Tabla de Contenidos
1. Modos de resonancia en recintos
La existencia de los modos de resonancia de los recintos acústicos es un problema muy complicado para todo diseño acústico. La idea general del tema es que dependiendo de la forma y las dimensiones geométricas de un recinto existirán frecuencias favorecidas y otras anuladas. Esto provoca una especie de ecualización indeseada de lo que se escuchará allí. Es importante notar que no es algo que pueda corregirse artificialmente con un ecualizador, porque lo que efectivamente suceda con las frecuencias dependerá del lugar de escucha (y de ubicación de las fuentes sonoras).
En un tubo ideal (una sola dimensión), los modos de resonancia son armónicos. Esto quiere decir que las frecuencias son múltiplos (enteros) de la frecuencia fundamental. Veremos que esto no sucede en recintos. En los recintos habrá modos que no son armónicos entre si.
¿Cómo se escucharía música dentro de un tubo?
Imaginemos cómo sería intentar escuchar dentro de un tubo cerrado cerrado. Lo primero que uno tiende a suponer cuando comienza a entender es que los modos corresponden a las frecuencias que se verán reforzadas. Después de todo sabemos que eso era lo que
sucedía con las ondas estacionarias que se acomodaban perfectamente dentro de la longitud del tubo. Si pensamos de esta manera supondremos que si se intenta escuchar dentro de un tubo un sonido formado por muchos componentes, los que coincidan con
los modos se reforzarán y el resto se escuchará con menor intensidad, siguiendo básicamente lo que uno esperaría de la curva de resonancia que vimos clases atrás.
Esto que acabamos de suponer ya sería malo, pero la cosa es un poco peor.
En la siguiente imagen se muestran los primeros tres modos de un tubo (pensemos que son 2, 4 y 6 khz como los del diagrama anterior). Supongamos que alguien genera un tono compuesto formado por estos tres armónicos y estamos parados en el centro intentando escuchar. ¿Qué escucharíamos?
En el centro podríamos escuchar con un nivel elevado el segundo armónico (4 kHz), pero no escuchamos ni el primero ni el tercero. No hay ningún lugar del tubo donde dejemos de escuchar a los tres, pero claramente hay varios puntos en los que dejaríamos de escuchar alguno de ellos. Y qué pasará si intento analizamos lo que sucede con los que no son armónicos. Dependiendo de la amplitud que indique la curva de resonancia y del lugar del tubo en el que estemos se verán atenuados de distinta manera.
Podrán notar que un lugar en el que todos los modos se ven fortalecidos con su máximo nivel es junto a las paredes laterales. Sin embargo, hay que tener en cuenta que estos máximos se dan para las frecuencias de resonancias. No debemos concluir de esto que todas las frecuencias (aunque no sean las de resonancia) tendrán un valor máximo allí.
Pero ... ¿no era que las frecuencias de resonancia dan siempre un máximo? ¿No es lo que uno puede notar mirando las curvas de resonancia?
Este es un punto clave y algo complicado de comprender al principio. La curva de resonancia nos está diciendo que ciertas frecuencias se ven reforzadas por el fenómeno de resonancia. Pero eso no significa que cada una de esas ondas estacionarias provocadas por la resonancia se vean reforzadas en todo lugar del tubo.
Pensemos un momento en lo que pasa en una cuerda. Si la hacemos vibrar en su frecuencia fundamental de resonancia, podremos decir que la onda alcanza su máxima amplitud y eso es lo que representaríamos en la curva de resonancia. Pero alguien podría objetar nuestra afirmación, diciendo que justo en los bordes donde la cuerda está fija la amplitud es cero. Cuando hablamos de máximo, será en algún lugar de la cuerda. Ahora lo que pasa punto a punto a lo largo de la cuerda es otro asunto. Si pensamos en el segundo armónico, la cuerda oscilará en resonancia con una onda estacionaria que tiene un nodo justo en el centro. Quiere decir que en ese punto no hay oscilación. Pero estamos igual hablando de una resonancia a la que le atribuimos un máximo.
¿Quiere esto decir que habíamos entendido mal el tema de resonancia? No, para nada. En ese momento nos preocupaba la onda como una entidad, y efectivamente la onda en si misma se ve reforzada y alcanza valores más altos que si se tratase de una frecuencia que no coincide con un modo de resonancia. Pero lo que pasa es que al resonar forma una onda estacionaria y la posibilidad de alcanzar o no ese máximo depende del punto de registro. Si armo mi pequeño teatro en un tubo e invito público a sentarse dentro, no solamente que la ecualización que tendrá la sala generará será horrible, sino que además dependerá de la butaca en que cada uno se siente y esto es muy problemático.
Los modos son responsables de cierta "ecualización", de elevar o cancelar las frecuencias que corresponden a ellos y de modificar los tiempos de reverberancia de ciertas frecuencias. Los puntos que coincidan con las frecuencias de resonancia serán los más afectados. En ciertos puntos se escucharán mucho más alto, y en otros puntos de la sala se escucharán mucho más bajos.
Con lo mencionado antes se comprende que los problemas de los modos no pueden corregirse alterando artificialmente la ecualización. Al menos, no para todo el mundo a la vez. Puedo ecualizar para que se escuche un poco mejor en un lugar, sabiendo que arruino la escucha en otros lugares. Además hay que ser mago para lograr en el ejemplo anterior que se escuche bien en el centro del tubo mediante ecualización. Levantar un "cero" mediante ecualización es algo muy difícil.
¿Qué solución existe? En rigor de verdad, ninguna. Lo que uno puede hacer es un máximo esfuerzo para que el problema de los modos sea lo menos molesto y notorio posible. El caso ideal sería que la respuesta en frecuencia del recinto fuera plana y esto no se puede lograr.
El siguiente video (en inglés, con posibilidad de usar subtítulos con traducción automática) comenta el problema de la distribución de modos en recintos.
1.1. Modos de resonancia axiales
Los modos de resonancia de recintos que uno primero puede imaginar surgen de continuar y expandir el cálculo que hacíamos en un tubo para que se adapte a esta especie de tubo tridimensional que es un recinto en el cual tenemos ancho, largo y altura. Esto no está mal, pero hay que agregar más modos.
Recordemos cómo era el cálculo en un tubo primero. Si tenemos un tubo cerrado-cerrado de longitud L, entonces el primer modo (frecuencia fundamental) se producirá cuando L sea igual a λ/2. Si consideramos que L es un dato, podemos calcular la longitud de onda despejando
Pero lo que queremos obtener es la frecuencia. Entonces partimos de la ecuación que dice que la velocidad de propagación es igual a la longitud de onda por la frecuencia. En cuerdas esa velocidad dependía de la tensión y la densidad lineal de masa, pero en tubos y en un recinto es la velocidad de propagación del sonido.
Esa frecuencia corresponderá al primer modo. Si queremos obtener los demás, simplemente multiplicamos por n (cualquier número natural) a la ecuación anterior, con lo que obtenemos que
Por lo que veremos en un momento, puede resultar conveniente reordenar los parámetros en la ecuación anterior.
Usaremos entonces la siguiente manera de expresar la frecuencia de resonancia del modo número n.
¿Por qué conviene? Porque de este modo c/2 es siempre el mismo valor, mientras que el otro factor (n/L) variará dependiendo del modo que estemos queriendo calcular y del par de paredes paralelas que estemos considerando.
Supongamos que llamamos Lx,Ly, Lz al ancho, largo y altura del recinto. Tendremos entonces que sus frecuencias calculadas como si se tratase de las frecuencias de resonancia de un tubo serían
¿Cuál de ellas corresponderá a los modos del recinto? Todas ellas, y vamos a ver que hay varias más.
La figura siguiente muestra el 4to componente de los modos que se calculan con fx, tal como se presenta en un libro específico sobre acústica al tratar este tema (Ballou, Handbook for Sound Engineering).
Es importante notar que ya no existirá algo así como una fundamental y sus armónicos. efectivamente habrá una frecuencia que será la mas baja, pero las demás no tendrán por qué ser múltiplos de ella.
¿Por qué esta diferencia con lo que sucede en un tubo?
Claramente todas las fnx son múltiplos de su fundamental, pero la frecuencia fundamental del conjunto fnx de la dirección x, no tiene nada que ver con la frecuencia fundamenteal fny. El ancho y el largo del recinto corresponden a dos dimensiones independientes que se decidieron al momento de la construcción del recinto. No tienen por qué ser armónicas entre sí. Podríamos pensar que cada una de ellas forma una especie de peine equiespaciado, pero resulta que hay dos peines superpuestos con distinto valor de separación entre sus "dientes".
La cuestión es que si superpongo tres respuestas en frecuencia donde cada grupo asociado a una dimensión de largo, ancho y alto pudiera ser armónica respecto de su propia fundamental (números naturales a partir de una fundamental), la respuesta completa ya no será armónica.
No entiendan esto mal, no es que sería bueno que fuese armónico, simplemente estoy comentando lo que sucede. Se entremezclan de maneras muy raras todas las frecuencias de resonancia. De todas maneras, veremos que no convendría para nada que fuese armónica esta relación.
Todos estos modos (teóricamente infinitos porque nx, ny y nz pueden tener cualquier valor) existen y se denominan "modos axiales" del recinto, pero hay más. Obviamente, los modos que superen el rango audible podrían ser ignorados para toda cuestión práctica.
Los modos axiales son los que surgen por reflexiones entre paredes paralelas enfrentadas, y suelen ser lo que más pueden molestar, pero de todas maneras es necesario tener a todos los modos en cuenta. Eso lo veremos en la siguiente sección.
En las siguientes imágenes puede observarse el primer modo en cada una de las tres dimensiones (x, y, z) de este recinto rectangular.
Ejemplo de cálculo:
Consideremos un recinto rectangular con Lx=4m, Ly=5m y Lz=2,40 m, y considerando la velocidad del sonido como c=344 m/s
a) Calcular las frecuencias fundamentales de los modos axiales.
b) Calcular los modos de orden superior incrementando el valor de n hasta que las frecuencias de los modos apenas supere los 200 Hz (se comentará por qué esta frecuencia un poco más adelante)
Rta:
a) fx1 = 43 Hz; fy1 = 34,4 Hz; fz1 = 71,7 Hz
b)
fxn = nx.43 Hz (86 Hz; 129 Hz; 172 Hz; 215 Hz)
fyn = ny,34,4 Hz (68,8 Hz; 103,2 Hz; 137,6 Hz; 172 Hz; 206,4 Hz)
fzn = nz.71,7 Hz (143,4 Hz; 215,1 Hz)
El siguiente gráfico muestra los resultados que están por debajo de 200 Hz como líneas verticales. Veremos luego que la preocupación está centrada en la zona de bajas frecuencias. Cada color corresponde a una de las dimensiones. Por el momento no se están mostrando las "sábanas" que provocan las curvas de resonancia y cuya curvatura depende del factor de calidad Q y este a su vez de que existan procesos que impliquen pérdida de energía.
1.2. Modos transversales (o tangenciales) y oblicuos
Dijimos previamente que en un recinto existían más modos de resonancia. La cuestión es que existen otros valores de frecuencia que generan ondas estacionarias que en lugar de oscilar en forma perpendicular a las paredes lo hace entre aristas del recinto o de sus vértices (esquinas). No es un tema sencillo de describir con detalle, pero creemos que tampoco sonará tan extraño. La cuestión es que ciertas frecuencias generan ondas estacionarias que se mantienen estables moviéndose en diagonal entre aristas o entre esquinas. Las que se establecen entre aristas (los lados que unen dos paredes del recinto) se denominan modos transversales (o también modos tangenciales), y los que oscilan entre vértices (esquinas que unen tres paredes) se denominan modos oblicuos.
La primera imagen que sigue (gif animado) muestra un modo de resonancia tangencial, y la segunda, un modo oblicuo.
¿Cómo se calculan las frecuencias de estos modos?
Existe en realidad una única ecuación general, que calcula estos modos y también los axiales. Para que esa ecuación "suene" más razonable y sea más fácil de recordar la podemos asociar con una "especie de teorema de Pitágoras tridimensional". Veamos qué queremos decir con esto. El teorema de Pitágoras afirmaba que si se conocían dos catetos a y b de un triángulo, la hipotenusa podía calcularse como
Si lo extendemos a tres dimensiones, la ecuación queda
Bien, con esta idea en memoria, volvemos a colocar la ecuación que permite calcular los modos axiales que vimos en la sección anterior
El factor c/2 es común a las tres ecuaciones, y en esta "regla mnemotécnica" lo dejamos afuera, pero con los otros términos aplicamos esta especie de teorema de Pitágoras, y obtenemos la ecuación general.
NOTA: No estamos justificando aquí por qué motivo hay que hacer esta especie de malabarismo, sino solamente ayudar a que suene menos extraña y algo más fácil de recordar. Esta es la ecuación que se presenta en los textos de acústica de recintos sin justificación, porque requiere un desarrollo muy extenso y cansador.
¿Cómo se utiliza esta ecuación?
Fíjense que la frecuencia tiene tres subíndices. El método que se utiliza es colocar allí como subíndice los números enteros que se utilizarán dentro de la ecuación. Estos números variarán desde cero en adelante. Pero si colocamos los tres en cero, la frecuencia da cero, así que al menos uno tiene que ser diferente de cero.
La idea que hay que captar es que si calculamos f100 (así se escriben las frecuencias de los modos, y no debe leerse cien, sino "uno cero cero"), estamos diciendo que queremos calcular la frecuencia que corresponde al modo 1 en x, ignorando los otros dos. Si reemplazamos nx por 1 y los otros dos n por cero, nos queda la ecuación de fnx que calculamos antes.
Los modos axiales, se calculan con esa ecuación colocando valores solamente en x, o solamente en y o solamente en z.
Ejemplos de frecuencias de algunos modos axiales salpicados
Si hay un único valor distinto de cero estamos hablando de la frecuencia de un modo axial (entre paredes paralelas). Si hay un dos valores distintos de cero hablamos de la frecuencia de un modo tangencial que involucra dos paredes. Por ejemplo:
Si ninguno de los valores es cero, entonces se trata de un modo oblicuo (entre esquinas). Por ejemplo:
Cada grupo de tres números da por resultado la frecuencia de un modo de resonancia del recinto.
¿Hasta cuándo hay que calcular frecuencias variando los números enteros? La idea es hacer un recorrido variando esos números hasta que el resultado del cálculo de frecuencia sea superior a 200 Hz (ya comentaremos un poco más esta cuestión). Una vez que se alcanza, se comienza a variar otro de los números. Pero es necesario hacerlo asegurándose de explorar todas las combinaciones que den por resultado frecuencias menores que 200 Hz.
Pronto exploraremos un poco más los métodos para resolver ordenadamente ese recorrido sin perderse información, y veremos qué hacemos con esa información posteriormente.
Por el momento sólo pretendemos que vayan familiarizándose con este tema de los modos y que sean capaces de calcular alguna frecuencia particular que les pidamos.
Ejercicio de ejemplo;
Tomando como referencia el recinto utilizando en la sección anterior para calcular los modos axiales se pide calcular las frecuencias de los siguientes dos modos:
Lx=4m, Ly=5m y Lz=2,40 m
c=340 m/s
Respuesta:
f210 = 91,5 Hz
f113 = 219 Hz
1.3. ¿Qué hacer con los modos?
Repetimos aquí qué problema traen aparejados los modos de resonancia y qué se puede hacer con ellos.
El problema es que afecta la escucha musical en el ambiente de forma no deseada y difícil de corregir. Refuerza algunas frecuencias, apaga otras, el efecto depende del lugar donde esté el oyente ubicado y genera variaciones de tiempo de reverberancia para las frecuencias propias de los modos.
¿Qué se puede hacer para lidiar con ellos? Estudiar cuidadosamente la geometría del recinto. La ecuación de cálculo de frecuencias de modos depende exclusivamente de las dimensiones en metros.
No podemos evitar que existan los modos, pero cierta manera de desparramarlos con cierto criterio a lo largo de la frecuencia pareciera mucho menos molesto a la percepción. En el capítulo 4 veremos que existen algunos criterios que podrían orientarnos para ver cuándo una distribución de modos es razonablemente buena. Lamentablemente los criterios no son 100% seguros y no son todos completamente compatibles entre si. Hay distribuciones que podrían ser catalogadas como razonables con uno de esos criterios y que resulta mala elección según el otro criterio.
Cuando se hable de una correcta distribución de modos, se estará intentando decir que los modos están desparramados a lo largo de los distintos valores de frecuencia siguiendo algún criterio estético.
¿Cómo modificamos la distribución de los modos? Variando las dimensiones del recinto. Esto conviene hacerse antes de construir por razones obvias, pero si se trata de "reparar" un lugar ya construido también hay posibilidades ya que siempre se puede bajar un poco el techo o agregar placas de yeso (Durlock o similar) para correr unos centímetros alguna pared. Los cansadores cálculos de frecuencia pueden ser realizados mediante planillas Excel que suelen hallarse en la web o con algún software dedicado a ello.
Cuando de todas maneras no se logra una distribución que resulte razonable con los criterios mencionados que analizaremos en breve, se puede intentar con otras soluciones. Una de ellas es la de lograr bajar el Q de las resonancias. Esto puede hacerse agregando algo de absorbente o mediante algunos procesos de absorción selectiva en frecuencia que comentaremos algo más adelante (como resonadores de panel o lo que suele conocerse como trampa de graves).
Discutiremos también algunas cuestiones sobre qué sucede cuando el recinto no es rectangular, y veremos qué tanto se puede atenuar el problema si se evitan paredes paralelas (adelantamos que no soluciona el problema de los modos, aunque evita otros problemas como el flutter eco). También comentaremos que actualmente se va tendiendo a utilizar simuladores, con las ventajas y riesgos que implica.
2. Influencia de los modos en el comportamiento de un recinto
En un tubo ideal (una sola dimensión), los modos de resonancia son armónicos. Esto quiere decir que las frecuencias son múltiplos (enteros) de la frecuencia fundamental. Esto no es así para membranas ni para recintos.
Los modos son responsables de cierta "ecualización" y de modificar los tiempos de reverberancia de ciertas frecuencias.
Las ondas de presión se reflejan sin inversión en paredes reflectantes. Cuando se produce una reflexión sin inversión se presenta una onda estacionaria. El máximo de presión de la onda estacionaria se produce en la pared. El primer nodo se producirá a una distancia λ/4. Los siguientes nodos mantendrán entre si una distancia λ/2.
Entre dos paredes paralelas se producirán reflexiones que intentarán generar ondas estacionarias. Cuando los nodos que tienden a provocar ambas paredes coincidan entre sí se producirá un modo de resonancia.
¿Cómo afectan los modos a las ondas en el recinto?
Si se genera una onda (forzada, porque la estamos emitiendo con un parlante por ejemplo) que coincida con un modo de resonancia su nivel se verá reforzado ante cada rebote. Esa oscilación crecerá de nivel mientras se mantenga la fuente activa. Al apagar la fuente el nivel tenderá a mantenerse si las paredes reflejan toda la energía. Por otra parte, la existencia de modos implica que se provocan máximos en algunos puntos y mínimos en otros, haciendo que se altere el espectro percibido o registrado dependiendo de la posición.
Si la onda (forzada) no coincide con ninguna de las frecuencias de resonancia, su nivel no tenderá a crecer mientras se mantenga la fuente, y tenderá a caer cuando se apague. Si se genera una onda compuesta, algunos componentes se incrementarán y otros no, generando una ecualización que además variará con la posición de la fuente y del receptor.
Un recinto puede pensarse como semejante a un tubo (rectangular) en el que hay que prestar atención a los modos provocados por las reflexiones entre todas sus paredes. En un tubo como los que estudiamos previamente, una de sus dimensiones es dominante y sólo se considera esa en los cálculos. Las otras dos influyen pero generan modos de muy alta frecuencia, que pueden ser ignorados. Al considerar sólo una dimensión (en un tubo) los modos que realmente tenemos en cuenta son armónicos, lo que significa que tienen una relación de números enteros: la frecuencia fundamental, el doble, el triple, etc.
En un recinto habrá modos entre las paredes paralelas separadas por el ancho, entre las separadas por el largo, entre las separadas por la altura y muchos más, que no tendrán relación armónica entre si.
La figura anterior muestra la ubicación de modos correspondientes a un recinto. Esas barras me indican lugares de frecuencia que resultarán problemáticos por los altibajos que se pueden producir, pero no indican nada sobre si en ese punto el nivel subirá o bajará respecto de lo que se esperaría si no hubiese modos. Esto último dependerá del lugar en el que se registre el sonido dentro del recinto.
Reforcemos esta última idea. Si estamos analizando una frecuencia que coincide con un modo de resonancia, se escuchará mucho más fuerte o mucho más débil dependiendo del lugar donde se posicione el receptor. Si la frecuencia no coincide con ningún modo de resonancia (y está razonablemente alejado de cualquier modo) esa frecuencia tendrá un nivel razonablemente constante en cualquier punto del recinto.
Los modos que rebotan entre dos paredes paralelas enfrentadas se denominan modos axiales (generando, por ejemplo, una onda estacionaria solamente en la dirección x). Los que rebotan entre cuatro paredes, o entre "aristas" del cubo se denominan modos transversales o tangenciales (generando por ejemplo una onda estacionaria en un plano x-y). Los que surgen de las reflexiones entre las 6 paredes se denominan modos oblicuos. Si bien los modos axiales normalmente tienen mayor preponderancia, los criterios de modos suelen preocuparse por la distribución general de modos en el recinto.
3. Frecuencia de Schroeder
Ya mencionamos que el problema de la existencia de modos propios es que tienden a reforzar o cancelar determinadas frecuencias, generando una modificación indeseada del espectro que depende además de las posiciones de la fuente y del receptor.
Sin embargo, llega un momento que hay tantos modos superpuestos en zonas cercanas de frecuencia que ya no generan problemas. Esto se relaciona con características de la percepción auditiva en la cual la discriminación de niveles sonoros se realiza en bandas de aproximadamente un tercio de octava. Esto significa que cuando hay muchos modos superpuestos dentro de un mismo tercio de octava los efectos de cada modo tienden a compensarse y el problema no se presenta.
En la figura anterior se marca con un contorno rojo una zona en la cual la separación de modos es mayor que y por lo tanto representa una dificultad en la percepción de los efectos de los modos, y una zona con contorno verde en la cual los modos están muy juntos. Esto no significa que el nivel de respuesta sea constante (se ve que va disminuyendo con la frecuencia), pero no se registran altibajos tan abruptos dependientes de la posición del oyente en frecuencias cercanas entre sí.
Schroeder y Kuttruff estudiaron el problema a mediados del siglo XX y propusieron un modo de calcular la frecuencia que separa estas dos zonas, que se conoce como frecuencia de Schroeder
Donde TR60 es el tiempo de reverberación del recinto (algunas veces aparece como T60, o como RT60 o simplemente como RT)
Ejemplo de cálculo 1:
Supongamos un recinto de 5x8x3 con un TR60 = 0,6 s. Calcular la frecuencia de Schroeder
La frecuencia de Schoeder nos sirve para ver sobre que zona de frecuencias nos debe preocupar al analizar el comportamiento modal de un recinto.
El gráfico siguiente muestra valores posibles de fs en función del volumen de la sala para distintos valores de TR60.
Para grandes salas, la frecuencia fs es muy baja y los modos no representan un gran problema. Por este motivo suele decirse que la preocupación por el tema de los modos propios se concentra en el estudio de recintos pequeños o medianos.
En la siguiente figura se compara una sala de 6x7x3 (Vol=126 m3) con una de 15x15x4 (Vol = 900 m3). Las flechas rojas indican la ubicación de la frecuencia de Schroeder en cada caso.
Repetimos aquí una expresión que resulta muy importante que recuerden. Para grandes recintos (un gran Teatro, por ejemplo) la frecuencia de Schroeder da muy baja (cercana al mínimo valor de frecuencia del rango audible). Esto quiere decir que no es necesario tener una preocupación especial por lograr una buena distribución de modos. Los modos por encima de la frecuencia de Schroeder son tanto y están tan cerca unos de otros que no se producen efectos de altibajos perceptibles. Un especialista en acústica de Teatros puede entonces no darle importancia a este tema en su práctica profesional. Sin embargo, en recintos pequeños o medianos (un casa particular, una sala de ensayo o un estudio de grabación), el tema de los modos cobra bastante importancia.
4. Criterios de distribución de modos
¿Cómo saber si un recinto tiene una buena distribución?
Es un tema complejo, para el que solamente existen soluciones aproximadas. Una buena distribución de modos será aquella que no provoque subidas y bajadas demasiado pronunciadas. Esto lo sabemos. Lo que no siempre sabemos es qué condiciones debe cumplir un recinto para que tenga una buena distribución de modos.
Se han hecho diferentes propuestas a lo largo del tiempo. La más clásica es el criterio de Bolt de mitad del siglo XX. En la década del 80, el ingeniero argentino Oscar Bonello propuso un criterio que tuvo amplia difusión. En 1998 se publicó una norma EBU-R22 (European Broadcasting Union) con un criterio que tiene semejanzas en la forma de uso con el de Bolt.
Los resultados de estos tres criterios no son siempre coincidentes al analizar un recinto.
El uso clásico de estos criterios sólo permite analizar la situación en recintos rectangulares. Hoy en día suelen utilizarse simulaciones por software para realizar el análisis de los modos de resonancia en recintos de formas irregulares.
Criterio de Bolt (1946)
El criterio de Bolt utiliza un modo gráfico de evaluación. Bolt se concentró en la idea de que las proporciones entre las dimensiones geométricas son las que determinan si una distribución de modos es adecuada o no lo es. Con lo cual pensó en hacer un gráfico en donde cada relación de proporción entre ancho, largo y alto pudiera representarse por un punto en dicho gráfico, para determinar si existían "zonas" donde se juntaban los "buenos recintos".
En el siguiente gráfico, los recintos correspondientes a los puntos A y E serían rechazados por el criterio, mientras que el resto serían aceptados.
NOTA: Lamentablemente la aceptación o rechazo no garantiza que los modos sean completamente adecuados, pero nos dicen que es la mejor opción que tenemos para elegir. Quizás uno podría relacionar esto con otras situaciones. Haber aprobado un parcial no garantiza "saber el tema", en el sentido de que puede ser que alguien justo haya podido resolver algo que apenas entiende, y otra persona con más conocimiento se trabó. Pero si alguien aprobó el parcial, se considerará apto para continuar cursando. Los criterios podrían ser considerados de modo semejante. Aplicar el criterio de Bolt no me garantiza un recinto con buena distribución de modos, por lo que yo no debería decir que "tiene una excelente distribución", sino que debería decir "este recinto cumple con el criterio de Bolt de distribución de modos en recintos".
¿Cómo encontramos los puntos que corresponden a un recinto en el diagrama de Bolt?
Su criterio se basa en tomar en cuenta las medidas del recinto, hacer un cálculo de transformación para que esas medidas puedan indicar un punto en su gráfico y ver si ese punto cae dentro de la zona que Bolt considera adecuada. Como Bolt arma su criterio en base a proporciones (esta es el doble de esta otra, por ejemplo), tomó la altura como referencia para poder representar su gráfico en un plano. Así el eje horizontal del gráfico indicaría cuál es la proporción entre el ancho y el alto, y el eje vertical, cuál es la proporción entre el largo y el alto.
Esto se logra dividiendo todas las dimensiones del recinto por la altura. En ese caso claramente la altura normalizada terminará valiendo 1 y no se necesitará para el gráfico. Con las otras dos se obtienen los valores de "ancho normalizado" y "largo normalizado"
Ejemplo con un recinto de 4x5x2,4
Ancho normalizado = 4/2,4 = 1,67
Largo normalizado = 5/2,4 = 2,08
Con esta información, se busca la ubicación de este punto en el gráfico de Bolt. Si el punto cae dentro de la zona de buenos recintos (dentro de la superficie encerrada por la línea de puntos), se dice que es aceptado según este criterio, y si cae fuera es rechazado.
Las líneas en rojo muestran las medidas del ejemplo. El recinto está dentro del contorno, por lo que decimos que "cumple con el criterio de Bolt".
4.1. Criterio EBU R22 (1998)
Este criterio corresponde a las recomendaciones técnicas de la European Broadcasting Union (EBU).
El modo de utilización es semejante al de Bolt, solo que el contorno es diferente. Esta formado por varias figuras geométricas separadas, y se consideran válidos los recintos que quedan dentro de las figuras.
En línea muy tenue, puede verse en la figura anterior la "huella de Bolt" para poder comparar los criterios.
NOTA: Puede sonar molesto que los criterios no coincidan, pero el mundo es así. Significa que un determinado recinto puede ser malo según "Bolt" porque no cumple con su criterio, pero resultar adecuado según el criterio EBU R22. También puede ocurrir lo contrario.
Si consideramos el mismo caso anterior (cuando analizamos Bolt), el recinto queda ligeramente fuera del contorno, por lo que no cumple con el criterio de recomendación técnica R22 de EBU.
Ejemplo con el mismo recinto de 4x5x2,4
Ancho = 4/2,4 = 1,67
Largo = 5/2,4 = 2,08
El siguiente link permite realizar el chequeo de recintos en forma interactiva
4.2. Criterio de Bonello (1981)
En 1981 el ingeniero argentino Oscar Bonello publicó un criterio que tuvo importante aceptación a nivel internacional.
El criterio de Bonello se basa en cálculos y no en observar una representación gráfica que se obtenga de las proporciones del recinto. Igual que el resto de los criterios asume que se está trabajando con un recinto rectangular.
Requiere calcular todas las frecuencias de modos de un recinto menores a la frecuencia de Schroeder para luego ordenarlas de manera creciente y contar la cantidad de modos dentro de cada tercio de octava.
A partir de una frecuencia f1, puede calcularse el tercio de octava siguiente mediante la siguiente expresión
Ejemplo de cálculo, si f1 es 20 Hz, el valor de f2 sería
La información obtenida se vuelca a un gráfico con cantidad de modos vs. tercio de octava.
Si al avanzar en frecuencia la cantidad de modos es mayor o igual a la cantidad del tercio anterior, entonces el recinto se considera adecuado en cuanto a su distribución de modos.
La siguiente figura muestra tres recintos evaluados con el criterio de Bonello. El recinto que está en el centro de la figura no cumple con el criterio.
Gauvron(2015) menciona que el criterio puede dar distintos resultados en ciertos casos particulares al comenzar a contar los tercios de octava desde frecuencias diferentes y propone una variante para salvar la dificultad
El siguiente link lleva a una página que permite aplicar los criterios de Bolt y Bonello para evaluar un determinado recinto. Para utilizar Bonello conviene seleccionar las dimensiones en centímetros (así es como las admite la página)-
https://amcoustics.com/tools/amroc
Si utilizamos el recinto del ejemplo 5x4x2,4 vemos que cumple Bolt y también cumple Bonello
4.3. Criterio de Cox (2004) - Simulación computacional
El tema de los modos es muy complejo y ninguno de los criterios puede dar seguridad. Básicamente se trató de utilizar una serie de herramientas disponibles en cada momento para tratar de enfrentar el problema.
Los criterios sólo consideraban recintos rectangulares porque no disponían de herramientas para evaluar formas más complejas. Sin embargo no hay que creer por eso que si los recintos no son rectangulares entonces no existen los modos de resonancia. Lo que sucede si el recinto no es rectangular es que los modos son más difíciles de predecir.
NOTA: Lo que puede solucionarse eligiendo paredes no paralelas es un efecto perceptivo particular de un eco con un tipo de sonido metálico que se denomina "flutter eco".
Por citar un ejemplo, evitar paredes paralelas no hace que dejen de existir modos. Corre alguno de los modos en frecuencia y quizás, a lo sumo, logre atenuar ligeramente su efecto ya que puede romper un modo axial que son los que tienen cierta preponderancia.
La siguiente figura muestra algunos modos propios de un recinto que no posee paredes paralelas.
Tomado de Kleiner, M., & Tichy, J. (2014). Acoustics of small rooms. CRC Press.
Incluso en un lugar con formas tan irregulares como el interior de un automóvil, se producen modos propios, sin que existan paredes paralelas ni superficies planas. La figura siguiente también fue tomada del libro de Kleiner.
El libro citado de Kleiner (Acoustics of small rooms), menciona el criterio de Bonello, aunque actualmente suelen utilizarse métodos basados en simulaciones de propagación de ondas.
De todas maneras, la complejidad sigue siendo muy grande. Buena parte de los programas de simulación funcionan emulando a los programas de simulación de trayectorias de luz. Se denomina a este enfoque "acústica geométrica". Esta manera de simular, pierde precisión en la representación de muchos fenómenos ondulatorios. ¿Por qué hacen esto? Porque la solución ondulatoria es extremadamente demandante en recursos computacionales aún hoy en día. Los modelos geométricos logran buenas predicciones en frecuencias medias y altas, pero fracasan en frecuencias bajas que es donde justamente se encuentran los problemas de los modos.
Existen maneras de realizar simulaciones basadas en "acústica ondulatoria" pero suelen requerir mucho conocimiento y trabajo previo, además de tiempos de cómputo realmente grandes. De todas maneras, esa pareciera ser la tendencia: ir hacia modelos de simulación computacional basados en modelos ondulatorios.
En un trabajo científico de 2004, Trevor Cox (un renombrado especialista en acústica y experto en el tema de difusores y absorbentes) propuso abandonar los criterios clásicos (que no dan garantías, y encima no son coincidentes entre ellos) y apuntar al desarrollo de simulaciones de modos en recintos. Realizó una serie de simulaciones exhaustivas que tomaron muchísimo tiempo, para poner a prueba una inmensa cantidad de recintos con variaciones en sus dimensiones.
Nuestra opinión es que su propuesta es muy valiosa. Sin embargo, seguirla requiere tener un conocimiento profundo para llevar a cabo esas simulaciones y bastante tiempo disponible porque son procesos muy laboriosos. Las simulaciones tendrían la ventaja de simular el recinto tal como es, aunque tenga formas no convencionales (fuera de la clásica "caja de zapatos rectangular").
Para que esta idea se comprenda. Existen muchos grupos de especialistas que realizan simulaciones de recintos. Lo que no es tan común es que estas simulaciones se realicen con métodos ondulatorios (que son los más precisos pero los que más tiempo de cómputo demandan). De hecho, los gráficos que se muestran en esta misma sección de modos en recintos no rectangulares fueron obtenidos por simulación. Pero, una cosa es simular los modos en un recinto determinado, y otra cosa es utilizar esto como herramienta para decidir las dimensiones de un recinto. Lo que la simulación permitiría es tener después de algunas horas de procesamiento una serie de resultados sobre cómo los modos podrían afectar la escucha en cada lugar del recinto. Pero si estos resultados están mal, no nos dice qué habría que modificar para probar con un nuevo recinto. Esto implicaría probar con cientos o miles de recintos y allí está el problema. Cox hace una determinada propuesta (que no comentamos aquí porque es muy específica) sobre cómo reducir la cantidad de recintos a probar, y allí está su aporte.
En el siguiente link se posible hacer comparaciones entre el criterio de Bolt, el EBU R22, con la serie de simulaciones ondulatorias realizadas por Trevor Cox (para algunos tamaños de recinto particulares).
https://www.acoustic.ua/forms/rr.en.html
Lo que se muestra en esta página es un conjunto de miles de simulaciones que hizo Cox para recintos rectangulares (con la intención de que podamos compararlos con los otros criterios). Tomaremos como ejemplo sus cálculos para una inmensa cantidad de recintos rectangulares diferentes, todos del mismo volumen (200 m3).
Cox simuló todos los recintos posibles que tuviesen ese mismo volumen total. Luego de cada simulación analizó cómo se distribuían los modos en cada caso y adoptó un criterio basado en las subidas y bajadas de ecualización que se producían para decidir si resultaban buenos o malos respecto de lo que allí podía escucharse. Graficó sus resultados en un formato parecido al de Bolt y la norma EBU R22, considerando ancho y largo normalizados de los recintos. Las zonas oscuras del siguiente gráfico muestran buenos recintos (poca variación entre mínimos y máximos de la ecualización que produce el recinto), las zonas grises serían "razonables" y las zonas blancas serían malas.
Es algo desesperanzador notar que hay muy pocas zonas oscuras (buenas) en el diagrama.
Puede verse que el diagrama es simétrico respecto de una línea a 45º. Esto se debe a que un recinto cuyo ancho sea 4 m y el largo 6 m, debería comportarse igual que uno de ancho 6 m y largo 4 m. Algo así también sucede con Bolt, pero allí lo que Bolt proponía era considerar siempre que el largo es mayor que el ancho, para no tener que representar en espejo dos veces su diagrama.
En esa misma página, pueden superponerse los contornos de Bolt y de EBU, para ver cómo se relacionarían con lo que analizó Cox. Esto se muestra en el siguiente gráfico.
En este caso puede notarse una pequeñisima zona oscura de Cox que está cerca el borde superior del triángulo de abajo de EBU. Allí pareciera ser uno de los pocos lugares en el que los tres criterios coinciden.
Hemos marcado en ese gráfico un punto amarillo dentro de la zona oscura. Ese punto correspondería a un recinto de 6,4m x 7,7 m x 4,1 m. Todo haría suponer que debe sonar muy bien, ya que tiene el visto bueno de los tres criterios.
Una cosa importante final a comentar es que los criterios de Bolt y EBU suponen que no habría diferencia entre el problema de los modos y la altura (o dicho en otras palabras, no cambiaría nada al cambiar el volumen del recinto) y esto claramente no es verdad. Sin embargo, se trató de una forma aproximada práctica donde están teniendo en cuenta recintos de razonables dimensiones para actividades de escucha. Sin embargo, los cálculos de simulación realizados por Cox si tienen en cuenta todas las dimensiones. El gráfico con zonas grises cambia si se modifica el volumen del recinto.
La última palabra en este tema de los modos en recintos aún no está dada.
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4.4 Descripción detallada del método propuesto por Cox y D'Antonio.
La propuesta en realidad de los trabajos de Cox consiste en sugerir un modo iterativo para ir acercándose a una solución aceptable mediante simulaciones por computadora.
Ellos proponen tomar las medidas de un recinto como punto de partida y hacer una simulación o un cálculo analítico de los modos generados en ese recinto. Parten del supuesto de que el recinto con mejor distribución de modos será aquel que tenga un mejor ajuste de su curva de respuesta con respecto a una recta. Así, todo se inicia con obtener por cálculo o simulación la curva de respuesta de modos del recinto. A continuación obtienen un ajuste de dicha curva para aproximarlo a una recta mediante cuadrados mínimos y calculan una figura de mérito (a decidir por el diseñador) que otorgue una valoración numérica que mida cuánto se aparta esa curva de modos de una recta de ajuste. Este es el primer paso de una iteración. Los autores sugieren modificar a continuación ligeramente alguna de las tres dimensiones y repetir el proceso calculando la nueva figura de mérito. Si es menor que la anterior, se tomará al nuevo recinto como el punto de partida. De lo contrario se volverá al anterior y se modificará ligeramente alguna de las medidas. Este proceso debe repetirse hasta que se alcanza un valor de figura de mérito que se considere aceptable.
Sin embargo, para otorgar algún tipo de método de uso más directo, los autores ofrecen todo un recorrido variando dimensiones y calculando figuras de mérito de un conjunto amplio de recintos. Sirve como ejemplo de la propuesta y a la vez como un modo de observar algunos resultados directos.
Para mantener un punto de vista comparable con otros métodos históricos representan el conjunto de recintos estudiados en un plano donde los ejes son Ancho y Largo (como si se tratase del plano en el que se representa el criterio de Bolt o el de EBU ITU). Sin embargo, hay que recordar que esos dos métodos consideran que esos ejes indican proporciones de Ancho/Altura y Largo/Altura, bajo la suposición de que la calidad de la proporción del recinto no varía, al menos dentro de cierto margen de variabilidad.
La propuesta de Cox y D’Antonio no hace esta suposición de la independencia de la relación de proporciones y el volumen total del recinto. De manera que realizan la comparación de dimensiones para toda una familia de recintos cuyo volumen es constante
Cada punto del plano representa una proporción, pero es para un volumen específico, de manera que la altura no es cualquiera.
El punto amarillo se corresponde con un ancho W/H=1,55 y un largo L/H=1,9 Se ubica en un punto oscuro (buen recinto según Cox) y es bueno según los otros dos criterios (Bolt y EBU ITU). Arriba a la derecha se indica que se está analizando un conjunto de recintos de 100 metros cúbicos. Por lo cual para conocer las dimensiones exactas del recinto elegido hay que comenzar por el volumen normalizado
Donde el volumen del recinto surge si cada una de las dimensiones se multiplica por una constante k que logre que el volumen total sea el indicado (en este caso 100 m3)
El recinto entonces tiene las dimensiones
Como comprobación calculamos el volumen del recinto con estas dimensiones
Si cambiamos el volumen de la propuesta de Cox por 200 m3, las zonas grises (razonables recintos) y negras (excelentes recintos) cambian. Sin embargo, el punto elegido se mantiene en zona negra.
Obviamente los otros dos criterios no cambian ya que no dependen del volumen. En este caso estamos hablando de
El recinto entonces tiene las dimensiones
¿Qué hacer con un recinto genérico que no cumple con estos tres tipos de volumen estándar? Una opción es seguir el consejo general del trabajo de partir de un determinado recinto, calcular la curva de modos, obtener la figura de mérito y comenzar a iterar variando ligeramente sus dimensiones hasta alcanzar un punto satisfactorio. La otra opción es basarse en los ejemplos que Cox entrega eligiendo, por ejemplo, considerar casos relativamente cercanos a los volúmenes que se toman como referencia. Pero existe una opción más. Es la de intentar identificar algunas proporciones de recintos que se mantengan invariantes dentro de alguna clasificación entre los tres casos estudiados. En el ejemplo anterior vimos que cambian los puntos grises y los negros al pasar de 100 m3 a 200 m3 pero el punto amarillo elegido se mantiene en la zona de puntos negros. ¿Habrá otros puntos del plano que se mantengan siempre negros o siempre grises, al menos entre estos tres volúmenes? La figura siguiente fue construida en base a los datos proporcionados por Cox teniendo en cuenta esta comparación entre los tres casos.
Las zonas grises corresponden a los recintos que resultan razonables al considerar la información de Cox para los tres volúmenes estudiados. Las zonas negras (unas pocas) son los que mantienen su categoría de excelentes recintos en los tres volúmenes. Se graficaron además las curvas representando el criterio de Bolt y el EBU ITU para permitir la comparación.
Es curioso que entre el listado de puntos considerados “recomendaciones de buenos recintos”, prácticamente ninguno coincida con una zona de excelentes recintos, con la honrosa excepción de la primera recomendación que aparece en la página web acoustic.ua/forms/rr.en.html y que se atribuye a L. W. Sepmeyer 1965 con proporciones 1 x 1,14 x 1,39 Este recinto caería en el punto más bajo de la huella de Bolt (casi fuera), en el borde de contorno azul de EBU, pero claramente dentro de la pequeña zona negra que se muestra como intersección de los diagramas de Cox.
Ese mismo ejemplo es el que se muestra en el video mencionado antes donde un youtuber chequea con la calculadora de amroc si algunos de los recintos recomendados en publicaciones clásicas cumple con los criterios. Allí puede verse que este recinto (1 x 1,14 x 1,39) cumple con el criterio de Bonello. El ejemplo utilizado por el youtuber tiene un volumen mucho menor (de unos 25 m3). En la siguiente figura mostramos el resultado de considerar el caso de 100 m3 de ese mismo recinto (3,98 x 4,54 x 5,53 = 99,9 m3)
Pareciera ser una buena apuesta a que resulta robusto como proporciones. Pero, como decía antes, el tema de las proporciones de recintos está lejos de estar cerrado y de mantener consenso.
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Es posible descargar la información del trabajo de Cox y D'Antonio (al final dejo un link para descargar la info en formato Excel y en formato Matlab). Cada una de las tres tablas contiene las proporciones de buenos recintos dentro de tres grupos: los de volumen 50 m3, los de 100 m3 y los de 200 m3.
El siguiente link es para descargar el paper de Cox y D'Antonio donde hablan de este método (no es material obligatorio).
Cox,T; D'Antonio, (2004) Room sizing and optimization at low frequencies
El siguiente link es a una carpeta de Google Drive conteniendo la información de este artículo en formato de archivo Excel y en formato Matlab.