1.1 - Oscilaciones

Tabla de contenidos

1. Oscilaciones de presión sonora

2. Clasificación de señales acústicas

3. Señales periódicas

4. Amplitud, frecuencia y fase de una oscilación

1. Oscilaciones de presión sonora

Una oscilación es el nombre dado a una variación temporal de un parámetro físico. En acústica podremos referirnos a una oscilación de presión, aunque veremos que también podríamos estar hablando de una oscilación de la velocidad de las partículas. Comenzaremos pensando en oscilaciones de presión de aire, porque es el caso más común.

Esta oscilación de presión es una variación en el tiempo de la presión en un punto determinado. Elegido un punto del espacio, si tuviésemos un instrumento que informase en cada instante el valor de presión obtendríamos el gráfico de la oscilación correspondiente al sonido que está pasando por dicho punto. 

La presión definida por la física en forma general no puede ser negativa, sin embargo la presión sonora si puede tener valores instantáneos negativos. Veamos esto último con algo más de detalle.

Si en un cierto lugar existiese silencio absoluto y alguien midiese la presión en un punto determinado, se obtendría la presión atmosférica (1013 hecto pascales = 101 300 pascales). Cuando algún elemento vibrante perturba las moléculas de aire, esta perturbación comienza a propagarse haciendo que en forma progresiva algunas pequeñas zonas aumenten ligeramente la presión por encima de la presión atmosférica y otras sonas disminuyan ligeramente su valor. 

La siguiente imagen es un extracto del modo en que habla de presión sonora Federico Miyara en su libro Control de Ruido

Para analizar el fenómeno del sonido solamente interesan las diferencias (y no la presión atmosférica que podría ignorarse en la mayoría de las situaciones), por lo cual se define la presión sonora como la presión efectiva que hay en determinado punto menos la presión atmosférica normal que habría si no hubiese un sonido propagándose. Definida de esta manera la presión sonora puede adquirir en algunos instantes valores negativos.

La presión atmosférica sería una medida de qué tan cerca están las partículas entre si. Cuanto más apretadas, mayor es la presión. Cuando una vibración produce una perturbación en el medio y comienza a propagarse hay instantes donde el acercamiento es mayor al promedio (aumenta la presión en ese instante) y otros en que el acercamiento es menor (disminuye la presión por debajo del promedio). La oscilación de la presión sonora sólo retrata cuánto sube y baja la presión en relación a ese valor promedio.

En un caso muy simple de describir dicha oscilación podría representarse mediante una función senoidal, pero en realidad la oscilación puede consistir en variaciones de gran complejidad. Se denomina señal a esa variación en función del tiempo que oscila alrededor de un punto de equilibrio. Si es una variación de presión de aire, hablamos de señal sonora o señal acústica. Si es una variación de tensión eléctrica dentro de un equipo electrónico lo denominados señal de audio.

2. Clasificación de señales acústicas

¿Cuántos tipos diferentes de señales acústicas es posible detectar en un punto determinado?

Claramente son infinitas. Pero para poder analizarlas se eligen criterios que permitan clasificar las señales. Todo registro de una señal sonora tendrá comienzo y final, pero como sucede en muchas áreas de la ciencia puede resultar útil imaginar situaciones "no reales" para estudiar sus propiedades. Esto puede sonar extraño, y hasta cómico, pero es un modo que encontró la ciencia de ir generando modelos sobre los que resulta posible obtener conclusiones certeras, y luego ver qué tanto se parece una situación real al modelo.

Una primera clasificación sería la de las señales que tienen alguna característica que se mantiene en el tiempo (siempre igual) y aquellas que no pueden describirse de un modo que se mantiene igual en el tiempo.

En términos un poco más técnicos, las señales que tienen características estables en el tiempo toman el nombre de "estacionarias", y las otras el nombre de "no estacionarias". Las señales estacionarias suelen ser más simples de describir, aunque hablando en sentido estricto tendrían que tener duración infinita.

No tenemos que pensar que las señales estacionarias sólo se corresponden con algo periódico. Un ruido blanco permanentemente presente es un ejemplo de onda estacionaria en la cual no hay nada parecido a un período ni a partes que se repitan. Lo que sucede en este caso es que una de sus características (su nivel de energía en cada banda de frecuencia) se mantiene constante.

¿Por qué es importante este tipo de clasificación? Porque algunas de las cosas que sucedan o los modos de medir serán diferentes si considero una señal estacionaria o una señal no estacionaria.

Gustavo Basso, en el primer capítulo de su libro "Análisis Espectral" utiliza la siguiente clasificación se señales acústicas.

Estacionarias son las que tienen propiedades que se mantienen constantes a lo largo del tiempo. Cierta propiedad daría el mismo valor si la mido ahora o si la mido unos instantes después. Basso aclara que ninguna señal real es estrictamente estacionaria ya que no puede durar para siempre. Las deterministas son las que están completamente especificadas por sus propiedades, por ejemplo un tono compuesto, y son aleatorias cuando su propiedad estacionaria se cumple "en promedio" como puede ser el caso de un ruido continuo. 

A su vez divide a las deterministas en periódicas y cuasi periódicas. ¿Es que no sería posible imaginar señales deterministas aperiódicas? Matemáticamente sería posible, pero de un modo extremadamente rebuscado sumando por ejemplo una senoidal de frecuencia 100 y otra de frecuencia 100.π. La clasificación que hace Basso tiene que ver con los modos de analizar este tipo de señales, e intenta diferenciar las señales periódicas exactas (sintetizadas sumando senoidales, por ejemplo) de las generadas por instrumentos musicales reales que tendrán ciertas diferencias entre un período y el siguiente.

      

Por su parte las no estacionarias las divide en continuas y transitorias. Nuevamente es un criterio en base al tipo de análisis que se pretende hacer. El ruido de tráfico en una avenida se consideraría no estacionario continuo, mientras que un golpe de tambor sería no estacionario transitorio.

Ninguna clasificación es definitiva, sino que puede ser adecuada al tipo de análisis que se pretende hacer. Lo importante de rescatar aquí la clasificación de Basso es que varias de las cuestiones que analizaremos en esta clase se referirán a señales estacionarias deterministas (que podremos expresar mediante ecuaciones matemáticas).

3. Señales periódicas

La más simple de las señales periódicas es una senoidal pura.

¿Por qué se la considera la señal más simple? ¿No es más simple una señal cuadrada o una triangular?

Depende del sentido que le demos a la palabra "simple". Evidentemente es más sencillo dibujar una onda cuadrada que una senoidal, pero hay dos argumentos para sostener la calificación de "simple" para una onda senoidal.

El primer argumento tiene que ver con que las oscilaciones se producen cuando tenemos sistemas en equilibrio que son perturbados.  Un resorte con una masa colgada es un ejemplo. La ley más sencilla sobre la fuerza que provoca el equilibrio (que se denomina fuerza de restitución) se produce cuando la fuerza es directamente proporcional a cuánto se aparta la masa del equilibrio. Si se aparta dos centímetros la fuerza de restitución del equilibrio es el doble que si se aparta un centímetro. Con esta ley de equilibrio simple un sistema tiende a oscilar con forma senoidal.

El otro motivo tiene que ver con efectos físicos de interacción de elementos vibrantes con otros elementos, por ejemplo el rozamiento que va provocando una pérdida natural de energía del oscilador. Resulta que estos fenómenos se comportan de modo similar a como lo hacen los filtros en electrónica. Si una señal senoidal pasa por un filtro lo que sale es una señal senoidal de la misma frecuencia (puede tener distinta amplitud y fase, pero será una senoidal).  Sin embargo, si una señal cuadrada pasa por un filtro lo que sale es una señal que cambió su forma. De modo que si bien es más sencillo dibujar una señal cuadrada, los cálculos para ver cómo cambia cuando interactúa con otras cosas se vuelven más complicados. De hecho, cuando una señal acústica compuesta  va perdiendo energía su forma va cambiando con el tiempo (porque cada componente senoidal es afectada de modo diferente por esa pérdida de energía), pero si la señal original era una senoidal su forma de onda no cambiará y solamente irá disminuyendo su amplitud y cambiando su fase.

Este tipo de movimiento (ese vaivén del resorte) se denomina Movimiento Armónico Simple (MAS), que es un término para diferenciarlo de otros movimientos idealizados en la física como el Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU), el Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV) y el Movimiento Circular (MC).

La señal que corresponde al Movimiento Armónico Simple siempre será una senoidal y quedará completamente determinada por tres parámetros: Su amplitud, su frecuencia y su fase.

La amplitud es una medida de cuánto se aparta del punto de equilibrio. Se relaciona con qué tanto vibra y en una señal acústica indicará si es un sonido más fuerte o más débil.

La frecuencia es la cantidad de ciclos completos que se realizan por cada segundo. Se relaciona la altura tonal (sonidos graves de baja frecuencia o agudos de alta frecuencia).

La fase es un parámetro un poco más arbitrario. Si considerásemos señales estacionarias que estuvieron presentes desde siempre y no terminarán nunca, la fase no nos dice mucho excepto cuando se consideren simultáneamente más de una oscilación. Sin embargo matemáticamente es útil considerar una referencia temporal (imaginar que hay algo que me define un valor de tiempo igual a cero) y en ese caso se puede hablar de fase (relativa a ese comienzo). En una grabación el tiempo cero podría ser el comienzo de la grabación, aunque la oscilación hubiese estado desde siempre. De todas formas es importante tener en cuenta que aún cuando se considere un valor t=0 para tomar en consideración la fase, no hay que pensar que antes de tiempo cero la onda no existía. Matemáticamente estamos hablando de una señal que existe desde siempre oscilando de la misma manera.

4. Amplitud, frecuencia y fase de una oscilación

Recordemos algunas características básicas de una oscilación simple. 

La oscilación provocada por un movimiento armónico simple (un resorte o un péndulo por ejemplo) se tratará de una senoidal pura. Toda senoidal pura se representa del siguiente modo

$y\left(t\right) = A.sen(2\pi .f.t + \phi )$

Donde A es el valor de amplitud en pascales, f es la frecuencia en hertz y φ (la letra griega phi) es la fase en radianes.

¿De dónde sale esta ecuación?

Para explicar esto viene bien recordar el tema de los fasores. Resulta que un movimiento armónico simple coincide exactamente con la proyección (la sombra) de un movimiento circular. En el siguiente gif animado se muestra la sombra de un movimiento armónico simple junto a un movimiento circular y luego se muestra un fasor girando y sus proyecciones contra el eje horizontal y el eje vertical. Estas dos proyecciones son movimientos armónicos simples.

Nos interesa describir matemáticamente el movimiento armónico simple, pero resulta que es más sencillo considerar que tenemos un movimiento circular y nos quedamos con su proyección.

Supongamos que el fasor (el vector que gira) tiene una longitud A y que en el instante inicial (tiempo cero, no porque comience allí) tiene un ángulo φ con el eje x. 

Consideremos la proyección vertical (la sombra contra la pared). ¿Cuánto vale esa proyección, indicada con un signo de interrogación en la figura anterior?

En la siguiente figura podemos notar que es posible identificar un triángulo rectángulo formado por las líneas roja, verde y azul. Además el segmento verde del triángulo rectángulo coincide exactamente con el valor de la proyección que queremos calcular. 

De manera que todo se reduce a calcular el segmento verde del triángulo rectángulo. Ese es el cateto opuesto, por lo que aplicando la regla de SOH CAH TOA, vemos que conocemos la hipotenusa (el fasor que tiene longitud A), y queremos obtener el opuesto, por lo tanto elegimos SOH (el seno incluye el valor que conocemos y el que queremos averiguar). Utilizarmos la "y" para representar ese valor

$sen\left(\phi \right) = \frac{opuest\mathrm{o.}}{hipotenusa} \Rightarrow sen\left(\phi \right) = \frac{y}{A}$

Despejando tenemos que $y = A.sen\left(\phi \right)$

Supongamos ahora que repetimos esto para un instante posterior. El fasor gira con velocidad constante, por lo tanto el ángulo ahora será más grande, pero no sólo eso. Sabemos también que cuanto más tiempo pase mayor será el ángulo. Esto quiere decir que el nuevo ángulo en un instante t podrá expresarse como φ + K.t (donde K será alguna constante de proporcionalidad que calcularemos dentro de poco). En una suma se pueden invertir los términos de modo que podremos expresar lo anterior diciendo que tendremos que calcular sen(K.t+φ)

La sombra en la pared para un instante t, puede expresarse entonces como 

$y\left(t\right) = A.sen(K.t+\phi )$

Veamos ahora cuánto debería valer K. Claramente tiene que tener relación con qué tan rápido gira el fasor. Cuanto más rápido gire,mayor será el valor de K. 

Sabemos que cuando el fasor dé una vuelta completa, el resultado de la sombra tendría que ser el mismo que al inicio. En ese caso estaríamos sumando 360º al ángulo original φ. ¿Y cuánto valdrá t cuando el fasor haya dado un giro completo? Sabemos que un giro corresponde a un período, por lo tanto t en esa situación es igual a un período. (NOTA: Es probable que hayan utilizado la letra P para indicar período, porque es lo que suele hacer Basso en sus libros, sin embargo en toda la literatura suele utilizarse la T mayúscula).

Entonces sabemos que K.T tiene que ser igual a 360º, y entonces $K = \frac{360º}{T}$

Pero sabemos algo más. Sabemos que la frecuencia es igual a uno sobre el período ($f = \frac{1}{T}$)

Entonces K puede calcularse como 360º sobre T, o también como 360º.f

Nuestra ecuación queda entonces

$y\left(t\right) = A.sen(360º.f.t + \phi )$

Esta ya es una ecuación completa válida para describir la oscilación. Sin embargo no coincide con la que conocemos. Esto es porque hicimos todos los cálculos pensando los ángulos en grados. Por lo tanto la ecuación anterior necesitaría que el ángulo de fase también se exprese en grados.

Los radianes son otra manera de medir los grados, de modo tal que cuando se tiene un ángulo de 360 en grados, eso corresponde a un angulo de 2π en radianes. Si reemplazamos el 360º por 2π tendremos la ecuación que aparece en los libros.

$y\left(t\right) = A.sen(2\pi .f.t + \phi )$

Con la aclaración de que en este caso el ángulo de fase φ tiene que escribirse en radianes para poder hacer los cálculos, y la calculadora debe colocarse también en modo RAD (de radianes) en lugar del modo DEG (degree) que corresponde a grados.

Dado que el factor 2π.f aparecerá frecuentemente, en muchos libros se utiliza una nueva constante que se denomina frecuencia angular (sería una especie de frecuencia medida en radiantes por segundo, en lugar de ciclos por segundo). Esta constante se representa con la letra griega omega minúscula que es como una doble vé con puntas redondeadas.

frecuencia angular     $\omega = 2\pi .f$

Con este cambio la ecuación de una oscilación simple queda

$y\left(t\right) = A.sen(\omega .t + \phi )$

4.1. Angulo en grados y en radianes

¿Por qué los ángulos se miden de modo que 360º corresponde a un giro completo? ¿Por qué no 100 de lo que sea? ¿Por qué se decidió utilizar un valor tan extraño?

La respuesta a esta pregunta se remonta a muchos siglos atrás (muchísimos). Antes de que la humanidad comprendiese los números con decimales, no había una notación clara ni forma de operar con algo que no pudiera expresarse con valore enteros (sin decimales). Quienes hayan aprendido notación romana (como XIX, por ejempo) podrán notar lo difícil que podría ser imaginar cálculos con decimales utilizando esa complicada notación. Hoy parece fácil, porque sus mentes ya fueron "aradas" por años de trabajo en la escuela, pero pensemos que una civilización como la romana que tuvo impresionantes logros en muchas áreas no fue capaz de utilizar una forma de anotar números que permitieran un montón de operaciones que hoy nos parecen sumamente sencillas.

¿Por qué menciono esta cuestión aquí? Porque antes de ser capaces de trabajar con números con decimales el comercio tenía que ser capaz de operar. Pensemos en un padre que deja una herencia a sus tres hijos. Tiene como herencia 100 monedas, ¿Cuántas le dejará como herencia a cada uno de sus tres hijos? Le tocarían 33,333 ... monedas a cada uno (un número periódico con infinitas cifras! Impensable para la época).

Varias sociedades antiguas se dieron cuenta que si en lugar de usar números como 10 o 100 para tomar como referencia utilizaban números como 60 o 360, resultaba que al dividir estos números en partes daba en la mayoría de los casos un resultado entero.

Tomemos como referencia un círculo y comparemos los resultados de dividir el círculo en partes imaginando que utilizamos dos propuestas: la primera es la de dividir el círculo en 100 partes para definir los ángulos y la segunda es la de dividir el círculo en 360 partes.

Algo parecido sucedió con las mediciones de minutos y segundos (que corresponde a 3600 segundos en una hora), y las mediciones de latitud y longitud de ubicación geográfica en la superficie del globo terráqueo.

Lo que no es tan comprensible es por qué motivo se siguió utilizando más tarde cuando ya se disponía de operaciones con decimales. 

Los matemáticos con el tiempo prefirieron volver a definir la medición de ángulos, haciendo gala de que ya no solamente dominaban los números decimales sino incluso los irracionales (números con infinitas cifras decimales incluso los que no tenían repetición como el número π).

De todas formas puede sonar extraño que hayan elegido algo tan raro como decidir que una vuelta entera corresponda a 2π.

¿Por qué hicieron esta elección?

Priorizaron un criterio diferente al de la antigüedad. Prefirieron definir los ángulos de modo que pudieran medirse utilizando solamente reglas y cuerdas aunque no se tuviese a disposición un "transportador" (esos elementos que suelen utilizarse en la escuela de plástico transparente para medir ángulos).

En lugar de dividir el círculo en partes, tomaron en cuenta un criterio para definir la unidad (el "grado con nueva definición"). ¿Cuánto debería valer el "nuevo grado"? Decidieron entonces que 1 "grado nuevo" sería el que se logra cuando un sector de círculo tiene un "arco" igual a su radio.

En la figura anterior se compara la definición tradicional en la que un grado es igual a una vuelta completa dividia en 360 partes, y la nueva definición en la que un "grado nuevo" se obtiene cuando el arco (segmento verde) tiene la misma longitud que un radio (segmento rojo). Con esta nueva definición es posible medir un grado utilizando solamente una regla. Este "nuevo grado" se denomina "radián" porque utiliza al radio como referencia (1 radián es equivalente a unos 57,3º aproximadamente).

Tiene otras ventajas que luego podremos ir detallando, pero en principio es el modo preferido en los cálculos y procesos más científicos y técnicos.

¿Cuánto vale una vuelta completa en cada sistema? En el viejo sistema, la vuelta completa es 360, pero en el nuevo sistema implicaría contar cuántas veces entra una longitud equivalente a un radio en toda una vuelta. El borde de un círculo (llamado circunferencia) es igual a 2.π.radio. Esto significa que el radio cabe 2π veces en toda la vuelta. Por eso se dice que una vuelta completa equivale a 2π radianes. 

NOTA IMPORTANTE: Hay estudiantes que se quedan con la idea de que "π radianes" va todo junto y forma parte de la nueva unidad y esto no es verdad. Es perfectamente posible hablar de 1 radian (y en este caso no hay ningún π). ¿Por qué entonces es tan común que muchos de los ángulos de los que hablamos tengan el valor π junto a la expresión radianes? Por algo similar a lo que mencionábamos al principio cuando hicimos divisiones del círculo completo en partes. Si 2π radianes es toda una vuelta, entonces media vuelta valdrá π, y un cuarto de vuelta valdrá π/2.

Cada vez que hablemos de diidir una vuelta completa (un ciclo cuando hablemos de señales) en partes iguales, estaremos dividiendo el valor 2π en esas mismas partes, y por lo tanto el resultado podrá quedar expresado manteniendo ese símbolo π

¿Cómo puedo pasar de un ángulo en grados a un grado en radianes?

Un modo es aplicar una regla de tres simple, sabiendo que existe una relación entre 360º y 2π, o mejor aún entre 180º y π. Así, si parto de conocer un resultado en grados (por ejemplo, 60º) y quiero expresarlo en radianes, lo que hago es decir

$$\begin{gathered} \mathrm{ \; \; \; \; \; \; \; 180}º \to \mathrm{\pi \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; } \\ 60º \to x = \frac{60º. \pi }{180º} \end{gathered}$$

La cuenta siguiente puedo hacerla completa y me daría 1,0472 radianes, y este es un resultado correcto (aunque aproximado ya que quitamos decimales). Pero también puedo (y suele ser preferible) intentar no tocar el valor π y simplificar los otros dos valores (o hacer la cuenta en calculadora y ver a qué fracción equivale hacer 60/180). En ese caso obtendremos el resultado 

$x = \frac{60.\pi }{180} = \frac{1.\pi }{3} = \frac{\pi }{3}$

El resultado sería π/3 radianes o también (1/3) .π radianes

¿Cómo hago el camino inverso de pasar de radianes a grados? Planteo la regla de 3 en sentido inverso. Supongamos que queremos saber cuánto es π/8 si lo expresamos en grados

$$\begin{gathered} \pi \to \mathrm{180 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; } \\ \pi /8 \to x = \frac{\pi /8 .180}{\pi } \end{gathered}$$

Como hay un valor π arriba y otro igual abajo, pueden cancelarse y el resultado será igual a (1/8) . 180 = 22.5º

NOTA IMPORTANTE: A los argumentos mencionados sobre la preferencia de trabajar con radianes se agrega uno importante que podrá comentarse con más detalle más adelante cuando veamos derivadas. Resulta que la "derivada del seno" es igual al "coseno" solamente cuando sus ángulos están expresados en radianes.

4.2. Fase angular y fase temporal

La noción de fase se puede pensar como "la ventaja de partida". Es como si alguien en una carrera diese ventaja permitiendo que un competidor arranque un poco adelantado al momento de bajar la bandera. Una senoidal con fase 90º arranca adelantado 90º respecto del que inicia con fase 0º. Esto quiere decir que en t=0 el que tiene fase 90º ya estará en posición vertical (ya recorrió 90º antes de que baje la bandera en t=0).

Llamamos fasor a un vector que gira y cuya sombra vertical es la que va registrándose en cada instante en la función senoidal que representa la variación temporal de esa oscilación

Aunque la idea de un fasor es la de imaginarlo girando en forma permanente, por facilidad se lo retrata en la posición que corresponde al momento inicial (t=0). Recuerden que esto es el momento en que arbitrariamente se considera t=0 ya que la oscilación es estacionaria y supuestamente existe desde siempre.

La siguiente figura representa un fasor a 90º (porque tiene un ángulo de 90º con  respecto al eje x) y la oscilación correspondiente que tiene fase de 90º (π/2 radianes)

Para escribir la ecuación necesitamos determinar la amplitud (se puede ver que es igual a 6), su frecuencia (que se determina a partir de medir el período T) y su fase (que debe quedar expresada en radianes).

El período es en esta imagen T = 20 ms (milisegundos). Como el prefijo mili es 10^(-3) tenemos que 

$T = 20 ms = 20.{10}^{-3}seg = 0,02 seg$

La frecuencia se puede calcular como $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0,02 s} = 50 Hz$

La fase en este caso puede verse desde dos puntos de vista. Si identificamos cómo está el fasor, entonces su ángulo es la fase. De lo contrario podemos intentar verlo analizando la propia oscilación, pensando en la proporción de ciclo que lleva adelantada. En este caso podría verse que la oscilación está adelantada un cuarto de ciclo, y como un ciclo es 360, un cuarto es 360/4 = 90.

Pero aún nos falta convertir este valor a radianes,. Al hacerlo hallaremos que la fase es π/2 radianes

La ecuación final es entonces

$y\left(t\right) = 6.sen(2\pi .50.t + \pi /2)$

Aquí expresamos la ecuación con su fase angular (que era el modo que utilizamos anterioremente), pero existe otro modo equivalente, y consiste en expresar la fase como un "adelanto" de tiempo.

¿Cuánto está esta oscilación adelantada en tiempo respecto de otra que comenzase con fase 0º?

Si miramos el gráfico vemos que ese adelanto es de 5 milisegundos. No hay que confundirse aquí con el valor que se lee en el eje (y que coincide con - 5 ms) ya que lo que estamos preguntando es cuánto adelanto tiene y para lograr en tiempo cero un adelanto de 5 ms tiene que haber empezado a oscilar ese ciclo en -5 ms. Esta aclaración es para que presten atención a que la fase de esta oscilación será positiva.

La idea consiste ahora en expresar la ecuación anterior como una suma de tiempos (uno variable t y otro fijo inicial t0) y no como una suma de ángulos (el primero variable e igual a 2π.50.t y el segundo ángulo fijo e igual a π/2).

Esta ecuación requiere un nivel más de paréntesis para restarle al tiempo t el valor de tiempo de adelanto t0 = 5 milisegundos. La ecuación en forma general se escribe del siguiente modo

$y\left(t\right) = A.sen( 2\pi .f. (t+t0) )$

En este ejemplo en particular la ecuación con sus valores numéricos será

$y\left(t\right) = 6.sen( 2\pi .f .(t+0,005\left)\right)$

Este modo de cálculo es exactamente igual de válido que el de fase angular, y si calculamos valores de y(t) con ambas ecuaciones asignando valores a t obtendremos idénticos resultados en ambos casos.

Los invitamos a probar en ambas ecuaciones (con fase angular π/2 radianes y con fase temporal 0,005 segundos) para los siguientes casos:  t=0;  t=0,001; t= 0,002.

NOTA: Al probar con t=0,001; o t=0,002 ambas ecuaciones dan el mismo resultado, pero el resultado de ambas para t=0,001 es diferente al de t=0,002. Sin embargo, si prueban esas mismas ecuaciones colocando t=1 o t=2, verán que el resultado les da siempre igual para cualquier valor entero de t. No solamente iguales entre si, sino iguales en todos esos casos. ¿Alguien se atreve a explicar por qué pasa eso? ¿Hay algo mal en estas ecuaciones?

¿Cómo podemos obtener la fase temporal si conocemos la angular o viceversa?

Notemos que si en la última ecuación (que incluye la fase temporal t0) es posible aplicar la propiedad distributiva multiplicando 2πf que está antes del paréntesis primero por t y luego por t0

$A.sen(2\pi .f . (t+t0) ) = A.sen(2\pi .f.t + 2\pi .f.t0)$

La expresión de la derecha es igual a la expresión de fase angular si consideramos que φ = 2π.f.t0

Esta ecuación nos permite pasar de fase temporal a fase angular, y si despejamos t0 tendremos la situación inversa.

Ejemplo 1: ¿Qué fase angular corresponde en el ejemplo anterior a una fase de π/2?

$\phi = 2.\pi .50 . 0,005 = 2.\pi .50 . 0,005 . \pi = 0,5 \pi$

Notemos que entre los pasos reorganizamos los términos que se multiplicaban para dejar π en el último lugar. Por último podemos decir que la fracción que corresponde a 0,5 es 1/2, de modo que la fase es φ = π/2

Ejemplo 2: ¿Qué fase temporal corresponde en el ejemplo anterior a una angular de 0,005 seg?

Hay que despejar t0 y calcular.

$t0 = \frac{\phi }{2.\pi .f} =\frac{ {\displaystyle \raisebox{1ex}{$\pi $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}{2.\pi .50} =\frac{ {\displaystyle \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}{2 . 50} = \frac{0,5}{100}=0,005$

4.3. ¿Cómo obtener la ecuación a partir del gráfico?

Si tenemos el gráfico de una senoidal debemos observar algunos puntos críticos para poder obtener la ecuación correcta.

Tomemos como ejemplo el siguiente diagrama temporal en el que se marcan los puntos críticos a detectar.

Observando el máximo apartamiento del equilibrio obtenemos la amplitud. En este caso A = 5.

Observando la separación entre picos máximos obtenemos el período (también entre cualquier otro par de puntos correspondientes a igual momento en el ciclo). En este caso es T = 22.5 - 2.5 = 20 ms

NOTA: Si el gráfico no llegase a mostrar un ciclo completo, pero puede observarse medio ciclo, o un cuarto de ciclo, simplemente igualamos el valor de tiempo que puede verse de un cuarto de ciclo, por ejemplo, con T/4, , y despejamos T.

La fase angular podría obtenerse observando el cruce del eje vertical que podemos denominar y(0), debe coincidir con A.sen(φ) . De donde hay que despejar φ. Sin embargo resultará más práctico obtener la fase temporal y calcular la fase angular a partir de allí. Uno de los motivos por los que conviene hacer esto es que la lectura del punto de cruce del eje vertical puede no ser muy sencilla de leer (excepto en modo aproximado) y por otra parte la oscilación pasa dos veces por cada altura vertical por lo que habría que hacer un análisis posterior para determinar cuál de los posibles ángulos es el correcto.

La fase temporal puede obtenerse observando el punto de cruce de la función por el eje horizontal (teniendo cuidado de asegurarse que en ese lugar la función crece, pasando de negativo a positivo). El otro cuidado que hay que tener es el de determinar la fase como el valor de cuánto se adelanta la senoidal que buscamos representar con respecto a una senoidal de fase cero. La flecha representada en el gráfico con la indicación t0 va desde el punto de cruce con el eje horizontal hasta el origen de coordenadas y tiene valor positivo. Repitiendo esto que es un punto de posible confusión: la función pasa por cero en t= - 2.5 ms, pero la fase es t0 = 2.5 ms (positivo!!)

La solución con fase termporal es entonces

$y\left(t\right) = 5.sen(2\pi .50. (t+0.0025\left)\right)$

NOTA IMPORTANTE: Hay que prestar mucha atención al uso de paréntesis. Si olvidan el paréntesis que encierra a t y t0 el resultado que se obtiene es diferente.

¿Cómo pasamos a la fase angular?

En una sección anterior vimos que φ = 2.π.f.t0 = 2.π. 50. 0.0025 = 0,785 rad (en lugar de 0.775 que sirgió de nuestra estimación del gráfico). Incluso expresado de esa manera podríamos ver que en este caso si es posible expresar este resultado como fracción de π. El método es reordenar los términos del cálculo dejando π como último factor, calcular las demás multiplicaciones y expresar ese resultado como fracción

$\phi = 2.\pi . 50 . 0,0025 = (2. 50 . 0,0025).\pi = 0,25 . \pi = \frac{1}{4}.\pi = \frac{\pi }{4}$

La solución general de este ejercicio podría incluir las dos expresiones con fase angular y con fase temporal.

$con fase angula\mathrm{r }\to y\left(t\right) = 5.sen(2\pi .50.t + \pi /4)$

$con fase temporal \to y\left(t\right) = 5.sen(2\pi .50. (t+0.0025\left)\right)$

Recordamos nuevamente que es crítico tener cuidado con el uso de paréntesis en estas dos maneras de escribir la fase.

NOTA: No siempre se conseguirá que la expresión de la fase quede como una fracción de π. Recordemos que cuando mencionamos el tema de radianes se dijo que esto sucedía si el ciclo se divide en partes iguales. Sólo cuando la fase es una fracción de un ciclo podrá expresarse la fase como fracción de π. Si la oscilación que observamos se obtiene de una medición puede ser que esa fase corresponda a un ángulo cualquiera. ¿Cómo se expresa entonces? Pues con su valor en radianes, sin utilizar π. Esto mismo pasa si convierten un ángulo cualquiera a radianes, como por ejemplo 21,38º. Al hacer la conversión se obtiene que el ángulo es 0,373 radianes (sin ningún símbolo π)

Ejercicio 1: Obtener las ecuaciones completas con fase temporal y con fase angular a partir del siguiente gráfico

Ejercicio 2: Obtener las ecuaciones completas con fase temporal y con fase angular a partir del siguiente gráfico

Ejercicio 3: Obtener las ecuaciones completas con fase temporal y con fase angular a partir del siguiente gráfico

Para comprobar si obtuvieron las ecuaciones correctas, calculen en cada uno de los ejercicios el valor exacto de y(t) para t = 0,2 ms = 0,0002 s y verifiquen si este resultado es consistente con lo que muestra el gráfico en ese instante.

Brindaremos las respuestas en la clase de consulta.

4.4. Ejercicios con fooplot

Trabajemos con algunos ejercicios de graficación de la función senoidal anterior.

Para eso comenzaremos utilizando el sitio online "fooplot"  (https://pfortuny.net/fooplot.com/)

Simplemente tienen que escribir la ecuación que desean graficar en donde se indica (utilizando "pi", el asterisco para multiplicar, y la variable x en lugar de t)

Adicionalmente tendrán que modificar la escala para poder ver la señal. Intenten reproducir el ejemplo en el que la ecuación es 2*sin(2*pi*100*x), el eje horizontal (x) va desde 0.002 hasta 0.02; y el eje vertical (y) va de -4 hasta 4.

Si después de graficar una ecuación presionan "Add" en el rectángulo amarillo justo bajo la ecuación anterior, podrán escribir otra función que también se graficará. Clickeando en el cuadrado negro que está junto a cada ecuación pueden cambiar el color con que se grafica cada una de las ecuaciones.

Ejercicio 1

Graficar la siguiente ecuación        $y\left(t\right) = 5.sen(2\pi .3000.t + \pi /3)$

Ejercicio 2

Graficar las siguientes ecuaciones      $$\begin{gathered} y1\left(t\right) = 5.sen(2\pi .3000.t + \pi /3) \\ y2\left(t\right) = 5.sen(2\pi .3000.t + \pi /2) \end{gathered}$$

La ecuación y1 debe quedar en color rojo e y2 en color azul

Ejercicio 3

Graficar una ecuación que represente una onda de amplitud 3, frecuencia 100 Hz y fase igual a 90º. (Tendrán que pasar los grados a radianes, de otro modo el gráfico no será correcto).

Ejercicio 4

Graficar una ecuación que represente una onda de amplitud 3, frecuencia 100 Hz y fase igual a - 90º. 

Ejercicio 5

Graficar una ecuación que represente una onda de amplitud 3, frecuencia 100 Hz y fase igual a 30º..

Ejercicio 6

En la siguiente ecuación, la fase no está expresada como un ángulo sino como un retardo de tiempo t0

Graficar la ecuación       $y\left(t\right) = 2.sen(2\pi .100.(t + 0.005\left)\right)$

Ejercicio 7

Agregar una segunda ecuación escrita por ustedes con el formato básico donde la fase quede expresada como un ángulo en radianes. Tienen que ir probando hasta hallar la fase correcta para que la ecuación se superponga con la anterior. Básicamente la tarea es hallar el valor del ángulo φ  para lograr que 

$2.sen(2\pi .100.t + \phi ) = 2.sen(2\pi .100.(t + 0.005\left)\right)$

Ejercicio 8

Encuentren la expresión que permite obtener el siguiente gráfico

Ejercicio 9

Encuentren la expresión que permite obtener el siguiente gráfico (Ayda: La fase temporal será imprecisa porque debe leerse de un gráfico que no tiene marcas allí, pero estimen la proporción del salto temporal entre las marcas y el corte de la función. Algo semejante puede decirse con el período. No resulta fácil medir entre máximos con exactitud, pero quizás pueda encontrarse algún otro punto a medir que se repita y pueda leerse claramente)

Ejercicio 10
Encuentren la expresión que genere el siguiente gráfico, utilizando fase temporal (esto es t0 en lugar de φ)

4.5. Ejercicios con GoldWave

GoldWave es un software pago, pero permite descargar una versión de evaluación totalmente funcional. Existe desde hace muchísimos años (lamentablemente no funciona en Mac). Tradicionalmente su versión de evaluación no expiraba nunca, sólo tenía un límite de 100 operaciones luego de las cuales era necesario salir y volver a entrar al software, pero permitía guardar archivos por lo que para utilizarlo como herramienta de aprendizaje es ideal.

Es un editor de Áudio que tiene la mayoría de las características típicas de procesamiento un editor. No es multiplista, sino que trabaja con archivos mono o estéreo, en ventanas independientes. Uno puede luego mezclarlas si queire, pero este proceso es manual. La principal ventaja (que no hemos encontrado en ningún otro editor) es que permite escribir la expresión matemática de las señales para sintetizar oscilaciones o para alterar oscilaciones registradas. 

NOTA: En realidad, el software Audacity tiene posibilidad de incluir expresiones matemáticas utilizando un lenguaje de programación propio denominado Nyquist, pero su uso es bastante más complejo (y también más poderoso).

El link de descarga está en  www.goldwave.com (deben ira a Download y descargar la versión que indica "primary server", si utilizan versiones anteriores de Windows tienen una opción al final de la página de descargas)

NOTA; En una sección de más adelante (cuando trabajamos sumas) daremos una alternativa online para poder escuchar audios de las ecuaciones generadas, pensando sobre todo el quienes trabajan con Mac y no tienen disponible un emulador de Windows.

Luego de la descarga, al ejecutarlo vayan a File/New

Seleccionen audio mono (Number of channels 1), la frecuencia de muestreo (sugerimos usar 48000) y la longitud temporal del archivo (pueden colocar allí 1 o 2 que corresponderá a segundos)

Una vez abierta la ventana, vayan a Tool/Expression Evaluator.

Escriban la expresión matemática (sólo la parte derecha de la igualdad, utilizando "*" para la multiplicación y la palabra "pi"). Al pulsar Ok, generará la oscilación indicada. Como estará mostrando la señal de un segundo o más de duración se verá todo comprimido como un rectángulo relleno. Vayan a View/Zoom 1:1 y podrán ver la oscilación senoidal generada.

Una vez generada pueden escucharla. Goldwave nos será más útil un poco más adelante, por el momento solamente verifiquen que pueden visualizar allí ejemplos como los de la sección anterior. Esto es, que al incluir una diferencia de fase o una diferencia temporal, obtienen el tipo de gráfico que esperan.

Un tip útil es que el editor de ecuaciones permite copiar y pegar utilizando el clipboard, de modo que pueden escribir las ecuaciones en cualquier editor de texto o en el NotePad y simplemente copiarla y pegarla allí.

NOTA IMPORTANTE: Golwave trabaja con archivos de audio y en estos formatos el valor máximo que puede tomar cualquier función tiene que ser menor que "1". Por este motivo las ecuaciones que utilicen aquí deberán trabajar con amplitudes menores que "1". Esto será importante para tener en cuenta cuando sumemos oscilaciones ya que deberemos tener en cuenta que la suma no deberá ser mayor que "1" ya que de otra manera saturará la señal (tal como podría suceder en cualquier editor de audio si estoy trabajando con varios canales al tope de la saturación).

Ejemplo 1:  0.5*sin(2*pi*200*t+pi/3)

NOTA IMPORTANTE: Si van a prestar atención a la fase, deben asegurarse al mirar la ecuación que la ventana esté exactamente al principio de la señal. La fase que ustedes escriban en el ángulo en radianes será la que corresponde al instante t=0.

Ejemplo 2:  0.8*sin(2*pi*100* (t+0.005))

En este caso la fase temporal que colocamos invierte la onda (equivale a π radianes)

4.6. Video sobre oscilación y onda

El siguiente video recorre pasos semejantes a los que hemos desarrollado acá para obtener la ecuación.

En realidad, lo visto abarca hasta el minuto 8, luego de explicar la ecuación de una oscilación pasa a explicar la ecuación de una onda que discutiremos más adelante. La diferencia es que una onda consiste en una oscilación que se propaga en el espacio, por lo tanto varia con el tiempo y con la distancia.

https://youtu.be/rKf92Vgx2ag