1.2 - Oscilaciones, fasores y complejos

Tabla de contenidos (Fasores y Complejos)

• 1. Funciones senoidales. Fase
• 2. Fasores. Relación entre una senoidal y un vector
• 3. Trigonometría
• 4. Números Complejos
• 5. Suma de funciones senoidales

1. Funciones senoidales. Fase

A partir de disponer de fuentes que generan corriente alterna, necesitamos tener en claro qué cambios podrían producirse en lo que ya sabemos sobre circuitos de corriente continua (que es el nombre dado a los circuitos que tienen pilas o baterías).

Pero existen más cuestiones a tener en cuenta cuando se trabaja con oscilaciones. Una muy importante es la que se produce cuando hay que sumar tensiones o corrientes en un mismo circuito. Cuando se trabaja con corriente continua, siempre será cierto que 1 +1 = 2, pero esto no siempre es así en corriente alterna. Al sumar dos oscilaciones cuyo valor pico es 1 V, el resultado puede ser cualquiera entre 0 y 2 volts, dependiendo de la fase relativa entre ambas. Pero, ¿qué es la fase?

Fase atribuida a una señal senoidal

Básicamente una oscilación tiene otros dos parámetros importantes además de su amplitud, y estas son su frecuencia y su fase. En los circuitos de corriente alterna que analizaremos al principio trabajaremos con oscilaciones que tengan la misma frecuencia, pero que podrían tener fases distintas. 

La figura 1 muestra una oscilación senoidal de fase cero, utilizando como eje horizontal el valor del ángulo.  Hay dos gráficos equivalentes. En el primero se muestra el ángulo en grados, en el segundo se muestra el ángulo en radianes (que es otra unidad para medir ángulos). La escala en radianes se muestra con dos valores: el valor numérico con decimales y ese mismo como una fracción de π.

El anterior es el tipo de gráfico que haría un matemático. Cuando la oscilación depende del tiempo, el eje horizontal ya no será en grados, sino en segundos. El tema es que dado que la oscilación tiene una frecuencia determinada, para cada valor de tiempo se tendrá un ángulo equivalente. La figura 2 muestra una oscilación senoidal de frecuencia 50 Hz y fase cero, donde el eje horizontal es tiempo en segundos. Se muestra además debajo la equivalencia con grados y radianes. El período de una oscilación de 50 Hz es de 20 milisegundos (0,02 segundos)

La oscilación anterior tiene fase cero (es una senoidal que comienza en cero y creciendo). Se dice que una oscilación está desfasada cuando en tiempo igual a cero no comienza con el equivalente a 0º. La siguiente figura muestra una oscilación de 50 Hz con fase 90 grados (90º) o lo que es lo mismo, en radianes, con fase π/2.

NOTA: La fase de una oscilación tiene sentido práctico cuando sirve para comparar la diferencia de fase entre dos más senoidales. Si sólo existiera una senoidal no tendría mucho sentido tenerla en cuenta. Sin embargo, para facilitar el cálculo de diferencias de fase entre senoidales puede definirse arbitrariamente la fase de una única senoidal comparándola con una senoidal que inicie con valor cero y creciendo para un tiempo t=0.

En cierta manera es algo parecido a lo que sucede con el potencial eléctrico y la diferencia de potencial. Se puede definir un potencial para ciertos puntos en un circuito, pero lo que tiene sentido práctico es la diferencia de potencial entre dos puntos.

Para ver si se comprende la idea: ¿Qué fase inicial tiene la oscilación representada en cada una de las figuras que siguen? Identificar la fase en grados y en radianes (como fracción de π). Para simplificar el ejercicio sólo estamos considerando saltos de 45º (o de 1/4 de π) como posibles valores de fase.

La definición de fase que estamos usando para referirnos a una senoidal la compara con una senoidal que en tiempo t=0 tiene valor cero y comienza creciendo. Es muy importante prestar atención al punto donde t=0 y no al llugar donde comienza el dibujo.

El gráfico de la izquierda de la figura siguiente tiene fase 90º (π/2 radianes) y el de la derecha tiene fase 0º (0 radianes)

Rta a la pregunta sobre fases en los gráficos de más arriba. Se muestra primero el resultado en grados y entre paréntesis ese mismo resultado en radianes. 

A) 45º (π/4 radianes);  B) 180º (π radianes); C) 270º (3/2 .π radianes); D)  135º (3/4 .π radianes)

¿Podría ser negativa la fase?

Una aclaración importante sobre la solución del ejemplo C) recién mendionado. Como las funciones senoidales se repiten una y otra vez desde el infinito y hasta el infinito, al representar una fase diferente de cero es lo mismo pensar en dos valores de fase. La que se respondió allí es el valor de fase positiva (que supone imaginar que el gráfico se corre a la derecha para dejar en el tiempo t=0 un valor de ángulo determinado. Pero en realidad también podría haberse corrido hacia la izquierda. En ese caso la respuesta C) podría haber sido un valor negativo: - 90º ( - π/2). Esto se ilustra en las dos figuras que siguen. Ambas representan la misma función senoidal, sólo que en una se expresa la fase positiva 270º (3/2 .π) y en la otra se expresa la fase negativa - 90º (-π/2)

A nivel de uso técnico lo más común es usar fase positiva cuando el valor es menor que 180º y fase negativa en los demás casos. De esta forma, las fases suelen estar entre -180º y 180º (o entre -π y π, si el ángulo se mide en radianes).

2. Fasores. Relación entre una senoidal y un vector

Es posible establecer una relación entre una función senoidal y un vector. No es que ese vector exista, sino que es una forma de imaginarnos una representación de esa sinusoidal. Para establecer la relación hay que suponer una cierta regla de funcionamiento de esa relación. Imaginemos un disco plano que gira (en sentido antihorario, por convención acordada previamente). Sobre ese disco dibujamos un segmento de línea que comienza en el centro y cuya punta está en el extremo del disco. En la figura siguiente se puede observar lo que estamos planteando donde el extremo está representada por un círculo pequeño. 

Supongamos ahora que por cada grado que avanza anotamos prolijamente el valor de la altura alcanzada (en la figura anterior se indica esa altura como si la estuviésemos midiendo contra la pared del lado derecho de la imagen). Toda esa información será una tabla que contiene todos los valores de ángulos de giro (entre 1 y 360 grados), asociando a cada ángulo la altura que alcanza el extremo de esa línea giratorio. Si representamos estos datos en un gráfico donde el eje horizontal (eje x) corresponde a los ángulos y el eje vertical (eje y) contiene las alturas medidas, obtendremos la gráfica de una función seno.

El segmento de línea que suponemos girando se denomina FASOR (que es un nombre que asocia la FASE con un VECTOR, siendo que VECTOR es en matemática una línea orientada por lo que normalmente se le coloca una punta de flecha en su extremo para distinguir el origen y el final).

Si el fasor hubiese comenzado en tiempo cero colocado en forma vertical, el primer valor de altura (sombra contra la pared) habría sido igual a 1, y al comenzar a girar en sentido antihorario comenzaría a bajar. Eso es lo que hace una función seno con fase 90º. La siguiente figura muestra lo que sucede si se tiene fase 90º (fasor ubicado en forma vertical al inicio).

Fasores

Si bien para explicar la relación utilizamos un vector que giraba, el fasor será el vector que se encuentre en la posición de comienzo de la oscilación senoidal. En ese caso, si comenzamos a medir el ángulo del fasor desde el lado positivo del eje horizontal en sentido antihorario, un fasor acostado horizontalmente apuntando hacia la derecha tendrá fase 0 y representará una función senoidal con fase 0º. Un fasor ubicado verticalmente hacia arriba tendrá un ángulo de 90º (será la fase), y representará a una función senoidal de fase 90º (que sería la que se obtendría si comenzase a girar y se marcase cada punto de altura, o sombra contra la pared, que alcanza ese fasor mientras gira).

Las siguientes figuras muestran distintos fasores junto a las funciones senoidales que representan. La longitud del fasor representa la amplitud de la función senoidal, y el ángulo representa la fase. Es muy importante que presten atención a que en t=0 la función senoidal coincide con la altura alcanzada por el extremo del fasor.

Función senoidal con amplitud 1,5 y fase 45º (π/4)

Función senoidal con amplitud 1 y fase 90º (π/2)

Función senoidal con amplitud 2 y fase -45º (- π/4)

Si vemos un fasor como el de la siguiente figura, ¿cómo nos damos cuenta de cuál es la amplitud de la senoidal que representa? 

Pues, observando la longitud total de dicho fasor, que en este caso es 0,75. Como a ese fasor lo imaginaremos dando vueltas, habrá un momento en que quede exactamente vertical, y en ese momento la onda senoidal alcanzará su máximo valor que coincidirá con la longitud del fasor. 

¿Y cómo detectamos la fase? Bueno, para eso habría que medir el ángulo que forma con el eje horizontal (eje x). En este caso, tenemos que el ángulo es de 45º (π/4) y por lo tanto la fase de la función senoidal será de 45º

3. Trigonometría

Necesitamos repasar temas de matemática del nivel secundario relacionados con trigonometría aplicada a triángulos rectángulos.

Básicamente utilizaremos los siguientes conceptos

Suma de ángulos internos de un triángulo: La suma de los ángulos internos de un triángulo siempre da 180º

$\alpha + \beta + \theta = 180º$

Teorema de Pitágoras: La hipotenusa de un triángulo rectángulo (lado más largo) al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado

$h^2 = a^2 + b^2$

De aquí se deduce que si quiero calcular la hipotenusa conociendo los catetos a y b, entonces tendré que 

$h = \sqrt{ a^2+ b^2}$

Y también, que si conozco la hipotenusa (h) y uno de los catetos (b, por ejemplo), puedo calcular el otro cateto (a)

$a =\sqrt{ h^2- b^2}$

Relaciones trigonométricas (seno, coseno y tangente): En todo triángulo rectángulo, la relación entre los catetos y la hipotenusa (tomados de a dos) tienen un nombre particular y se relacionan con uno de sus ángulos (descartando el de 90º)

$sen\left(\alpha \right) = b/h = [cateto opuesto]/\left[hipotenusa\right]$

$\mathrm{<br>}$

$\cos \left(\alpha \right) = a/h = [cateto adyacente]/\left[hipotenusa\right]$

$\mathrm{<br>}$

$\tan \left(\alpha \right) = tg\left(\alpha \right) = b/a = [cateto opuesto]/[cateto adyacente]$

$<br>$

Para recordar estas relaciones, los docentes suelen utilizar una regla mnemotécnica que es una especie de receta de tres siglas:
SOH CAH TOA.
Se interpreta del siguiente modo:
SOH ( Seno es igual a Opuesto sobre Hipotenusa)
CAH( Coseno es igual a Adyacente sobre Hipotenusa)
TOA (Tangente es igual a Opuesto sobre Adyacente)

La tarea que tenemos que encarar con estas relaciones trigonométricas es poder resolver triángulos rectángulos. Entendemos por resolverlos, hallar todos los lados y todos los ángulos a partir de conocer solamente un par de datos: un lado y un ángulo; o bien dos lados. Repetimos esto porque es importante. Si se conocen dos lados de un triángulo rectángulo o se conoce un lado y un ángulo, pueden calcularse todos los demás lados y ángulos utilizando las relacione anteriores.

Ejercicios de Ejemplo 

(para ver si comprendieron lo que se necesita saber)

Es importante en esta parte que la calculadora esté en MODO DEG (degree) que quiere decir que dará los resultados de ángulos en grados. No hay que confundir con el MODO GRA (gradians) y en esta materia no utilizaremos el modo  RAD (radianes).

Para asegurarse de que todo esté bien pueden intentar calcular seno de 90º, si está en el modo correcto debe dar igual a uno. De lo contrario deberán cambiar el modo a DEG, antes de hacer los ejercicios.

1. Dado un triángulo rectángulo, en donde se conoce el valor del cateto adyacente (a = 2) y el ángulo (α =60º), calcular el ángulo opuesto (ß), y los valores de la hipotenusa (h) y el cateto opuesto (b).

2. Dado un triángulo rectángulo, en donde se conoce el valor del cateto opuesto (b = 2) y el ángulo (α =60º), calcular el ángulo opuesto (ß), y los valores de la hipotenusa (h) y el cateto adyacente (a).
   

3. Dado un triángulo rectángulo, en donde se conoce el valor de la hipotenusa (h = 2) y el ángulo (α =60º), calcular el ángulo opuesto (ß), y los valores de ambos catetos (a y b).
   

4. Dado un triángulo rectángulo, en donde se conoce el valor de ambos catetos (a=4 t b=8), calcular el valor de la hipotenusa (h) y de los ángulos que no son de 90º (α y ß).

5. Dado un triángulo rectángulo, en donde se conoce el valor de la hipotenusa (h=8) y el cateto adyacente (a=4), calcular el valor del cateto opuesto (b) y de los ángulos que no son de 90º (α y ß).

Respuestas:

4. Números Complejos

Los números complejos tienen mala fama entre los estudiantes, pero en realidad no son tan "complejos".

Una de las dificultades principales para enseñarlos es que cuando se estudian en el nivel secundario no suele existir ningún tipo de problema práctico conocido por los estudiantes para el cual puedan resultar útiles. Es un problema bastante típico de lo que uno debe aprender en este nivel. Los número complejos son la solución práctica a un problema que ninguno de los estudiantes conoce, ni ha tenido que enfrentar. La escuela está llena de soluciones para problemas que no tenemos (al menos, no en ese momento).

En realidad, son una manera de operar con valores que tengan una magnitud (módulo) y un ángulo (fase), por lo cual calzan justo en el problema de sumar fasores (y por relación directa para sumar funciones senoidales).

Los números complejos pueden pensarse como vectores (o también como fasores) y se representan de más de una manera.

Un modo de representarlos es indicando el módulo (su longitud o su magnitud) y su ángulo (fase).

Si tenemos un vector (o un fasor) de módulo 10 y ángulo (fase) 60º, podemos escribirlo del siguiente modo

$z = 10 \angle 60º$

NOTA: Los matemáticos suelen usar la letra z para representar números complejos (así como usan la x para números reales). Los electrónicos también, aunque por motivos diferentes que veremos pronto.

El modo que mencionamos recién de representar un complejo se denomina "modo polar".

Existe otra manera (que es la que probablemente hayan visto algunos en el secundario) y es mediante lo que se conoce como su parte "real" y su parte "imaginaria". Si pensamos que el vector z del ejemplo recién mencionado (módulo 10 y ángulo 60º) es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, entonces lo que los matemáticos llaman "parte real" no es más que el cateto adyacente (horizontal), y la "parte imaginaria" no es más que el cateto opuesto (vertical).

La figura anterior muestra el vector. Allí se ve que su cateto adyacente (parte real) vale 5 y su cateto opuesto (parte imaginaria) vale 8,66. En la manera de escribir el número los matemáticos decidieron anotarlo como si fuera una suma de estas dos partes, pero se ocuparon cuidadosamente de que estos dos catetos queden claramente diferenciados de modo que nadie los sume así nomás. Por este motivo se agrega una i (que aparece como multiplicando) a uno de los términos. El modo de expresar este vector (número complejo) del que estamos hablando es el siguiente:

z = 5 + i.8,66

Es como si los hubiesen coloreado de distinto modo para que nadie los sume como si nada.

z = 5 + i.8,66

La parte real está en rojo (y se relaciona con el cateto adyacente), y la parte imaginaria está en azul (y se relaciona con el cateto opuesto).

Es importante que entiendan que aunque hay un signo + allí, no se está esperando ninguna operación entre esos dos valores. Queda expresado de ese modo. Dicho con otras palabras, jamás un matemático anotaría como valor final un resultado que dijese z = 2+5. Anotaría el resultado y escribiría z = 7. Pues bien, en los números complejos el formato mostrado ya es el resultado final.

Esta forma de representar números complejos se conoce como "modo binomial" (también suele llamarse "cartesiano" o "rectangular").

¿Cómo pasar del formato polar al formato binomial y viceversa?

Pues, aplicando lo que repasamos de triángulos rectángulos. 

a) Si tengo el número complejo expresado en formato polar, esto quiere decir que conozco la hipotenusa y el ángulo. Para hallar el formato binomial necesito calcular ambos catetos de un triángulo rectángulo.

b) Si tengo el número complejo expresado en formato binomial, esto quiere decir que conozco el valor de sus dos catetos, y lo que tengo que calcular es la hipotenusa y el ángulo.

4.1. Ejercicios de cambio de formato de números complejos

Veremos pronto que es importante poder pasar del formato polar al binomial, y viceversa.

¿Cómo pasar del formato polar al binomial?

Ejercicio 1: Se tiene el número complejo z = 8 ∠25º. Expresarlo en formato binomial

Lo que tenemos que hacer es hallar los valores de a (adyacente) y b (opuesto) y expresarlo como z = a + i.b

Hallemos el cateto adyacente a. Como tenemos la hipotenusa y queremos el adyacente, buscamos la relación trigonométrica que contenga a ambos. Pensamos en SOH CAH TOA y vemos que CAH tiene adyacente A e hipotenusa H. 

Escribimos primero la relación y despejamos a

$$\begin{gathered} \cos \left(\alpha \right) = \frac{a}{h} \Rightarrow h.\cos \left(\alpha \right) = a \\ Por lo \tan to, a =8.\cos (25º) = 8 . 0,906 = 7,25 \end{gathered}$$

Hallemos ahora el cateto opuesto b. Utilizamos ahora la relación que contenta al opuesto O y la hipotenusa H. Tomando SOH CAH TOA, se ve que hay que utilizar SOH. Escribimos primero la ecuación y luego buscamos despejar lo que no conocemos.

$$\begin{gathered} sen\left(\alpha \right) =\frac{b}{h} \Rightarrow h.sen\left(\alpha \right) = b \\ Por lo \tan to, b = 8.sen(25º) = 8 . 0,423 = 3,38 \end{gathered}$$

Solución: z = 7,25 + i . 3,38

Lo que mostramos fue el modo de calcularlo paso a paso, pero en realidad siempre que hay que pasar de formato polar a formato binomial se utilizan las mismas ecuaciones, por lo cual puede decirse que la solución general es la siguiente. Si se tiene un número complejo en formato polar genérico z = H ∠ α, entonces su formato binomial será

$z = H.\cos \left(\alpha \right) + i . H.sen\left(\alpha \right)$

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Ejercicio 2: Se tiene el número complejo z = 3 + i .2. Expresarlo en formato polar

Lo que tenemos que hacer ahora es hallar los valores de H (hipotenusa) y α (ángulo) y expresarlo como z = H  ∠α

Hallemos la hipotenusa H. Para ello utilizamos el teorema de Pitágoras.

$H = \sqrt{a^2 + b^2} \Rightarrow H = \sqrt{2^2 + 3^2} = 3,61$

Para hallar el ángulo necesitamos una relación trigonométrica (que relaciona el ángulo con dos lados). Tenemos como datos originales el adyacente y el opuesto, por lo que buscamos en SOH CAH TOA, cuál relación junta al adyacente A y al opuesto O. Esta relación es TOA. La escribimos y luego pensamos cómo despejamos lo que queremos hallar.

$\tan \left(\alpha \right) = \frac{b}{a} = \frac{2}{3} =0,667$

Necesitamos despejar α, y para eso pasamos la tangente para el otro lado como la inversa de la tangente (que se expresa con dos palabras arc tan y en las calculadoras figura como tan^-1)

$\alpha = arc \tan (0,667) = 33,7º$

Solución: z = 3,61  ∠ 33,7º

Tal como sucedió en el ejercicio anterior. Siempre que tengamos que pasar un número complejo del formato binomial al formato polar, haremos los mismos pasos. Por lo tanto el proceso se puede resumir en una sola línea. Si tenemos un número complejo z = a + i.b, entonces su formato polar será:

$z = \sqrt{a^2 + b^2} \angle arc \tan \left(\frac{b}{a}\right)$

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Ejercicios de práctica:

3. Pasar z = 8 ∠ 42º a formato binomial

Solución:    z = 5,95 + i.5,35

4. Pasar z = 4,5 + i.3 a formato polar

Solución:    z = 5,41 ∠ 33,7º

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Casos especiales a tener en cuenta (ángulos mayores a 90º o negativos)

La forma de pasar entre formatos mencionada antes tiene algunos casos especiales que hay que conocer para evitar confusiones. El tema es que si bien se aprovechó en matemática lo que se había desarrollado para triángulos rectángulos, cuando se aplica esto a funciones senoidales o números complejos se generalizó la idea a casos en los que ya puede no tener sentido hablar de triángulos rectángulos.

Un caso es el de un fasor con cualquier valor de módulo (por ejemplo, 2) y fase 90º. En este caso ya no es posible pensar en un triángulo rectángulo donde el fasor sea la hipotenusa. Vimos cuando analizábamos la fase de una senoidal que era posible decir que tenía fase - 45º. Pero, ¿qué triángulo rectángulo puede tener un ángulo negativo? Tampoco es sencillo  ver a qué triángulo rectángulo corresponde un fasor de 135 º.

Los matemáticos crearon una nueva definición de coseno y de seno, que fuese compatible con la anterior (que coincida para todos los triángulos rectángulos) pero que sirva también para ángulos mayores a 90.
La definición original de coseno de un ángulo dice que es la división entre el cateto adyacente y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. La nueva definición dice que el coseno de un ángulo es la longitud de la proyección contra el eje x (la sombra contra el piso) provocada por un vector de módulo 1 y ese ángulo.

De modo similar, la definición original de seno dice que es la división entre el cateto opuesto y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. La nueva definición dice que el seno es la longitud de la proyección con el eje y (la sombra contra la pared) provocada por un vector de módulo 1 y ése ángulo. Con ese cambio de definición se logra dar sentido al coseno de valores que están fuera del rango de 0º a 90º. Desde un punto de vista de utilidad inmediata podría no preocuparnos por el momento, y que la calculadora utiliza esta definición general. Esto quiere decir que puedo utilizar la misma ecuación general de pasaje (que repetimos a continuación) aún cuando el ángulo sea negativo.

En general, nos alcanzará en esta materia trabajar con ángulos entre -90º y 90º de fase. Se muestran a continuación ejemplos de los resultados cuando se tienen ángulos dentro de este rango

Pasaje de polar a binomial 

$z = H.\cos \left(\alpha \right) + i . H.sen\left(\alpha \right)$

Ejemplos (se muestra primero el formato polar, luego la expresión matemática y por último el binomial equivalente)

$a) z = 10 \angle 45º = 10.\cos (45º) + i.10.sen(45º) = 7,07 + i.7,07$

$b) z = 10 \angle -45º=10.\cos (-45º) + i.10.sen(-45º) = 7,07 - i.7,07$

Pasaje de binomial a polar

$z = \sqrt{a^2 + b^2} \angle arc \tan \left(\frac{b}{a}\right)$

$a) z = 3 + i.4 = \sqrt{3^2 + 4^2} \angle arc \tan (\frac{4}{3}) = 5 \angle 53,1º$

$b) z = 3 - i.4 = \sqrt{3^2 +{(-4)}^2}\angle arc \tan (\frac{-4}{3}) = 5 \angle -53,1º$

Ejercicios de práctica con ángulos fuera del rango entre 0 y 90º:

5. Pasar z = 8 ∠ - 42º a formato binomial

Solución:    z = 5,95 - i.5,35

6. Pasar z = 4,5 - i.3 a formato polar

Solución:    z = 5,41 ∠ - 33,7º

NOTA: Hay un caso especial que podría generar confusión al resolverlo con calculadora y es cuando el número complejo es "imaginario puro" (no tiene parte real). El tema es que al calcular el arco tangente colocamos el cateto opuesto arriba y el cateto adyacente (parte real) abajo de la división. Pero resulta que si el número no tiene parte real quiere decir que estaríamos pidiendo a la calculadora que dividiese por cero. Cuando intentamos hacer eso nos da ERROR.
Ejemplo: z = 0 + i.3
No hay problema en obtener su módulo con la raíz cuadrada y nos dará 3. Pero si tratamos de usar la ecuación para obtener su fase resulta que arc tan(3/0) hará que la calculadora marque ERROR. 
¿Qué hay que hacer en ese caso? Simplemente prestar atención a la interpretación. La ecuación es un truco matemático para averiguar en qué dirección apunta el vector que representa el número complejo. Si sólo tiene parte imaginaria puedo saber (sin hacer ninguna cuenta) que el vector está ubicado en forma vertical. La única duda es si está apuntando hacia arriba o hacia abajo. Si el signo de la parte imaginaria es positivo, entonces la fase es 90º, si es negativo entonces la fase es -90º.

5. Suma de funciones senoidales

Los números complejos son una manera de representar a los fasores, y a su vez estos son un modo de representar a las funciones senoidales. La suma de complejos nos permitirá sacar conclusiones que servirán para la suma de funciones senoidales.

La suma de dos números complejos es sencilla si están expresados en formato binomial. Simplemente se trata de sumar la parte real de uno con la parte real del otro (los números que no tienen la "i") y sumar por separado la parte imaginaria de cada uno (los números que tienen la "i").

Ejemplo: Si tenemos dos números complejos 

z1 = 2 + i.5

z2 = 7 + i.3

Y se nos pide hallar el valor de z que corresponda a la suma de ambos (z = z1 + z2), el resultado será

z = z1 + z2 = (2+7) + i.(5+3) = 9 + i.8

Lo único que hay que tener en cuenta es que los reales (sin la "i") se suman entre ellos, y los imaginarios (los que tienen la "i") se suman entre ellos. No se pueden sumar los reales con los imaginarios, sino que queda expresado con el símbolo "+" pero manteniéndolos separados.

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La utilidad de ester proceso surge cuando lo aplicamos para saber qué resultado se obtendrá al sumar dos funciones senoidales que representan tensión en volts.

Consideremos las dos funciones senoidales que se muestran en el siguiente gráfico, del que se nos pide hallar la suma.

Ambas tienen amplitud igual a uno. Una tiene fase 90º y la otra tiene fase 0º.

Llamemos V1 y V2 a los fasores correspondientes a cada función, Tenemos que V1 = 1 ∠ 90º y V2 = 1  ∠ 0º. La suma de números complejos se realiza en formato binomial, de modo que para sumarlos debemos pasar estos resultados a formato binomial

V1 = H1 . cos(90º) + i . H1.sen(90º) = 1x0 + i. 1x1 = 0 + i.1

V2 = H2 . cos(0º) + i . H2.sen(0º) = 1x1 + i. 1x0 = 1 + i.0

Por lo tanto V12 = V1 + V2 podrá obtenerse como la suma de esos dos números complejos.

V12 = 0 + i.1 + 1 + i.0 = (0+1) + i.(1+0) = 1 + i.1

Para determinar la amplitud y la fase de V12 (suma de ambas senoidales) tenemos que pasar V12 al formato polar. 

$V_{12} = \sqrt{1^2 + 1^2} \angle arc \tan \left(\frac{1}{1}\right)$

$$\begin{gathered} donde \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2 } = 1,\mathrm{41 } \\ y \; arc \tan \left(\frac{1}{1}\right) = 45º \end{gathered}$$

$Queda entonces V_{12} = 1,41 \angle 45º$

El siguiente gráfico muestra nuevamente ambas tensiones senoidales, los fasores de cada una, el fasor que se obtiene como suma, y también la tensión V12

Lo importante a comprender aquí es que el resultado de sumar los complejos me permite saber cuánto va a ser el valor máximo de la suma de ambas senoidales, y además me permite saber qué fase va a tener.

5.1. Ejercicios de suma de oscilaciones

Ejercicio de ejemplo

1. Dadas las dos tensiones senoidales siguientes (V1 y V2), indicar cuál es el valor pico del resultado de la suma de ambas (V12) y cuál es su fase.

Solución:
Lo primero que hay que hacer es identificar los fasores que representan esas senoidales. El fasor de la tensión v1 tiene módulo 0,5 y fase 90º. El fasor de la tensión v2 tiene módulo 1,5 y fase 0º.
Entonces sabemos que 
V1 = 0, 5 ∠90º
V2 = 1,5 ∠ 0º
Tenemos que pasarlos a formato binomial para sumar. 
V1 = 0,5.cos(90º) + i.0,5.sen(90º) = 0 + i.0,5
V2 = 1,5.cos(0º) + i.1,5.sen(0º) = 1,5 + i.0

V12 = V1 + V2 = 1,5 + i.0,5
Este es el resultado de la suma en binomial, pero la pregunta era respecto del valor pico de la suma (y esto será el módulo del fasor) y la fase (que será el ángulo del fasor)
Tenemos entonces que pasar el resultado a formato polar

$V_{12} = \sqrt{({1,5}^2 + {0.5}^2)} \angle arc \tan \left(\frac{0.5}{1,5}\right)$

V₁₂ = 1,58 ∠ 18,4º

La respuesta es que la suma de V1 y V2 da una senoidal de amplitud 1,58 y fase 18,4º
Requiere un poco de práctica representar la senoidal con ese valor de fase, y no es algo que estuviese pedido en este ejercicio. Sin embargo, consideramos apropiado mostrarles la tensión V12 para que comprendan lo que significan los resultados que obtuvimos.

Ejercicio de ejemplo

2. Se tienen las tensiones senoidales V1 y V2, obtener el resultado de la suma V12 = V1 + V2
V1 = 5 ∠ 45º; 
V2 = 3 ∠ - 30º

Solución:
Primero hay que hallar V1 y V2 en formato binomial
V1 = 5,cos(45º) + i.5.sen(45º) = 3,54 + i.3,54
V2 = 3,cos(- 30º) + i.3.sen(- 30º) = 2,60 - i.1,5

Luego sumar reales con reales e imaginarios con imaginarios
V12 = (3,54 + 2,6) + i.(3,54 - 1,5) = 6,14 + i.2,04

Por último hay que volver a formato polar
Para ello hay que hacer la raíz de para obtener el módulo y el arco tangente para obtener el ángulo. Se sugiere colocar paréntesis al calcular la raíz (de otro modo la calculadora sacará la raíz del primer número y sumará el resultado con el segundo.

$$\begin{gathered} \sqrt{\left({6,14}^2 + 2,{04}^2\right)} = 6,47 \\ arc \tan \left(\frac{2,04}{6,47}\right) = 17,5º \end{gathered}$$

La respuesta es
V₁₂ = 6,47 ∠17,5º
NOTA: El valor en grados puede diferir ligeramente dependiendo de la precisión utilizada. Algunos estudiantes pueden obtener 18,4º si utilizan más precisión.

Ejercicio de ejemplo

3. Se tienen las tensiones senoidales V1 y V2, obtener el resultado de la suma V12 = V1 + V2
V1 = 3 ∠ 45º; 
V2 = 5 ∠ - 30º

Solución:
Primero hay que hallar V1 y V2 en formato binomial
V1 = 3,cos(45º) + i.3.sen(45º) = 2,12 + i.2,12
V2 = 5,cos(- 30º) + i.5.sen(- 30º) = 4,33 - i.2,5

Luego sumar reales con reales e imaginarios con imaginarios
V12 = (2,12 + 4,33) + i.(2.12 - 2,5) = 6,45 - i.0,38

En este caso la parte real es positiva y vale 6,45 y la parte imaginaria es negativa y vale -0,38.
Por último hay que volver a formato polar. 
Para ello hay que hacer la raíz para obtener el módulo y el arco tangente para obtener el ángulo.

Se sugiere colocar paréntesis al calcular la raíz (de otro modo la calculadora sacará la raíz del primer número y sumará el resultado con el segundo, y mantener los valores negativos entre paréntesis para evitar confusiones.

$$\begin{gathered} \sqrt{\left({6,45}^2 + {\left(-0,38\right)}^2\right)} = 6,46 \\ arc \tan \left(\frac{\left(-0,38\right)}{6,45}\right) = -3,37º \end{gathered}$$

La respuesta es
V₁₂ = 6,46 ∠ -3,37º

Ejercicios de práctica

3. Se tienen las tensiones senoidales V1 y V2, obtener el resultado de la suma V12 = V1 + V2
V1 = 8 ∠ 60º; 
V2 = 3 ∠ - 30º

Respuesta: V12 = 8.54 ∠39,4º

4. Se tienen las tensiones senoidales V1 y V2, obtener el resultado de la suma V12 = V1 + V2
V1 = 2 ∠ 60º; 
V2 = 7 ∠ - 30º

Respuesta: V12 = 7.28 ∠ - 14,1º

5. Se tienen las tensiones senoidales V1 y V2, obtener el resultado de la suma V12 = V1 + V2
V1 = 5 ∠ 60º; 
V2 =  10∠ - 45º

Respuesta: V12 = 9.96 ∠ - 16,0º

6. Se tienen las tensiones senoidales V1 y V2, obtener el resultado de la suma V12 = V1 + V2
V1 = 8 ∠ 60º; 
V2 = 3 ∠ 45º

Respuesta: V12 = 10,93 ∠55,9º