1.3 - Superposición de oscilaciones

Tabla de contenidos (Superposición de oscilaciones)

• 1. Suma de dos senoidales
• 2. Ambas frecuencias iguales
• 3. Ambas frecuencias semejantes
• 4. Frecuencias que son múltiplos entre sí
• 4.1. Señal Diente de Sierra
• 4.2. Señal Cuadrada
• 4.3. Señal Rectangular
• 4.4. Señal Triangular
• 4.5. ¿Pueden utilizarse fasores parar representar senoidales con distinta frecuencia?
• 5. Frecuencias que no son múltiplos
• 5.1. Fundamental perdida (o ausente)
• 6. Síntesis de un sonido de campana
• 7. Métodos de síntesis de sonido

1. Suma de dos senoidales

Por diferentes motivos puede darse el caso de que una oscilación no sea simple, sino que tenga otra forma. Sea cual sea la forma que tenga una oscilación puede ser descripta como una suma de oscilaciones simples. (NOTA; Siempre y cuando sigamos considerando que estamos trabajando con señales estacionarias que están presentes desde siempre y no terminarán nunca). Básicamente el cálculo de las componentes de Fourier permite obtener los datos de cuáles senoidales hay que sumar para obtener la oscilación compuesta.
Analicemos entonces esto desde el punto de vista de ir sumando senoidales para ver qué es lo que obtenemos.
Si sumamos dos funciones senoidales (dos señales puras), los resultados pueden calcularse de diferente manera según los siguientes casos de cómo son las frecuencias de cada una de las senoidales componentes.
La cuestión es que ya se sabe cómo predecir el resultado de dicha suma, pero esta predicción depende de cada caso. Pero, ¿Por qué motivo es que un cierto modo de "sumar ondas" se puede aplicar en un caso y no en otro? En realidad lo que siempre es válido es sumar instante a instante los valores de cada una de las funciones. 
Dicho en otras palabras, imaginemos que tenemos las dos funciones senoidales, y expresamos sus valores temporales en cada instante en una tabla (como si fuese de Excel), Una columna podría contener los instantes de tiempo, la siguiente los valores de la primera función y la tercera los de la otra función. Sumando los valores obtenemos la suma de ambas funciones. Este procedimiento es siempre el mismo y no requiere que uno preste atención a ninguna característica de las oscilaciones. No importa su frecuencia, ni su fase, ni su amplitud. Siempre obtendremos la suma.
El problema es que cuando queremos "sumar" dos oscilaciones buscamos algo más que obtener la tabla de valores de esta suma. Lo que buscamos es una descripción matemática simple de la función final que obtenemos, y este resultado es diferente según las características de las oscilaciones que sumemos entre sí. 

Si analizamos una serie de casos, veremos que si se cumplen ciertas condiciones la expresión matemática de la suma puede ser calculada.
Los casos son los siguientes y dependen fundamentalmente de los valores de frecuencia de cada una de las oscilaciones simples que serán sumadas:

1. Frecuencias iguales f2 = f1
2. Frecuencias que son "casi" iguales f2 = f1 + Δf
3. Frecuencias que son múltiplos entre si f2 = K.f1
4. Frecuencias que no son múltiplos entre si

2. Ambas frecuencias iguales

Cuando ambas senoidales tienen igual frecuencia el resultado puede calcularse considerando la suma de números complejos que corresponden a las amplitudes y las fases de ambas componentes. La frecuencia resultante es la misma que la de sus componentes.
Ejemplo: 
Obtener la expresión de la suma de las siguientes senoidales

$y_1\left(t\right) = A_1.sen(2\pi .f_0.t + {\phi }_1)$

${\mathrm{<br>}}_{}$

${y}_2\left(t\right) = A_2.sen(2\pi .f_0.t + {\phi }_2)$

Las dos tienen diferentes amplitudes y diferentes fases, pero su frecuencia es la misma
En ese caso la expresión de la suma (tal como sucede en Electrónica al sumar dos tensiones alternas desfasadas), se puede obtener la señal suma de ambas reemplazando cada oscilación por un fasor y sumando los fasores como números complejos. De ese modo podrán obtenerse los valores de Atotal y de φtotal, y la forma general de la solución será:

$ytotal \left(t\right) = Atotal . sen(2\pi ,f_0.t + \phi total)$

En el caso particular que ambas senoidales tengan la misma fase, la suma de complejos se transforma en suma directa de las amplitudes como números reales, manteniendo la fase que tienen ambas senoidales. Es porque se estarían sumando dos vectores que tienen exactamente la misma orientación.
Si se diera el caso que ambos fasores fuesen en direcciones exactamente opuestas, la amplitud total que se calcula como suma de complejos puede simplificarse aún más y obtenerse como simplemente la resta de ambos valores. Esto se produce cuando la fase de una de las senoidales tiene una diferencia de 180º con la otra.

Un tema importante a prestar atención aquí es que no importa la relación de fases que tengan sus componentes, toda suma de dos senoidales de la misma frecuencia es equivalente a una sola senoidal de esa misma frecuencia (con su amplitud y su fase). Jamás podré obtener una oscilación compuesta (con forma de onda diferente de la senoidal pura) si solamente sumo senoidales de igual frecuencia.

NOTA: Quienes necesiten un refuerzo para recordar temas de Trigonometría, Fasores, Números Complejos revisen la sección de Revisión Matemática de la Clase 1 (tienen incluso unos tests de autoevaluación para verificar cuánto se acuerdan, cuyo puntaje es solamente para ustedes y no queda registrado como nota posterior en el Campus)

2.1. Ejercicios

Los siguientes ejercicios pueden ser realizados chequeando los resultados con fooplot o Goldwave (e incluso puede ser muy instructivo realizar alguno con los dos).

Ejercicio 1:

Encontrar la expresión correspondiente a la siguiente suma de modo que tenga solamente un valor de amplitud y un valor de fase

$y\left(t\right) = 0,2.sen(2.\pi .1000.t+\pi /3) + 0,3.sen(2.\pi .1000.t+\pi /6)$

Deben resolverlo con el procedimiento de representar y sumar los fasores. Luego de obtenido el resultado deben ir a fooplot (o a Goldwave) y graficar la suma tal como está en el enunciado y la que obtuvieron ustedes para ver si ambas coinciden exactamente.

Ejercicio 2:

Repetir lo solicitado en el Ejercicio 1 con la siguiente expresión

$y\left(t\right) = 0,5.sen(2.\pi .1000.t+\pi /3) + 0,3.sen(2.\pi .1000.t-\pi /6)$

Ejercicio 3;

Obtener la expresión matemática de la suma de las dos senoidales que pueden observarse en el siguiente gráfico

Para resolverlo deberán primero hallar las amplitudes, frecuencia y fases de las senoidales representadas y luego continuar como en los ejercicios anteriores. Después de obtenido el resultado deben ir a fooplot (o a Goldwave) y graficar la suma de dos términos que representen cada una de las senoidales y la que obtuvieron como expresión de una sola senoidal para ver si ambas coinciden exactamente.

3. Ambas frecuencias semejantes

Frecuencias que son "casi" iguales f2 = f1 + Δf
Aquí puede presentarse una pregunta semejante a cuando hablamos de la clasificación de señales sonoras. ¿Qué significa que sean "casi" iguales? ¿Hasta dónde puede darse la diferencia entre ellas para considerarlas "casi"?
La descripción que sigue puede en principio aplicarse para cualquier diferencia, pero tiene un sentido particular perceptivo cuando la diferencia es pequeña (menor a unos 20 Hz) porque en ese caso el resultado se percibe como un batido.
Comencemos sumando dos senoidales de igual amplitud (A=4) y fase cero. La primera con frecuencia 100 Hz y la otra 110 Hz.

$y\left(t\right) = 4.sen(2.\pi .100.t) +4.sen(2.\pi .110.t)$

El resultado es lo que se conoce como "batido" o "batimento". Se produce porque al tener frecuencias semejantes pero no iguales, van corriéndose una en relación con la otra hasta que luego de algunos ciclos quedan opuestas. Se alternan entonces momentos donde sus amplitudes se suman (alcanzando casi 8) y momentos donde se restan.

La cuestión aquí es que perceptivamente esto no será escuchado como dos frecuencias, sino como una sólo (¿Y cabe preguntarse si será de 100 Hz, de 110 Hz o alguna combinación?) pero cuya amplitud subirá y bajará con el tiempo. 

Sugerimos generar este "batido" en goldwave para poder ver la oscilación compuesta y escucharla. 

NOTA: Una alternativa al uso de Goldwave (aunque resulta menos versátil para ejercicios posteriores) es acceder a la siguiente página y escribir allí "play sin(2*pi*100*t)+sin(2*pi*110*t)"

https://www.wolframalpha.com/input/

Aparecerá unos renglones más abajo el gráfico del batido y un botón "Play sound" que permite escuchar como suena (es un tono muy grave, por lo que tengan cuiden que el nivel de reproducción no sea muy elevado)

Si observan la "envolvente" que cubre los picos máximos se darán cuenta que es una función senoidal con fase 90º (lo que equivale a un coseno) de una frecuencia más baja. ¿Qué tan baja? ¿Cómo se puede calcular y qué utilidad tendría su cálculo?

Vayamos por partes. ¿Cuál es la frecuencia que parece tener la senoidal que sube y baja (roja)? Pareciera que un ciclo se cumple en 10 ms, pero si observamos con más cuidado vemos que el segundo ciclo se completa un poco antes de 20 ms, por lo que en realidad su frecuencia no es 100 Hz. ¿Será el promedio entre 100 y 110? Si, puede demostrarse matemáticamente que es el promedio. Una comprobación la podríamos hacer calculando cuánto tiempo correspondería a 5 ciclos de 105 Hz, lo que daría 5 . 1/f = 5 . 1/105 = 47,62 ms. Si miramos en el gráfico dónde terminaría el quinto período de la curva roja, vemos que suena razonable. Si la frecuencia hubiese sido 110 Hz, el quinto período debería haber concluido en 45,45 ms.

De modo que la senoidal que se percibe tiene una frecuencia f0 = (f1 + f2) / 2

Sin embargo aún nos faltaría tener en cuenta que esta senoidal percibida sube y baja su amplitud con el tiempo. Esto quiere decir que su amplitud ya no será una constante (un número) sino algo que varíe con t. Si encontramos su expresión podríamos escribir la función como

$y\left(t\right) = A\left(t\right) . sen(2.\pi .(\frac{f1+f2}{2}).t)$

Observando la envolvente (línea de puntos) vemos que esa amplitud es una función de tipo senoidal. Para obtener su ecuación utilizamos los mismos procedimientos que en secciones anteriores. ¿Qué amplitud tiene la envolvente? Pues es A=8. ¿Cuál es su fase? Notamos que comienza con fase 90º.

¿Y cuál será su frecuencia? Observando el gráfico podemos notar que en 50 ms se completa un cuarto de ciclo, por lo que su período será 4 . 50 ms = 200 ms = 0,2 segundos, y su frecuencia será entonces fenv = 1/0.2 = 5 Hz.

Puede demostrarse que en forma más general la frecuencia de la envolventes es la mitad de la diferencia entre las frecuencias de las componentes del batido (f2 - f1 = 10 Hz; fenv = 5 Hz).

Entonces la amplitud de nuestra onda compuesta será A(t) = 8.sen(2.pi.5.t + π/2)

Pueden probar de comprobar estos resultados en fooplot graficando la suma de las dos señales originales y además otro gráfico con la envolvente para ver si efectivamente envuelve exactamente a la suma.

La señal completa podrá expresarse entonces de la siguiente forma (otro modo, más allá de la propia suma original).

$y\left(t\right) = A\left(t\right) . sen(2.\pi .(\frac{f1+f2}{2}).t)$

$y\left(t\right) = 8.sen(2.\pi .(\frac{f2-f1}{2}).t+\pi /2) . sen(2.\pi .(\frac{f1+f2}{2}).t)$

Algo complicada la expresión, pero verán más adelante que nos resultará útil para entender algunas cosas. Cuando esto se presenta en los libros la primera de las dos senoidales se expresa como cos() en lugar de sen() con fase 90º, pero como aquí ya hemos trabajado el tema de la fase mantenemos la misma lógica previa.

Sugerimos que verifiquen con fooplot comparando y(t) calculado como la suma original, contra y(t) calculado como el producto de estas dos senoidales obtenidas al final.

NOTA; Una aclaración para que no les quede una idea errónea. La frecuencia de la envolvente en el ejemplo anterior es 5 Hz, sin embargo si escuchamos los batidos notaremos que el nivel sonoro sube dos veces por cada ciclo, por lo cual suele decirse en este caso que la frecuencia del batido es de 10 Hz (10 veces por segundo), y se puede calcular directamente como la resta de ambas frecuencias.

Sugerimos que prueben escuchando el batido de 1000 Hz, con 1002 Hz (Generado con Goldwave o Wolfran).

¿Cuánta diferencia entre las frecuencias puede existir para seguir considerándolas "semejantes"?

Las ecuaciones anteriores sirven para cualquier relación de frecuencias, sin embargo la percepción cambia dependiendo de los valores de frecuencia. En líneas generales podríamos decir que si los batidos son lentos (hasta unos 10 por segundo) se percibirán como tales, pero para frecuencias mayores comienza a percibirse una diferencia tímbrica. El oído en lugar de interpretar que está escuchando una senoidal pura que sube y baja de nivel pasa a interpretar que está esuchando dos senoidales que no son armónicas entre si, por lo que se percibe un timbre inarmónico (tiene un sonido que podríamos descibir como "áspero"). El siguiente audio tomado del libro y CD de Peirce (Los Sonidos de la Música) ilustran el fenómeno de batido.

Audio

3.1. Ejercicios

Los siguientes ejercicios deben ser realizados chequeando los resultados con fooplot o Goldwave (e incluso puede ser muy instructivo realizar alguno con los dos).

Ejercicio 1:

A continuación se presenta una señal que resulta de la suma de dos senoidales con frecuencias similares. Reescribir la ecuación para expresarla como un producto de senoidales (con diferencia de fase o una de ellas como coseno).

$y\left(t\right) = 0,4.sen(2.\pi .876.t) + 0,4.sen(2.\pi .884.t)$

Deben resolverlo con el procedimiento de obtener la frecuencia de base y su envolvente, para llegar a una expresión como la siguiente. 

$y\left(t\right) = A_{batido}.sen(2.\pi .f_{env}.t + \frac{\pi }{2}) .sen(2.\pi .f_{batido}.t)$

Luego de obtenido el resultado la idea es que vayan a fooplot (o a Goldwave) y grafiquen la suma tal como está en el enunciado y la expresión que obtuvieron ustedes para ver si ambas coinciden exactamente.

Ejercicio 2:

Repetir lo solicitado en el Ejercicio 1 con la siguiente expresión

$y\left(t\right) = 0,3.sen(2.\pi .1000.t) + 0,3.sen(2.\pi .1010.t)$

Ejercicio 3;

Se presenta la expresión de un batido como producto de dos senoidales. Reescribir la ecuación para expresarla como suma de dos senoidales.

$y\left(t\right) = 0,8.sen(2.\pi .2.t + \frac{\pi }{2}) .sen(2.\pi .440.t)$

Luego de obtenido el resultado deben ir a fooplot (o a Goldwave) y graficar ambas ecuaciones para ver si coinciden exactamente.

Ejercicio 4;

Este ejercicio es de experimentación. La intención es que sean capaces de averiguar qué sucede cuando se tiene una suma de dos frecuencias semejantes de igual amplitud, pero tienen diferencia de fase entre ellas.

Tomen como base de la experimentación la ecuación siguiente:

 $y\left(t\right) = 0,3.sen(2.\pi .995.t + \frac{\pi }{2}) + 0,3.sen(2.\pi .1005.t)$

Con las pruebas que realicen deben ser capaces de responder a las siguientes preguntas:
a. ¿Sigue produciéndose batido cuando tienen diferentes fases? ¿Qué cambia respecto del caso estudiado original?
b. ¿Cómo influye si se intercambia la fase entre las senoidales (la primera con 0 y la segunda con π/2?
c. ¿Qué sucede con fases de distintos valores a los anteriores?

Ejercicio 5;

Este ejercicio también es de experimentación para mostrar qué se gana cuando uno puede manejar las ecuaciones de base de un fenómeno relacionado con las ondas. La intención es que sean capaces de averiguar qué sucede cuando se tiene una suma de dos frecuencias semejantes pero con diferente amplitud. 

Comiencen por la ecuación siguiente

$y\left(t\right) = 8.sen(2.\pi .1000.t) + 3.sen(2.\pi .1010.t)$

Sugerimos para esto utilizar fooplot y no Goldwave para poder utilizar amplitudes enteras que harán un poco más sencillo obtener conclusiones. 

a) ¿Qué resultado se obtiene? ¿En qué se parece y en qué se diferencia del batido discutido previamente?

b) ¿Cuál es la amplitud máxima de la señal resultante? ¿Hay amplitud mínima?

c) ¿Qué se modifica en las conclusiones anteriores si se intercambian los valores de amplitud haciendo que la frecuencia más baja tenga la amplitud menor?

d) Intenten expresar la ecuación resultante como un batido (producto de seno a 90º por otro seno) y un término adicional sumando formado por una única senoidal.

Resolveremos este ejercicio en la siguiente clase de consulta, pero es importante que experimenten con estos datos para que les resulte más claro lo que se discutirá.

NOTA: Este tema tiene particular aplicación en los instrumentos para medir absorción acústica de materiales en lo que se conoce como tubo de impedancias.

4. Frecuencias que son múltiplos entre sí

Mencionamos previamente lo que sucede cuando ambas frecuencias son iguales, y cuando son semejantes. Aquí analizaremos lo que sucede cuando son múltiplos entre si. Esto significa que si una de las senoidales tiene una frecuencia f1, la otra tiene una frecuencia f2 = n.f1 donde n es un número entero.

Repetimos aquí la idea de que si bien la operación de sumar la información instante a intante es siempre válida, la separación en estas categorías de clasificación es porque el comportamiento resultante varía en estos caso y se puede tener una previsión de lo que esperamos que suceda.

Cuando se suman dos senoidales de distinta frecuencia lo que sucederá necesariamente es que el resultado no será una senoidal sino una forma de onda complicada. Además, ya no puede afirmarse que la amplitud máxima de la señal resultante sea la suma de las amplitudes de sus componentes, ni que sea simétrica respecto al eje horizontal. En algunos casos podrá ser así, pero en otros no.

¿Qué tiene de particular el hecho de que una frecuencia sea un múltiplo de la otra? Particularmente que en un ciclo de la de frecuencia más baja entra una cantidad entera de ciclos de la otra frecuencia y entonces esto significa que cuando comience el segundo ciclo de f1, la otra senoidal comenzará exactamente con la misma fase inicial. Esto obliga a concluir que la forma de onda complicada resultante tendrá un período exactamente igual al de la senoidal de frecuencia f1.

La siguiente figura muestra una senoidal de 2 kHz y otra de 6 kHz (3 veces mayor), resaltando el primer ciclo de la de más alta frecuencia, para notar que necesariamente el segundo ciclo de la señal compuesta tendrá que repetir su forma de onda. Justo debajo se muestra la señal resultante cuando ambas se suman

Esto no pasaría si la frecuencia más alta fuese por ejemplo 3,3 veces mayor (6600 Hz), como se ve en la siguiente figura (donde se resalta nuevamente un período de f2 al comienzo de cada ciclo de la oscilación de menor frecuencia)

Solamente cuando las frecuencias sean múltiplos entre sí se conseguirá que el período de la onda compuesta sea igual al de la senoidal de menor frecuencia. Lo que permite también concluir algo en sentido inverso relacionado con la descomposición de Fourier. Cuando una oscilación compuesta es periódica, todas sus componentes deberán ser múltiplos de la frecuencia fundamental.

Hay una cuestión importante a mencionar aquí. Técnicamente hablando la pregunta de ¿qué frecuencia tiene la señal compuesta? no tiene una repuesta clara, ya que en realidad si es compuesta tiene varias frecuencias. Sin embargo, la pregunta ¿qué período tiene la señal compuesta? sí tiene una respuesta clara y única. Esto indica que para una senoidal pura el período (el fragmento de la oscilación que puede repetirse una y otra vez) coincide con el cálculo de 1/f, pero en una oscilación compuesta por frecuencias que son múltiplos entre sí el período es 1/f1 (sólo de la frecuencia más baja). 

NOTA: Discutiremos dentro de pocas líneas qué sucede cuando no son múltiplos pero tienen una relación entre números enteros, como por ejemplo 2 kHz con 3kHz, ya que en ese caso el período no será el de la frecuencia más baja.

Las conclusiones anteriores se mantienen aún cuando las componentes tengan diferente fase. La forma de onda final será diferente si las fases son distintas, pero el período será el de la fundamental.

En la figura anterior puede notarse que las fases de ambas componentes son diferentes de cero y distintas entre sí, sin embargo el período de la oscilación compuesta es igual al período de la fundamental.

Cualquier cambio en los valores de las amplitudes, de las fases o incluso de la frecuencia más alta (siempre que siga siendo múltiplo) dará por resultado una variación en la forma de onda, pero el período seguirá siendo el de la fundamental.

Retomando el hilo central del análisis, cuando se suman dos oscilaciones de frecuencias que son múltiplos se obtiene una forma de onda diferente a una senoidal pura cuyo período coincide con el de la frecuencia fundamental. Esta misma idea se extiende fácilmente a una suma de cualquier cantidad de senoidales siempre que todas ellas sean múltiplos de alguna considerada fundamental. La siguiente figura muestra la superposición de 5 senoidales (con amplitudes y fases al azar), donde cuatro de ellas son múltiplos de la fundamental.

NOTA 1: Los componentes de una onda compuesta periódica se llaman "armónicos". Formalmente este nombre debería reservarse solamente a los que se denominan "sonidos armónicos" (esto es, que son periódicas y por ello sus componentes son todos múltiplos de una fundamental) y denominar simplemente componentes (o también "parciales") a los que corresponden a "sonidos inarmónicos" (los que tienen componentes que no son múltiplos entre si).

NOTA 2: Existe cierto desacuerdo en la manera de numerar a los armónicos de una señal periódica. En líneas generales podríamos caricaturizar este desacuerdo como el modo propuesto por los músicos y el propuesto por los matemáticos. ¿Cuál es la diferencia? Para un músico hay un componente fundamental y el resto son los armónicos. Por lo tanto si la frecuencia fundamental es de 1 kHz, el primer armónico será el de 2 kHz y se contarán a partir de allí. Para un matemático la frecuencia fundamental "es" el primer armónico y se cuenta a partir de allí. Si tenemos la misma señal de 1kHz, el primer armónico será el de 1 kHz, el segundo será el de 2 kHz y así siguiendo. En la materia, seguiremos el criterio de los matemáticos.

De las infinitas formas de onda posible, existe un pequeño grupo de formas de onda que tienen algunas características particulares y suelen utilizarse como referencia para ciertos análisis en acústica y audio.

Se trata de la onda diente de sierra, la onda cuadrada y la onda triangular. Estrictamente hablando no serían necesariamente ondas sino oscilaciones, pero es el nombre que se usa comúnmente para denominarlas.

Su particularidad es que forman figuras con líneas rectas con cierta simetría, y requieren infinitos componentes para completarse que siguen leyes matemáticas de relación entre componentes relativamente simples.

4.1. Señal Diente de Sierra

Para dar forma a una diente de sierra se parte de una senoidal de amplitud A1 y frecuencia f1 que será la fundamental y se suman todas las senoidales que sean múltiplos de ella (f2=2.f1, f3=3.f1, f4=4,f1, y así hasta el infinito), siguiendo una ley en sus amplitudes de modo que A2=A1/2;  A3= A1/3;  A4?A1/4 y así.

Ejemplo: Diente de sierra de frecuencia 2000 Hz

$y\left(t\right) = 5.sen(2\pi .2000.t) + 5/2.sen(2\pi .2.2000.t)+ 5/3.sen(2\pi .3.2000.t) + ...$

¿Es posible sumar infinitos componentes? Claramente no, pero los matemáticos pueden demostrar que si se sumasen, el resultado sería exactamente una diente de sierra. Pero, ¿no resulta inútil definir un tipo de onda que para lograr obtenerla habría que seguir un procedimiento físicamente imposible de realizar? En realidad, hay argumentos que atenúan esta posible crítica. En principio, si estamos hablando de audio, toda componente por encima de cierta frecuencia no se percibe y por lo tanto podría detenerse allí la suma. Lo que se obtiene no es una diente de sierra matemáticamente perfecta, pero tiene que escucharse "igual que una diente de sierra real".

Por otra parte, con una cantidad limitada de componentes podemos notar que nos vamos acercando progresivamente a una diente de sierra.

La siguiente figura representa una diente de sierra de frecuencia fundamental 2 kHz y su espectro de Fourier (donde pueden notarse las amplitudes y frecuencias de las componentes utilizadas para obtener la suma). Hay que prestar atención a que la diente de sierra sube abruptamente y luego baja con cierta inclinación. 

Una cuestión a tener en cuenta es que la amplitud de la diente de sierra (ligeramente inferior a 8) no es la amplitud de su componente fundamental (que vale 5 en este ejemplo).

Sin embargo, si solamente sumásemos las 10 componentes que se llegan a observar en el espectro obtendríamos la siguiente forma de onda (que se aproxima visualmente a la cuadrada, pero en principio sería indistinguible auditivamente). La figura siguiente muestra en primer lugar las 10 componentes, bajo ella está la señal suma. Hacia la derecha se ve la manera matemática formal de expresar la suma de los términos y una representación del espectro

La manera formal de expresar una suma repetitiva (o incluso infinita) en matemática utiliza un símbolo que se denomina "sumatoria" y se simboliza con la letra griega sigma mayúscula Σ. Se escribe luego de sumatoria sólo un término que incluye alguna variable (n, por ejemplo) y pretende indicar que hay que sumar ese término una y otra vez e ir variando n en cada nuevo componente de la suma. La ecuación de una onda diente de sierra queda expresada entonces del siguiente modo:

$y\left(t\right) = \sum _{n=1}^{\infty } \frac{A_1}{n}·sen(2\pi .n.f1.t)$

Esto debe interpretarse como: a) considere n=1, calcule el resultado del término con ese valor de n, cambie el valor a n=2, vuelva a calcular el término y súmelo con el anterior, repita el proceso hasta el valor de n final "(si dice arriba infinito es que ese proceso no debería terminar nunca). 

-------------------------------------------------------------------------

Ejercicio a resolver con Goldwave (o con la página de Wolfram):

Generen una diente de sierra de frecuencia 1000 Hz y amplitud del componente fundamental 0,5 utilizando los cinco primeros componentes de la sumatoria. La intención es que puedan observar la forma de onda lograda y escuchar su timbre.

-------------------------------------------------------------------------

Modificaciones debidas a cambios de fase

Hay un tema que consideramos importante y que no suele mencionarse en los libros. Corresponde a analizar lo que sucede con cada una de estas ondas clásicas cuando se cambian las fases de sus componentes.  Esto es, supongamos que seguimos la misma ley mencionada para generar las amplitudes y las frecuencias, pero que a todas las componentes le agregamos un corrimiento en fase (en principio a todas por igual). 

¿Se mantendrá su forma de onda? ¿Sigue considerándose que es una diente de sierra?

La cuestión tiene importancia para distinguir entre lo que se ve y lo que se percibe auditivamente. 

Si colocamos una fase de π/2 en cada componente, obtenemos lo siguiente

La ecuación formal tiene ahora una fase π/2 para cada componente. La forma de onda es muy diferente a una diente de sierra, pero su espectro es igual (al menos su módulo que es lo que solemos representar en los gráficos de espectro en audio). 

¿Se escuchará igual o diferente? Si atendemos a la forma de onda podríamos pensar que se escucha diferente, pero si atendemos a su espectro, quizás debería escucharse igual.

El siguiente audio es una muestra que contiene 1 segundo de una senoidal con la misma amplitud que la diente de sierra original, luego 1 segundo de la diente de sierra original (fase 0º) y por último un segundo de la diente de sierra con fase 90º (π/2)

Audio

NOTA: La senoidal que se está usando tiene más amplitud que la primera componente. En el ejemplo gráfico la primera componente tenía una amplitud de 5 mientras que la diente de sierra era algo mayor a 8. Sin embargo el nivel sonoro de la diente de sierra es mayor.

¿Cómo sabemos que no hay un error en los audios? Con el botón derecho del mouse el audio se puede descargar, para ingresarlo en cualquier editor de audio y revisarlo, como por ejemplo en el Goldwave.

Una cuestión que resulta llamativa es que no solamente el timbre parece igual, sino que existe una diferencia importante en amplitud entre ambas dientes de sierra y sin embargo no se distingue una diferencia de nivel. Discutiremos un poco más en detalle esta cuestión cuando analicemos la percepción auditiva. Pero lo central aquí es que hay dos cosas aprendidas previamente por ustedes que deberían revisarse. No es que estuvieran mal, sino que eran una primera aproximación. 

La primera cosa a revisar es que uno suele decir que el timbre percibido depende de la forma de onda y que formas de onda diferentes generan timbres diferentes. Este ejemplo contradice esa afirmación. Hay dos formas de onda muy diferentes que generan igual sensación tímbrica. Pero ... su espectro es igual (en módulo al menos).

La segunda cosa a revisar es que uno suele asociar amplitud de la oscilación compuesta con nivel sonoro, afirmando que las oscilaciones que tienen más amplitud suenan con mayor nivel sonoro. Esto tampoco es del todo correcto. En este ejemplo hay dos señales con igual amplitud que se escuchan con distinto nivel sonoro (la primera senoidal y la diente de sierra) y otras dos con distinta amplitud (8 la original y 14 la de fase 90º) que no presentan diferencia de nivel sonoro al ser escuchadas. La relación debería ser de 20.log(14/8) = 4,86 dB que es una diferencia pequeña pero que tendría que detectarse fácilmente. La siguiente figura muestra ambos gráficos superpuestos.

Revisando esa idea podemos decir que si crece la amplitud sin variar la forma de onda, entonces el nivel sonoro será mayor, pero la situación es más complicada cuando intentamos comparar niveles sonoros entre diferentes formas de onda.

Como nuevo intento de chequear la percepción repetimos el ejemplo de audio, pero esta vez bajamos el nivel del "diente de sierra con fase 90º" para que su máximo esté cercano a 8. El audio que está debajo compara ambos audios (repite dos veces la comparación)

Audio

-------------------------------------------------------------------------

Ejercicio a resolver con fooplot, Goldwave o con la página de Wolfram:

Generen una diente de sierra de frecuencia 1000 Hz, amplitud del componente fundamental 0,5 utilizando los cinco primeros componentes de la sumatoria, todos con fase de 180º (π radianes). La intención es que puedan observar la forma de onda lograda y escuchar su timbre.

¿Qué forma de onda se obtiene en este caso?

4.2. Señal Cuadrada

Para dar forma a una onda cuadrada se parte de una senoidal de amplitud A1 y frecuencia f1 que será la fundamental y se suman todas las senoidales que sean múltiplos impares de ella (f3=3.f1, f5=5.f1, f7=7,f1, y así hasta el infinito), siguiendo una ley en sus amplitudes de modo que A3=A1/3;  A5= A1/5;  A7=A1/7 y así.

Ejemplo: Onda cuadrada de frecuencia 2000 Hz

$y\left(t\right) = 5.sen(2\pi .2000.t) + 5/3.sen(2\pi .3.2000.t)+ 5/5.sen(2\pi .5.2000.t) + ...$

La siguiente figura representa una onda cuadrada de frecuencia fundamental 2 kHz y su espectro de Fourier (donde pueden notarse las amplitudes y frecuencias de las primeras cinco componentes utilizadas para obtener la suma). 

Si solamente sumásemos las 5 componentes que se llegan a observar en el espectro obtendríamos la siguiente forma de onda (que en principio sería indistinguible auditivamente). La figura siguiente muestra en primer lugar las 5 componentes, bajo ella está la señal suma. Hacia la derecha se ve la manera matemática formal de expresar la suma de los términos y una representación del espectro

La expresión de la sumatoria es casi igual a la de la onda diente de sierra. Su principal diferencia es que sólo deben sumarse los componentes impares. Esto se está indicando allí con la expresión que está debajo de la sumatoria que indica el primer valor (1), el siguiente (3) y de allí debe comprenderse que seguirá saltando de a dos valores hasta 9. ¿Por qué 9? Porque es el último valor que en este ejemplo queda dentro del espectro audible (con una frecuencia de 18 kHz).

En algunos libros prefieren escribir esta sumatoria de otra manera, donde el número n cuente efectivamente los términos que se suman (que en este caso son 5 en total).

Modo a)   

Modo b)

En el segundo modo mostrado se complica lo que se anota dividiendo a la amplitud y multiplicando a la frecuencia. La idea es que cuando n valga 1,2,3,4 y 5, tendremos que (2n-1) valdrá 1, 3, 5, 7 y 9. No hay ninguna diferencia importante en utilizar uno u otro modo, sólo está aquí para que no les suene extraño cuando lo vean en algún libro o en una búsqueda por internet.

NOTA: La diferente manera que podían tener los músicos y los matemáticos de numerar los armónicos se vuelve mucho más confusa con la onda cuadrada. Supongamos que trabajamos con una señal cuadrada de 1 kHz. Para un músico el segundo armónico será el de 3 kHz, el tercer armónico será el de 5 kHz, y así siguiendo. Para un matemático el primer armónico será la fundamental de 1 kHz, dirá que no hay segundo armónico (amplitud cero para el armónico de 2 kHz), el tercer armónico tendrá 3 kHz y así siguiendo. Nunca hubo un acuerdo definitivo sobre este punto por lo que siempre hay que estar atento cuando alguien habla de un armónico determinado para saber cuál es el criterio que está utilizando para numerarlos. En la materia seguiremos el criterio matemático y diremos que la señal cuadrada no tiene segundo armónico, o más en general que no tiene armónicos pares. La pregunta, "¿cuál es la amplitud del tercer armónico de una onda cuadrada?" se responderá diciendo que es la amplitud de la fundamental divido 3, y "¿cuánto vale la amplitud del segundo armónico?", se responde diciendo que vale cero.

El siguiente fragmento de audio compara un segundo del primer armónico (senoidal de 2 kHz), con los armónicos impares de una cuadrada y con todos los armónicos de una diente de sierra.

Audio

Si comparamos los gráficos del primer armónico y de la señal cuadrada podremos ver que la amplitud de la senoidal pura es mayor. Este caso es aún más claro que el de la señal triangular para poner en cuestión la idea de que la amplitud por sí sola implica mayor nivel sonoro, ya que la senoidal se percibe con menor nivel sonoro que la cuadrada.

Modificaciones debidas a cambios de fase

¿Qué sucederá con la señal cuadrada si modificamos las fases de todos sus componentes para que tengan 90º (π/2)?

¿Se mantendrá su forma de onda? ¿Sigue considerándose que es una cuadrada? ¿Cambia el timbre o es igual? ¿aumenta o disminuye la amplitud total de la nueva "onda cuadrada"?

Ejercicio para resolver con Goldwave (o Wolfram)

Deberán ser capaces de generar una señal cuadrada de 2 kHz con cinco componentes (llegando hasta el noveno armónico) siguiendo la ley original y luego repetir esto agregando la misma fase a cada componente de valor π/2.

Utilizando zoom 1:1 en Goldwave observen la diferencia de forma de onda, y luego escuchen ambos audios para ver si el timbre es igual o diferente.

4.3. Señal Rectangular

Se trata de una variante de la onda cuadrada, en la cual el tiempo en que la señal se mantiene en el máximo es diferente al tiempo en el cual se mantiene en el mínimo.

La siguiente figura está tomada del libro de Basso (Análisis Espectral, Capítulo 3)

Allí se indica con una "a" minúscula el tiempo en que la señal está en su valor máximo y con una "b" minúscula el tiempo en que está en el mínimo, donde el período es T = a+b = 0.01 ms (El libro indica el período con la letra P)

Puede notarse que ya no se observa una relación de armónicos pares o impares, sino una especie de envolvente que afecta a los componentes del espectro. La siguiente figura marca con una línea roja esa "envolvente espectral".

Por el momento dejaremos esta forma de señal sin mayor análisis, pero será sumamente importante retornar a ella cuando tengamos que comprender un tren de impulsos o la famosa "respuesta al impulso" un poco más adelante.

4.4. Señal Triangular

Si bien la señal diente de sierra parecería estar formada por triángulos, se diferencia de la triangular en que esta última no tiene saltos abruptos. Es una señal con dos pendientes rectas de subida y de bajada.

Se forma con armónicos impares (tal como la cuadrada) pero, sus amplitudes no surgen de dividir por n (número de armónico) sino por n elevado al cuadrado. Sin embargo, hay algo que normalmente los libros no aclaran. Si uno intenta generar la siguiente señal (siguiendo la ley mencionada), el resultado es bien distinto a lo esperado.

La señal obtenida se parece a una senoidal. En la figura anterior se dibujó una senoidal pura (rojo) para comparar la forma de onda. El resultado es ligeramente más redondeado que una senoidal, y eso se debe a su espectro que puede verse a la derecha, ya que se trata básicamente de una senoidal de buen nivel con algunos armónicos impares de muy pequeño nivel que apenas la modifican.

Con lo aprendido previa,ente pueden generar ustedes mismos esta señal para comprobar lo que mostramos acá.

Pero entonces, ¿están equivocados todos los libros? No del todo, mienten un poquito para no complicar las explicaciones iniciales. De todas formas la señal que se percibe es auditivamente idéntica a la de una onda triangular. En realidad, la señal triangular para lograr la forma que suele atribuirse a ella requiere que todos sus componentes tengan fase π/2 (90º) como se muestra en la figura siguiente con los primeros 5 componentes (hasta el armónico 9)

NOTA (BROMA): Esto puede ser una "carta en la manga" para ganarle una discusión a alguien que cree que se lo sabe todo, ya que es algo que no siempre se comenta.

4.5. ¿Pueden utilizarse fasores parar representar senoidales con distinta frecuencia?

Este pequeño apartado es para aclarar un punto que puede generar alguna duda respecto del uso de fasores.

Tal como fueron descriptos, los fasores son vectores que representan la fase inicial de una oscilación. Pero es importante recordar que el fasor parte de ese estado inicial y comienza a girar dando tantas vueltas por segundo como indica el valor de frecuencia. Si se representan fasores de distinta frecuencia también podrán ser sumados, pero no es posible sumar la posición inicial de esos fasores y suponer que el fasor resultante va a girar con la frecuencia fundamental. Cada fasor girará con su propia velocidad, lo que hace muy difícil obtener la suma, a menos que se saque provecho de algún proceso de animación. En el siguiente video se muestra la suma de fasores de diferente frecuencia para formar una señal cuadrada. Para sumar los fasores, estos son colocados uno a continuación del otro, siendo el fasor resultante el que parte del inicio del primero y termina en el extremo del último. Claramente es sólo a título ilustrativo, ya que esa suma de fasores resulta muy complicada para realizarla manualmente.

5. Frecuencias que no son múltiplos

¿Qué sucede cuando se suman dos senoidales donde la de frecuencia más elevada no es un múltipo entero de la frecuencia más baja?

Lo primero que podemos decir es que la señal resultante no tendrá un período igual a la senoidal de más baja frecuencia. Pero, ¿será periódica la nueva señal?

Todo depende de la relación numérica entre las frecuencias. Consideremos por ejemplo la suma entre una senoidal de 2 kHz con una de 3 kHz. La segunda senoidal no es un múltiplo entero de la primera, ya que habría que multiplicar a 2 kHz por 1,5 para obtener 3 kHz. Sin embargo en este caso podríamos notar que ambas senoidales serían múltiplos de una compomente de 1 kHz (que no está presente). Lo que sucede en este caso es que se logra una señal compuesta cuyo período es de 1 kHz (aunque no exista una señal de 1 kHz como componente).

Dicho en otras palabras, una señal de 2 kHz sumada con otra de 3 kHz tendrá un período que conicidirá con una frecuencia de 1 kHz. En dicho caso cabe preguntarse si la altura tonal percibida se corresponderá con la frecuencia más baja realmente existente como componente, o como la "componente inexistente" de 1 kHz.

En la figura anterior puede verse que el período de la onda compuesta se produce cada dos períodos de una de las senoidales y cada tres períodos de la otra. La sensación percibida es la de una altura tonal de 1000 Hz (con un timbre obviamente diferente al de una senoidal).

Si las senoidales son más de dos, podrán darse diversas situaciones. Una de ellas es que estas componentes puedan ser todas múltiplo de alguna "fundamental fantasma" que no está presente. Por ejemplo: 2 kHz, 3 kHz, 5 kHz, y 8 kHz. Todas estas frecuencias son múltiplos de 1 kHz. Si se suman, el período de la señal compuesta será el que corresponde a 1 kHz. Si, en cambio, no es claramente identificable que sean múltiplos de alguna frecuencia común, entonces se percibirá un "sonido inarmónico" (algo disonante).

NOTA: En rigor de verdad, podríamos decir que lo razonable es pensar que siempre habrá un valor de "frecuencia fundamental fantasma" del que todas sean múltiplos. Por ejemplo: 1411 Hz, 2547 Hz, 3333 Hz, son todas múltiplos de una frecuencia fantasma de 1 Hz. Sin embargo, por cuestiones del modo en que nuestro oído realiza el procesamiento de la percepción los resultados cambian dependiendo del valor de esta frecuencia "común" de la que todas son múltiplos. Si la frecuencia común es demasiado baja, se percibirá un tono disonante. En una sección siguiente se habla del fenómeno perceptivo conocido como "fundamental perdida" para ilustrar un poco mejor esta cuestión.

5.1. Fundamental perdida (o ausente)

Cuando un tono compuesto está formado por una serie de componentes que forman una serie armónica (múltiplos de algún número) pero falta su componente fundamental (primer armónico) sucede algo muy particular con la altura tonal percibida por el oído humano. Este fenómeno perceptivo se conoce con el nombre de fundamental ausente o fundamental perdida, porque se percibe una frecuencia de un supuesto componente inexistente.

En el siguiente video se presentan tres notas musicales. Se puede observar la forma de onda y el espectro de líneas de cada una. Si prestamos atención al espectro notaremos que la primera componente de cada nota es siempre de 220 Hz, sin embargo las notas tienen una altura tonal progresivamente más baja (más grave).

Las tres notas están formadas por ocho componentes. En la siguiente figura se muestra el espectro de cada una, marcando en azul más grueso el componente de 220 Hz, y en línea de puntos roja los lugares donde la percepción esperaría componentes armónicos que no están presentes (en la gráfica se supusieron de amplitud 0.5 solamente para ubicarlos en sus lugares).

6. Síntesis de un sonido de campana

Describiremos aquí un ejemplo que permite sintetizar un sonido con razonable apariencia real, mediante la suma de pocas senoidales.

Una primera cuestión a resolver tiene que ver con modificar la "envolvente temporal" de cualquier señal, ya que los sonidos naturales generados por instrumentos tienen diferente tipo de envolventes y esto forma parte del fenómeno general de percibirlos como tales. 

¿Cómo modificar la envolvente de una señal?

Comencemos por modificar la envolvente de una senoidal pura. Partamos de la siguiente ecuación

$y\left(t\right) = 5 . sen(2\pi .1000.t)$

Esta señal tendría una envolvente que es una línea recta horizontal (o bien, se diría que "no tiene envolvente")

Pero, hemos visto que si reemplazamos el 5 que está multiplicando a la señal, por otra señal senoidal, obtenemos un batido que tiene una envolvente que sube y baja con el tiempo y forma un "batido". Lo que hemos hecho en ese caso es modificar la amplitud A=5, reemplazándola por un nuevo valor de amplitud que varía con el tiempo: 

A(t) = 5.sen(2π.4.t+π/2), por ejemplo.

¿Qué sucedería si utilizamos una expresión de amplitud dependiente del tiempo en la cual su valor es cada vez más pequeño? 

Utilicemos por ejemplo la siguiente expresión  donde la amplitud se calcula como un medio elevado a la t.

A(t) = (1/2)^t 

Cuando t es igual a cero A vale 1, cuanto t es igual a 1, A vale 1/2, cuando t es igual a 2, A vale 1/4, y así siguiendo.

Utilicemos fooplot para "ver" el comportamiento de esta función. El siguiente link abrirá una nueva página con fooplot teniendo esta función ya preparada.

link a ejercicio con fooplot

Notarán que efectivamente la función vale 0,5 (un medio) para x = 1; 0,25 (un cuarto) para x =2 y así siguiendo.

¿Qué pasaría si reemplazamos la amplitud de una senoidal, por esta función que va decayendo con el tiempo?

Cambien la función de fooplot, agregando a esa función la multiplicación por sin(2*pi*10*x) y vean qué sucede.

Hemos logrado que la función (1/2)^t se convierta en la envolvente de la senoidal.

¿Qué sucederá si utilizamos la función (1/4)^t ? ¿Qué sucederá si usamos (1/10)^t ?

Ejercicio 1: Realizar tres gráficos superpuestos en fooplot (cambiando el color) para ver lo que se logra al multiplicar la senoidal anterior de 10 Hz por las tres envolventes mencionadas utilizando un medio, un cuarto y un décimo.

Ejercicio 2: Generar tres señales en Goldwave (de 1 segundo de duración) para ver lo que se logra al multiplicar una senoidal anterior de 440 Hz por las tres envolventes que siguen: (1/10)^t , (1/40)^t , (1/100)^t. 

NOTA: Modificamos la frecuencia y las funciones de amplitud para que el efecto pueda ser escuchado.

NOTA: Es posible hacer una prueba en la página de Wolfram, pero tiene menos versatilidad al intentar controlar algunas cosas. Por ejemplo, autoescala el nivel, con lo cual no pueden notarse diferencias de nivel provocadas matemáticamente en la ecuación y en sonidos impulsivos tiende a saturar al inicio. De todos modos el siguiente link tiene un ejemplo directo:    < link a Ejemplo con Wolfram > (buscar Play Soiund a la derecha mitad de página)

Generar un sonido de campana

Para generar un sonido de campana utilizaremos cuatro componentes de frecuencias 500 Hz, 1300 Hz, 2300 Hz y 3400 Hz. Utilizaremos además envolventes diferentes para cada componente haciendo que las de frecuencia más alta decaigan más rápido. La ecuación que utilizaremos es

Ejercicio 3: En Goldwave generar un sonido de 3 segundos de duración escribiendo la ecuación anterior. 

Pueden cortar y pegar el siguiente texto (tiene un paréntesis general para bajar la amplitud y evitar que la suma supere el valor 1 para que no sature Goldwave).

0.3*(1/10)^t*sin(2*pi*500*t)+ (1/20)^t*sin(2*pi*1300*t)+(1/40)^t*sin(2*pi*2300*t)+(1/80)^t*sin(2*pi*3400*t))

Escucharán una campana sintetizada. Si lo desean pueden generar otras ventanas con cada una de las cuatro componentes para ver cómo suenan por sí solas. El siguiente link muestra este ejemplo en Wolfram (limitado a 1 segundo y con saturación al principio, pero da una idea de lo que se espera lograr).

< link Ejemplo Campana Wolfram >  (buscar Play Soiund a la derecha mitad de página)

7. Métodos de síntesis de sonido

Si bien no es tema específico de Acústica creemos importante que tengan una idea general de los modos de sintetizar sonidos artificiales.

Se denomina síntesis de sonido al proceso de crear sonidos. Es básicamente la función de los instrumentos musicales conocidos como "sintetizadores". En la segunda mitad del siglo XX, cuando aún la capacidad de los sistemas digitales era algo incipiente los métodos de síntesis utilizaban procesos analógicos basándose básicamente en el uso de osciladores (generadores de tonos puros o compuestos como onda cuadrada o triangular), amplificadores operacionales y filtros.

En la etapa analógica los métodos de síntesis pretendían lograr sonidos complejos con un uso racional de los recursos (intentando evitar un uso excesivo de componentes por costo y complejidad de uso).

Básicamente se intentaba sintetizar sonidos con algunos de estos dos procesos:

1. Síntesis aditiva: que busca sumar señales de osciladores para producir formas de onda complejas. No hubo demasiados productos comerciales que operasen con síntesis aditiva. Uno de ellos fue el Kawai K1, en 1988)

2. Síntesis sustractiva: que busca partir de una señal de base con muchos armónicos (generadas por un solo oscilador, como por ejemplo una onda triangular), e ir atenuando algunos armónicos para modificar la forma de onda. Este proceso podía lograr una gran cantidad de armónicos con pocos osciladores. Robert Moog creó su primer prototipo en la primera mitad de la década del '60. Casi todos los sintetizadores de la primera época del rock utilizaban este método.

A principios de los años '80 se incorporó al mercado el sintetizador Yamaha DX7 con un proceso diferente para generar formas de onda complejas con pocos osciladores dando lugar a un tercer método:

3, Síntesis por modulación: también busca generar formas de onda muy complejas (con muchos armónicos) a partir de unos pocos osciladores que se alteran entre si. El Yamaha DX7 sacaba partido de una propuesta de John Chowning realizada pocos años antes, para utilizar el proceso de frecuencia modulada con la intención de generar muchos armónicos. Básicamente el proceso de modular en frecuencia se utilizaba para transmitir señales de radio utilizando una frecuencia portadora muy elevada que era modulada por la señal que se deseaba tranmitir. La idea de Chowning fue generar frecuencia modulada utilizando frecuencias de portadora y moduladora donde ambas estuviesen en el rango audible, lo que genera una gran cantidad de armónicos y comporatmiento complejo de la señal.

Obviamente los métodos de síntesis pueden combinarse en un mismo instrumento. Con el tiempo fueron incorporándose otros métodos de síntesis, donde el que resulta más interesante en relación con la materia es el proceso de síntesis por modelos físicos. Este tipo de síntesis trabaja con las ecuaciones matemáticas del comportamiento físico de los instrumentos musicales buscando provocar ondas que se asemejen a los de esos instrumentos. La intención no fue solamente la de "copiar" sonidos, sino la de producir sonidos de instrumentos virtuales que quizás podrían resultar muy complejos de construir físicamente. Si bien la idea estaba latente desde mucho tiempo antes fue necesario esperar hasta que las condiciones técnicas de procesamiento de información permitieran ponerlo en práctica. Yamaha firmó contrato con la Universidad de Stanford en 1989 para el desarrollo de estos modelos físicos, y a partir de allí la mayoría de las patentes de mayor utilización son propiedad de Yamaha o de Stanford.

¿Dónde radica la complejidad de lograr sintetizar sonidos? Principalmente en que los armónicos que forman la señal compuesta no están estáticos ni en frecuencia ni en amplitud. En la síntesis de campana generamos una envolvente diferente para cada componente, la idea es que el tipo de variación leve en frecuencia (una especie de vibrato) y el modo de decaimiento de la amplitud tienen que ser muy sofisticados para generar una sensación de "sonido natural".

El siguiente video muestra las formas de onda básicas de los osciladores de un sintetizador analógico (normalmente utilizadas para síntesis sustractiva). Allí se ve una onda triangular, una diente de sierra, una cuadrada y una rectangular. El video está en inglés, pero pueden seguirlo si utilizan los subtítulos automáticos con traducción al español.

Para cerrar este brevísimo paréntesis quizás vale la pena mencionar al Sampler, fundamentalmente para comentar las diferencias. Un sampler graba un sonido y lo asocia a una nota en particular. Posteriormente realiza un proceso de alteración de la altura tonal para "alimentar" notas cercanas y provocar sonidos semejantes a los del instrumento grabado. Para que su sonido resulte razonablemente real es necesario "samplear" muchas notas diferentes del instrumento de modo que el proceso matemático de cambio de altura no requiera saltos en frecuencia que alteren la sensación de "sonido natural". Pero además, cada nota en un buen "sampleo" debía ser grabada con varias intensidades (ya que el timbre no es idéntico al variar la intensidad de un instrumento real). Estas distintas grabaciones debían ser disparadas por el sampler según la intensidad con que se presionara la tecla. Una versión prehistórica del sampler utilizaba grabaciones en cinta y se denominaba Mellotrón. Era una especie de grabador multipista a la enésima potencia (tenía tantas cintas como teclas en el teclado). Mirado con ojos de hoy resulta asombroso que ese tipo de dispositivos se hayan utilizado realmente a mitad de la década del 60.

El cambio de cintas para utilizar un sonido diferente era realmente algo asombroso