadas de cos(α+β) y de sen(α+β)

Coseno de la suma α+β y la resta α-β

 $cos(\alpha+\beta)=cos(\alpha).cos(\beta)-sen(\alpha).sen(\beta)$

Es sencillo combinar esto considerando un cambio de signo $-\beta$
$cos(\alpha-\beta)=cos(\alpha).cos(\beta)+sen(\alpha).sen(\beta)$

Sumando ambas ecuaciones $cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta)=2.cos(\alpha).cos(\beta)$             Ecuación (1)

Esto puede relacionarse con lo que analizamos clases atrás respecto del batido si se considera $\alpha=f_0$ y $\beta=\Delta f/2$

$cos(f_0+\Delta f/2)+cos(f_0-\Delta f/2)=2.cos(f_0).cos(\Delta f/2)$

Veamos lo que plantea Serway (superposición de ondas). Tomando la Ecuación (1) y reemplazando $a=\alpha+\beta$; y $b=\alpha-\beta$

Se tiene que $\alpha=(a+b)/2$; y $\beta=(a-b)/2$

La Ecuación (1) se transforma en la que utiliza Serway

$cos(a)+cos(b)=2.cos((a+b)/2).cos((a-b)/2)$         Ecuación (2)

Ondas que viajan en el mismo sentido

Usé estas expresiones para analizar la superposición de dos fuentes sonoras con igual frecuencia que viajan en el mismo sentido Tomé entonces dos señales $y_1=cos(k.x-\omega.t+\phi_1)$ $y_2=cos(k.x-\omega.t+\phi_2)$

Sumo ambas y tomo en cuenta la Ecuación (2) $y_{total}=y_1+y_2=2.cos(\frac{(k.x-\omega.t+\phi_1)+(k.x-\omega.t+\phi_2)}{2}).cos(\frac{(k.x-\omega.t+\phi_1)-(k.x-\omega.t+\phi_2)}{2})$

$y_1+y_2=2.cos(k.x-\omega.t +\frac{\phi_1+\phi_2}{2}).cos(\frac{\phi_1-\phi_2}{2})$

Reacomodando los términos

$y_1+y_2=2.cos(\frac{\phi_1-\phi_2}{2})~.~cos(k.x-\omega.t +\frac{\phi_1+\phi_2}{2})$

Ondas que viajan en sentidos opuestos

Considerando el caso de sentidos opuestos, cambia el signo del factor dependiente del tiempo dentro del argumento del seno
$y_1=cos(k.x-\omega.t+\phi_1)$ $y_2=cos(k.x+\omega.t+\phi_2)$

Sumo ambas y tomo en cuenta la Ecuación (2)
$y_{total}=y_1+y_2=2.cos(\frac{(k.x-\omega.t+\phi_1)+(k.x+\omega.t+\phi_2)}{2}).cos(\frac{(k.x-\omega.t+\phi_1)-(k.x+\omega.t+\phi_2)}{2})$

En el primer coseno, los factores $kx$ tienen en mismo signo, pero los $\omega t$ tienen signos opuestos. En el segundo coseno sucede lo contrario.

$y_1+y_2=2.cos(k.x+\frac{\phi_1-\phi_2}{2}).cos(-\omega.t +\frac{\phi_1+\phi_2}{2})$

Esto último es la ecuación de una onda estacionaria (como la que generamos en clases en Matlab)