Tabla de contenidos
1. Interferencia por superposición de dos fuentes puntuales
1.1. Frecuencia, separación de fuentes y patrón de interferencia
2. Arreglo de múltiples fuentes en fase
2.1. Diagramas de ondas y de energía
3. Arreglo lineal (line array)
3.1. Radiación sonora de un line array
3.2. videos sobre Line Array
4. Difracción de ondas
5. Principio de Huygens-Fresnel
5.1. Arreglos con control de fase (phased array)
5.2. Webinar Aplicaciones del principio de Huygens
1. Interferencia por superposición de dos fuentes puntuales
Las ondas generadas por una fuente puntual se propagan en forma de esferas en el espacio y de círculos en un plano. Analizaremos primero el tipo de frentes de ondas que se generan cuando hay dos fuentes puntuales emitiendo.
En la siguiente animación se muestra lo que sucede cuando se tienen dos fuentes emitiendo la misma señal en fase (en el primer ejemplo la señal es de 2 kHz). Para notar el efecto se comienza a emitir solamente con una (que genera la propagación esférica o circular) y después de un momento se activa la segunda fuente. Del lado derecho se han colocado algunos sensores que registran la presión. Cuatro de ellos tienen numeración, para poder relacionar los puntos en los que se ubican con el registro obtenido que se muestra luego de la animación.
En la figura siguiente puede verse el registro de los cuatro sensores numerados. Durante los primeros 4 milisegundos hay silencio porque el frente de ondas aún no llegó a los sensores. En ese momento, con pequeña diferencia entre ellos todos registran señal de un nivel prácticamente idéntico. Cerca de los 8 milisegundos llega la señal superpuesta de la segunda fuente, y allí puede notarse que en el sensor 1 ambas señales llegan en fase y se alcanza el doble de amplitud. En el sensor 2, llegan con alguna diferencia de fase (que podría calcularse por la diferencia de distancias) y por lo tanto suman pero no llega al doble. En el sensor 3, ambas señales llegan casi con 180º de diferencia de fase y prácticamente se cancelan.
Se generan determinadas zonas de presión nula que forman una especie de líneas curvas. Estas se denominan "líneas nodales" y son una extensión de los nodos que veíamos en una onda estacionaria unidimensional (en una cuerda o un tubo). Un micrófono puesto en lugares sobre esas líneas no captaría nada.
Este fenómeno se conoce en física como "interferencia", y se denomina "patrón de interferencia" al "dibujo" que se obtiene por efecto de la interferencia entre dos fuentes puntuales.
En el siguiente video se muestra una experiencia en la que se detecta la ubicación de líneas nodales. La experiencia fue hecha hace mucho tiempo con una cámara de mano grabando en cinta. Se está emitiendo una señal de 8 kHz, suficiente para torturar a cualquier persona en el lugar, pero demasiado alta para ser captada por el sistema de registro sonoro de esa cámara.
En laboratorios de Física es común disponer de un sistema llamado cuba de ondas que no es otra cosa que una especie de pecera de muy baja altura en la cual se generan ondas sobre la superficie de agua para provocar interferencia. El siguiente video muestra el resultado cuando se utilizan dos fuentes (dos pequeños flotantes que oscilan en simultáneo).
1.1. Frecuencia, separación de fuentes y patrón de interferencia
Analizaremos aquí lo que sucede al cambiar la frecuencia. Para ello se repite la situación de la sección anterior, pero en lugar de utilizar 2 kHz se utilizará una frecuencia de 4 kHz.
Pueden notarse que la cantidad de líneas nodales aumentó respecto del caso anterior, y por ello se encuentran más juntas entre sí. El sensor 1 sigue recibiendo máximo nivel (suma de ambas fuentes), pero el sensor 2 en este caso está ubicado en una línea nodal.
Veamos qué sucede si bajamos la frecuencia a 1 kHz.
En esta nueva situación quedan solamente dos líneas nodales (ubicadas en forma simétrica de la línea central que corresponde al máximo nivel).
Si la frecuencia es más baja (por ejemplo, 500 Hz) es algo difícil detectar, al menos en la simulación con las escalas elegidas, la existencia de líneas nodales. Sin embargo, visto todo desde más lejos podría notarse que aún hay dos líneas nodales.
¿Habrá siempre al menos dos líneas nodales? No, veremos que existe una frecuencia suficientemente baja para la cual ya no se generarán líneas nodales. Toda frecuencia más baja que esa frecuencia límite emitirá un frente de ondas que será más intenso en el centro, pero que no llegará a anularse por cancelación.
Distancia, frecuencia y cantidad de líneas nodales
Es posible establecer una relación entre la distancia entre fuentes, la frecuencia utilizada y la cantidad de líneas nodales. Para ello podemos apoyarnos en un tema ya visto sobre ondas estacionarias entre dos parlantes. La idea es que las líneas nodales son continuas (tienen una forma curva cerca de las fuentes y luego tienden a parecer rectas). La cantidad de líneas nodales tiene que ser igual a la cantidad de nodos que se forman en el camino intermedio entre ambas fuentes sonoras.
Si retomamos lo visto en aquel momento, recordaremos que si el micrófono se ubicaba en el centro recibía ambas señales en fase y por lo tanto su amplitud era el doble. Pero si se desplazaba una distancia de λ/4 desde ese centro entonces una de las ondas llega un cuarto de período antes y la otra un cuarto de período después, por lo que ambas se cancelan dando lugar a un nodo. La ubicación de los nodos se producirá entonces a una distancia de λ/4 del centro, y la separación entre dos nodos (que es lo que nos interesará) se mantiene a una distancia de λ/2. Si la frecuencia utilizada provoca que ese nodo se genere antes de llegar a cubrir la distancia λ/4 entre el centro y el parlante, entonces se producirá un nodo, de lo contrario no habrá nodo. Dicho en otras palabras, si la frecuencia provoca que λ/4 sea mayor que la mitad de la distancia entre los parlantes, no habrá nodo. Esto es equivalente a decir que si la frecuencia utilizada genera una longitud de onda tal que λ/2 resulta mayor que la distancia entre fuentes (d) no habrá nodos.
Si λ/2>d, entonces no hay nodos
Esta será una relación sumamente importante para lo que seguiremos analizando. Nos indica el límite de frecuencia a utilizar si no queremos que se produzcan nodos. Veremos más adelante que esto determina la distancia entre cajas en los sistemas que se conocen como "line array".
La relación entre λ y la frecuencia es inversa. A mayor frecuencia, menor es λ. Esto implica que dos fuentes que emitan la misma señal evitarán la aparición de nodos para frecuencias bajas, y tendrán un tope máximo en la frecuencia que provoque que λ/2 = d, siendo d en este caso la distancia entre ambas fuentes.
Calculemos la frecuencia máxima que pueden tener esas dos fuentes sin generar líneas nodales. En las simulaciones anteriores la distancia entre fuentes es de 0,36 m. Sabiendo que el caso límite es igual a λ/2 = d, entonces λ = 2.d = 2. 0,36 m = 0,72 m
Con esta información y la velocidad del sonido (suponiendo una temperatura primaveral con c=345 m/s) podemos calcular la frecuencia límite, recordando que c = λ.f y por lo tanto
flim =c/λ
=345/0,72 = 479,2 Hz
Toda frecuencia por debajo de 479,2 Hz emitida por dos parlantes separados por una distancia de 36 cm, emitirá sin generar un patrón de interferencia. Emitirá sin provocar líneas nodales.
Esto nos permite pensar que si las fuentes se acercan entre sí, entonces la longitud límite puede ser más pequeña y esto permitirá tener una frecuencia límite más alta. Supongamos que repetimos el caso de la animación de la sección anterior (f = 2 kHz) pero deseamos colocar las fuentes a una distancia tal que no provoquen interferencia, entonces deberemos obtener el valor límite d.
Primero calculamos λ, para f= 2 kHz.
λ = c/f = 345/2000 = 0,1725 m = 17,25 cm
La distancia límite d será
dlim = λ/2 =0,0863 m = 8,63 cm
Repetimos la simulación ubicando las fuentes a una distancia tal que no provoque líneas nodales. Se mantiene en la simulación un primer momento donde emite solamente una de las fuentes y luego emiten ambas, por este motivo se puede notar un incremento de nivel luego de unos instantes.
Sin embargo, a esta distancia para una frecuencia más alta se producirán líneas nodales. La siguiente simulación mantiene esa misma distancia entre fuentes pero utiliza una frecuencia de 8 kHz. Cuando se activa la segunda fuente se ve claramente que aparece un patrón de interferencia (aparecen líneas nodales)
Una conclusión parcial de esto es que si tengo dos fuentes y quiero sumar su energía sin que se generen líneas nodales de cancelación, debo colocarlas lo más juntas posible teniendo en cuenta que la separación entre ellas impondrá un límite de frecuencia máxima (no podrá emitirse más que esa frecuencia límite sin que se formen líneas nodales).
¿Y qué sucedería se mantenemos la misma frecuencia pero ahora separamos más las fuentes?
Si la frecuencia es la misma y estábamos justo en el límite de λ/2 = d, al aumentar d manteniendo el mismo lambda resultará que λoriginal/2 será menor que el nuevo d (λoriginal/2 < dnuevo). Esto provocará que comiencen a aparecer nodos en medio entre las fuentes, y por cada nodo se generará una línea nodal cuando observemos la zona alrededor de las fuentes.
En forma general podemos decir que si la distancia entre fuentes aumenta, la cantidad de líneas nodales aumenta (y sus ángulos tienden a acercarse). Por otro lado, si se mantiene la distancia entre fuentes y aumenta la frecuencia, la cantidad de líneas aumenta (y sus ángulos tienden a acercarse).
¿Cómo podríamos saber cuántas líneas nodales se generan?
Pues averiguando cuántos nodos podrían aparecer en el segmento de línea que está entre las fuentes. Dado que los nodos están separados entre sí por una distancia de λ/2, esto quiere decir que si d es mayor que λ/2 aparecerán nodos. Las fuentes están emitiendo en fase, lo que provocará que en el centro la amplitud sea máxima. Si aparecen nodos porque la distancia entre nodos es menor que la distancia entre fuentes, necesariamente serán dos (o más en general, será una cantidad par).
No vamos a necesitar calcular la cantidad de líneas nodales, pero sí será necesario saber que para que no haya líneas nodales es necesario que d sea más chica que λ/2. Además tenemos que saber que cuanto más grande sea d respecto de λ/2, existirá una tendencia a aumentar la cantidad de líneas nodales y también a juntarlas más entre sí. Aumentar la distancia d incrementa la cantidad de líneas nodales y aumentar la frecuencia también provoca más líneas nodales.
2. Arreglo de múltiples fuentes en fase
Veamos ahora un aspecto diferente aunque relacionado. La cuestión es ver qué sucede cuando colocamos mas fuentes sonoras iguales entre sí.
Comenzaremos con 2 fuentes, luego 3 agregando una en medio de las dos, luego 5 agregando una en medio de cada par de fuentes, luego 9, luego 17, luego 33 y por último 65 fuentes. Excepto en el primer caso, todos los demás son números impares para tener una fuente en el centro y mantener la longitud total (65 centímetros). En todos los casos utilizaremos una frecuencia de 4 kHz, que provoca varias líneas de interferencia con 2 fuentes separadas por 65 cm. La línea negra vertical que se observa a la derecha es un conjunto de muchos sensores uno al lado del otro para medir el nivel de intensidad en cada punto. Esto será nuestra "pantalla", como si estuviéramos observando cuánta luz es emitida por estas fuentes. La pantalla se encuentra muy alejada en forma intencional para comparar mejor el comportamiento del conjunto de arreglos.
El patrón de interferencia para dos fuentes es el siguiente:
Las fuentes se ubican del lado izquierdo y sobre el lado derecho colocamos una pantalla con 100 sensores de presión (separados 1 cm cada uno). El siguiente diagrama muestra el máximo nivel de presión sonora captado por cada sensor de la pantalla. Puede notarse que los sensores ubicados muy cerca del centro tienen un máximo de intensidad, mientras que hay un par de zonas (entre -38 cm y -20 cm, y entre 20 cm y 38 cm) en las cuales el nivel es menor. En medio de estas zonas con menor intensidad estarían las líneas nodales. En una situación teórica allí se obtendría un nivel cero, pero en la práctica siempre se detectará algún nivel ya que los sensores jamás son puntos en el sentido matemático del término, sino que tienen un determinado tamaño y por lo tanto captan un poco de señal que está inmediatamente al lado de las líneas nodales.
Un arreglo de tres fuentes (longitud total 65 cm) genera el siguiente patrón de interferencia (en este caso mostramos la animación para comparar con el caso de dos fuentes).
En este caso el patrón es más complejo. Suele dividirse en lo que se conoce como campo cercano (con una distribución complicada) y campo lejano en donde se parece al patrón de 2 fuentes, excepto que la zona central es más intensa que las laterales. El nivel va decayendo al alejarse del punto central de la pantalla.
Con 5 fuentes obtenemos el siguiente patrón de interferencia
Nuevamente hay una zona de campo cercano de distribución compleja, pero en campo lejano puede notarse que la zona central se incrementa y diminuyen mucho los lóbulos laterales. En la pantalla se obtienen los siguiente niveles máximos de presión (considerando el centro como 0 dB)
Esta situación de incremento en el lóbulo central (entre líneas nodales) y decrecimiento de los laterales sigue cuando se incrementa la cantidad de fuentes, manteniendo la longitud total del arreglo. El comportamiento complicado en el campo cercano se debe a las diferentes zonas de líneas nodales que se presentan. Esto cambia cuando la separación entre fuentes es menor a media longitud de onda (siguiendo lo analizado en la sección anterior). Las simulaciones mostradas fueron hechas con f= 4kHz, lo que implica una longitud de onda λ = 8,6 cm. Si las fuentes están a menos de la mitad, no habrá problema de interferencia entre cajas adyacentes.
La siguiente figura muestra el patrón de interferencia para 65 fuentes (con 1 cm de separación entre ellas), donde se puede notar que esta atenuación de las zonas laterales hace que prácticamente toda la energía de las ondas se concentre casi en un "rayo" que se mueve en línea recta.
En la siguiente figura se compara el resultado del nivel de presión en la pantalla (con la escala horizontal en centímetros) para todos los arreglos de fuentes simulados.
2.1. Diagramas de ondas y de energía
En los programas que simulan ondas es común ver la propagación de las ondas sonoras mostrando el nivel de presión con distintos colores. En los programas que se utilizan para sistemas de sonido donde se busca lograr un nivel sonoro más o menos constante en la zona del público se utilizan diagramas que representan el nivel de energía sonora promedio que alcanza cada lugar. En algunos casos cuando hay varias fuentes puntuales se representan ondas circulares o esféricas saliendo de cada fuente y se superponen gráficamente todas estas líneas.
En la figura siguiente se muestran dos representaciones. La de la derecha muestra ondas circulares saliendo de cada fuente. Las líneas nodales quedarían representadas aquí por puntos donde las líneas de los círculos de dos fuentes diferentes se cruzan. La de la izquierda representa el nivel de energía promedio que podría detectarse en cada lugar. Es importante comprender que son dos maneras de representar la misma situación. Cuando se muestran las ondas, es como si se hubiese tomado una captura instantánea del campo sonoro que se está propagando (es una imagen "congelada" que corresponde a un instante). Cuando se muestran los diagramas de energía, lo que se representa es lo que se obtiene como nivel de energía promedio (en realidad se denomina valor eficaz o rms) cuando se permite que las ondas sigan fluyendo y es considera un determinado tiempo para calcular ese "promedio" de energía.
En todos los casos la distancia entre fuentes es igual a la longitud de onda, lo que genera líneas nodales (recordemos que para que no existan líneas nodales la distancia entre fuentes debe ser menor que la mitad de la longitud de onda). En la fuente puntual no hay cancelaciones y la representación de energía se muestra completamente blanca.
En la siguiente figura se repiten los casos pero esta vez con una distancia igual a λ/2
¿Por qué aparece una especie de "cono" si en estos casos no hay líneas nodales? Eso dependerá de la escala de niveles de gris utilizada para representar ese promedio de energía. Lo que ese cono nos dice es que si bien no hay líneas nodales si hay una variación entre la energía emitida en la parte central y la que se obtiene a determinados ángulos.
3. Arreglo lineal (line array)
Un line array es un sistema de altavoces que se compone de una serie de cajas idénticas unidas entre sí en una estructura en línea, todos recibiendo señal con igual fase. Crean en conjunto una fuente cuasi-lineal de sonido. La distancia entre las cajas debe ser tal que evite la aparición de líneas nodales intermedias. Esto se logra con distancias entre cajas menores a media longitud de onda. De este modo interfieren constructivamente entre sí, para enviar ondas de sonido más direccionales que los altavoces tradicionales.
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Esto da lugar a un incremento importante de la directividad (Q) del sistema, lo que provoca un incremento de la distancia crítica. Si la distancia crítica se incrementa, aumenta la zona en la que se percibe el campo directo o campo libre, por encima del campo reverberante.
Existe una ventaja adicional que tiene que ver con la caída de nivel al aumentar la distancia. Vimos en clases anteriores que la caída de nivel con la distancia no era producto de pérdidas de energía, sino de que la energía se distribuía en forma esférica. Un line array genera que las ondas se concentren en una zona del espacio sin abrirse demasiado y por lo tanto su decaimiento es menor. Veremos en breve de cuánto es y por qué se produce.
Si bien la primera propuesta de utilizar un sistema de este tipo fue hecha por Harry Olson en 1957, recién en un trabajo de 1992 (C. Heil, M. Urban, “Sound Fields Radiated by Multiple Sound Source Arrays”, 92nd AES Convention, Vienna, March 24-27, 1992) hizo una propuesta muy concreta que dio lugar posteriormente al line array V-DOSC de L-Acoustics. Hoy es sumamente utilizado en las instalaciones de sonido profesional.
En la figura siguiente se compara la animación con el esquema presentado por Christian Heil en un segundo trabajo presentado en 2001 en la convención 111 de AES en Nueva York, posteriormente publicado en el Journal de la AES en 2003. Puede notarse que el esquema de Heil está algo simplificado, pero resulta útil para tener una idea general del comportamiento.
En el epígrafe de la figura tomada del trabajo de Heil (Figura 1 del trabajo de 2003) se lee que en el campo cercano el nivel cae 3 dB por cada duplicación de la distancia y en el campo lejano cae 6 dB al duplicar.
El campo sonoro provocado por una fuente lineal ideal (que correspondería a imaginar infinitas fuentes puntuales a lo largo de una línea emitiendo en forma sincronizada) generaría un patrón como el de la figura anterior del paper de Heil. Esto es semejante a lo que se conocía en Física de Ondas como patrón de difracción de una ranura lineal. La solución exacta del patrón de emisión por difracción es muy complicada, con lo que suelen considerarse dos aproximaciones: la de Fresnel (que da una solución muy aproximada al campo cercano a la fuente) y la de Franhoufer (que da una solución muy aproximada en el campo lejano de la fuente). La zona de Fresnel en el caso del arreglo lineal se corresponde con la zona rectangular ABCD de la figura anterior. La zona de Franhoufer se corresponde con el "cono" que comienza a partir de la línea BC.
El patrón de emisión en la zona de Fresnel tiende a ser cilíndrico. El de la zona de Franhoufer tiende a ser un sector esférico (un cono), como se ilustra en la anterior figura (Figura 12 del paper original de Heil de 1992).
Link al paper de 1992 (propuesta inicial)
Heil, C., & Urban, M. (1992, March). Sound fields radiated by multiple sound sources arrays. In Audio Engineering Society Convention 92. Audio Engineering Society.
Link al paper de 2003 (propuesta con actualizaciones)
Urban, M., Heil, C., & Bauman, P. (2003). Wavefront sculpture technology. Journal of the Audio Engineering Society, 51(10), 912-932.
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La siguiente figura contiene datos técnicos de un line array donde se indica el factor de directividad Q = 31 y el índice de directividad que se calcula como 10.log(Q) = 14,9 dB
3.1. Radiación sonora de un line array
Manteniendo el caso ideal de pensar en fuentes puntuales y todas ubicadas en línea recta, podemos analizar el patrón de radiación desde un plano paralelo a la línea de fuentes y desde un plano perpendicular al mismo. Si imaginamos el arreglo de fuentes colocado en forma vertical esto correspondería a analizar una vista lateral y una vista desde arriba.
En una vista lateral, observaríamos algo como lo mostrado en las simulaciones, en donde los frentes de onda son aproximadamente líneas rectas que se mueven en forma paralela al arreglo (al menos dentro del campo cercano). Sin embargo, en una vista desde arriba todas las fuentes quedan una debajo de la otra y todo se ve como un punto que emitiría en forma circular. Lo que resulta de todo esto es que un line array emite en forma cilíndrica.
Lo que puede resultar curioso es que si colocamos el line array en posición vertical, como se muestra en la figura anterior, la radiación lateral irá para todos lados (lo que es deseable para llegar a toda la platea), pero se mantendrá sin demasiada apertura hacia arriba y hacia abajo (lo que es bueno porque no se está radiando energía en direcciones donde no hay personas).
Si cada fuente tiene un factor de directividad elevado (esto es, si es direccional), entonces la vista desde arriba mostrará la directividad de cada fuente, mientras que la vista lateral mostrará la directividad provocada por colocarlos en forma de arreglo lineal.
En la hoja de datos del line array mostrada en la sección anterior, justo encima de los datos del factor de directividad figura lo siguiente:
Directivity (H x V): 110º x 11º
Esto nos indica que la radiación de energía tiene una apertura horizontal de 110º y una vertical de 11º.
Frente de onda esférico, cilíndrico y plano
Las fuentes "teóricas" más sencillas a nivel geométrico son:
- una fuente puntual que emite un frente de ondas esférico
- una fuente lineal (línea teóricamente infinita), que emite un frente de ondas cilíndrico
- una fuente plana (toda una pared infinita), que emite un frente de ondas plano.
En una fuente puntual, el decaimiento es de 6 dB al duplicar la distancia.
En una fuente lineal, el deaimiento es de 3 dB al duplicar la distancia.
En una fuente plana no hay decaimiento al duplicar la distancia.
Una fuente puntual, debería ser efectivamente un punto o una esfera pulsante. Como esto no resulta sencillo, se genera una fuente puntual práctica colocando varios parlantes en forma de esfera formando lo que se conoce como "dodecaedro".
Una fuente lineal de tipo práctico se logra con un line array. Su comportamiento será más semejante al caso ideal cuanto más longitud tenga el arreglo, y su frecuencia máxima de funcionamiento estará limitada por la distancia entre un par de fuentes adyacentes.
La longitud total del arreglo impondrá también un límite de frecuencia baja. La fuente lineal ideal debe ser infinita, pero todo arreglo lineal práctico tendrá una determinada cantidad de metros. Esto implicará que esa longitud parecerá "más parecida al caso ideal" cuando la longitud de onda sea menor que la longitud del arreglo. Suele considerarse que el valor límite de frecuencia inferior es aquel en donde la longitud de onda coincide con la longitud total del arreglo.
Ejemplo de cálculo.
Se tiene un arreglo lineal formado por 8 parlantes separados entre sí por 20 cm. Calcular el límite de frecuencia inferior y superior de funcionamiento de ese line array.
Solución:
La separación entre parlante impone un límite de frecuencia superior, que se dará cuando la distancia entre cajas sea la mitad de la longitud de onda. Frecuencias más altas que estas generarán lineas nodales en medio de la zona del campo cercano. Si la distancia es de 20 cm, entonces la longitud de onda límite es de 40 cm. La frecuencia máxima será entonces
Claramente es una baja frecuencia para audio, cosa que comentaremos en breve.
¿Y cuál es la frecuencia mínima de funcionamiento?
Para eso tenemos que tener en cuenta la longitud total del arreglo formado en este caso por 8 parlantes. La distancia total será igual a 7 multiplicado por 0,2 m, lo que da 1,4 m. No hay error en lo anterior, sino que simplemente al medir la distancia entre dos parlantes separados por 20 cm, la distancia es 20 cm y no 40 cm. La distancia total entre extremos de 3 parlantes es 40 cm, y así siguiendo. De modo que la distancia de este arreglo es de 1,40 m. La frecuencia límite será aquella para la cual la longitud de onda coincida con la longitud total del arreglo. Por lo tanto
¿Cómo cubrir todo el rango de frecuencias con un line array?
Con un line array de más cajas (mayor longitud total) es posible alcanzar frecuencias más bajas. De todas maneras, esas frecuencias pueden ser cubiertas por sistemas independientes de emisión de graves (sub woofers) en forma independiente del line array.
El problema existe con las frecuencias más altas. Recién calculamos que con 20 cm de separación entre cajas la frecuencia más alta que puede alcanzarse es menor a 1 kHz y esto es insuficiente para audio. ¿Cómo se soluciona? Las frecuencias medias se logran colocando más parlantes de medios en línea en la misma caja, como puede verse en la siguiente figura.
Las cajas van apiladas formando una torre vertical. Si consideramos que la altura de cada caja mostrada en la figura fuera de 20 cm, entonces la frecuencia máxima sería de 860 Hz (tal como calculamos previamente). Las cajas mostradas en la figura son simétricas, pero para el análisis estaríamos considerando solamente una de las mitades ya que nos interesa la dimensión vertical del sistema. Notemos que por cada parlante de graves hay dos de medios, por lo cual la distancia entre los parlantes de medios permitirá trabajar con frecuencias de 1720 Hz.
Pero de todas maneras sigue existiendo un problema con las frecuencias altas. Para lograr alcnzar los 20 kHz se necesitarían fuentes sonoras que estuvieran demasiado juntas
Claramente no hay manera de imaginar fuentes sonoras de agudos que puedan colocarse tan cerca una de la otra, ya que el propio tamaño de la fuente (un tweeter) es mucho mayor que eso. La solución en ese caso es la de fabricar artificialmente un grupo de fuentes a partir de una sola, mediante lo que se conoce como guía de ondas.
Una guía de ondas es un sistema de canales diseñados para que tengan iguales recorridos y conviertan una fuente de alta frecuencia en un conjunto de fuentes emitiendo en fase. En la imagen que contiene un par de cajas se ven una serie de ranuras en la parte central (eje de simetría) que corresponden a la boca de salida de la guía de ondas.
El video muestra varias guías de ondas sobre una mesa. La que abro para mostrar el interior está hecha en impresora 3D y se corresponde con la simulación que puede verse en la computadora. De esta forma, conectando un driver de agudos (un tweeter con domo invertido) en un extremo se tiene el equivalente a varias fuentes en fase a una corta distancia entre ellas, lo que permite emitir agudos manteniendo todas las características de un line array.
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3.2. videos sobre Line Array
El primer video muestra el uso del programa de predicción EASE Focus para ver la cobertura de un line array cuando se modifican parámetros de inclinación de todo el sistema y de cajas individuales.
El siguiente video es de la empresa d&b. Ellos desarrollaron un modo de hacer algunos ajustes de fase en el line array para lograr que la cobertura de sonido sobre el público sea más pareja.
En el próximo video se describen cuestiones de instalación en el estadio Amsterdam Arena, lo que permite hacerse a una idea del tamaño, peso y complejidad del proceso de diseño de ubicación e instalación de las cajas.
4. Difracción de ondas
En líneas generales, el fenómeno de difracción se puede describir como una variación en el comportamiento de propagación de una onda omo consecuencia de enfrentar un obstáculo. Las ondas de más baja frecuencia tienden a rodear el obstáculo, mientras que las de más alta frecuencia tienden a generar una especie de sombra detrás del mismo. El parámetro que define cuáles frecuencias rodean y cuales no, es la relación entre la longitud de onda y el tamaño del obstáculo.
Analizaremos aquí este fenómeno característico del comportamiento de las ondas con un poco más de detalle. En principio observemos en una simulación lo que sucede cuando una onda plana se enfrenta a una pared con un pequeño orificio.
El orificio termina adoptando el papel de una nueva fuente puntual (que mantiene la frecuencia y la fase de la onda incidente.
Después de pensarlo con un poco de cuidado, este comportamiento suena razonable. Pensemos que del lado de la pared opuesto al frente de ondas todas las partículas están quietas y a presión normal previamente a que llegue el frente. Dado que solamente puede pasar energía sonora por el pequeño orificio, del otro lado se verá una perturbación periódica solamente en la boca de salida de este orificio, lo que provocará "contagio" generando propagación en todas las direcciones por igual. Esto no es más que una fuente esférica (circular en el caso de trabajar en 2D).
Pensemos ahora, qué sucedería si la pared tiene dos orificios separados por una cierta distancia entre ellos.
En este caso se genera un patrón de interferencia como el que corresponde a dos fuentes puntuales.
¿Qué esperamos que suceda con un tercer orificio ubicado en el centro entre los dos anteriores?
Claramente se producirá el patrón de interferencia de tres fuentes puntuales. Debido que estamos mirando una zona a corta distancia de los orificios, vemos el campo cercano.
¿Qué pasará con más orificios alternados por una mínima separación entre ellos?
En este caso se producirá un comportamiento semejante al que observamos en un arreglo lineal. Si la frecuencia está en el rango correcto entre la máxima frecuencia determinada por la distancia entre orificios y la mínima frecuencia determinada por la longitud total de la zona de orificios, entonces tenderá a comportarse como una onda plana que parece respetar el ancho de la zona de orificios.
En la simulación estamos trabajando con una frecuencia de 2 kHz y el ancho total de la ranura es de 32 cm. Esto significa que su frecuencia límite inferior se dará para λ = d = 0,32 m. Lo que corresponde a una frecuencia f = c/λ = 344/0,32 = 1075 Hz.
El contorno de máxima presión sobre la línea de sensores repartidos a lo largo de 2 metros tiene la siguiente forma (con un máximo en el centro).
Para una frecuencia más baja (1 kHz) tendremos el siguiente patrón de interferencia
Lo que provoca un pequeño ensanchamiento de la zona central.
Repitamos la simulación para 500 Hz y luego comparemos los tres perfiles de presión máxima.
Como puede verse en este último caso el patrón se amplia mucho, comenzando a parecerse al de una fuente puntual.
El siguiente gráfico compara los máximos de presión detectado por los sensores para las tres frecuencias utilizadas 2 kHz, 1 kHz y 500 Hz.
En toda esta secuencia observamos un comportamiento bastante similar a lo que suele describirse como el fenómeno de la difracción. Notemos que aquí en lugar de un obstáculo hay una apertura, pero lo descripto al inicio se mantiene en el sentido de que las altas frecuencias generan zonas de "luz y sombra".
La conclusión importante de los análisis anteriores es que resulta posible pensar en la difracción como el resultado de una gran cantidad de fuentes en fase una junto a la otra (un arreglo) que ocupan toda la zona de paso. Interpretada de esta manera la difracción no sería otra cosa que el patrón de interferencia resultante de una gran cantidad de fuentes puntuales en fase.
La siguiente figura muestra una representación esquemática del fenómeno de difracción de ranura (así se denomina en áreas de física) cuando incide una onda plana. Para altas frecuencias se genera casi un "haz" de ondas que copia el ancho de la ranura. Para frecuencias intermedias el haz se abre con un determinado ángulo y para bajas frecuencias se vuelve semejante al de una fuente puntual. Se dice que las "bajas frecuencias" son difractadas por la ranura. Lo que determina cuáles son bajas, medias y altas frecuencias es la relación de tamaño entre la longitud de onda y el ancho de la ranura.
Un tema interesante que se deriva de este análisis es que en el caso ideal no existiría diferencia entre tener un orificio circular que deja que una onda plana lo atraviese y tener un pistón circular que sea quien emite las ondas. Esto nos lleva a concluir que el patrón de directividad de un parlante variará con la frecuencia, volviéndose más direccional a medida que la frecuencia es más alta. La siguiente figura muestra esto en forma esquemática reemplazando el orificio por un parlante con el mismo tamaño.
En forma general, los agudos son más direccionales. En el caso de los tweeters de un sistema de sonido de varias vías, el tamaño de la membrana del tweeter se hace intencionalmente pequeña porque se pretende que el haz se abra un poco.
La difracción también se produce al enfrentar un borde cualquiera, o un obstáculo
La siguiente animación muestra una onda plana formada por la superposición de dos frecuencias. Puede verse que al atravesar el obstáculo la frecuencia más aguda produce sombra, mientras que la más grave la rodea con mayor facilidad.
Para notar mejor el efecto del "cono de sombra" se han colocado dos sensores (micrófonos) uno justo detrás del obstáculo y otro a cierta distancia. En la siguiente figura se muestra la señal emitida (imagen superior) y las registradas por ambos micrófonos. Puede notarse que la señal de alta frecuencia está muy atenuada en el primer micrófono, pero recupera algo de nivel en el segundo.
Por último, mostramos una representación esquemática simplificada del fenómeno de difracción ante un obstáculo.
5. Principio de Huygens-Fresnel
Huygens propuso este principio en la segunda mitad del siglo XVII como una manera alternativa de pensar la propagación de ondas. Cuando se lo combina con las propuestas de Fresnel (algo más de 100 años después, en 1810) respecto del fenómeno de interferencia se obtiene una poderosa herramienta de interpretación de una gran cantidad de fenómenos particulares de las ondas como la interferencia, la difracción y la refracción.
El principio de Huygens postula que si se reemplaza todo punto de un frente de ondas cualquiera por fuentes puntuales que emitan con la misma frecuencia y fase que la onda original, se obtiene el mismo patrón de propagación de ondas.
El proceso de análisis sería el siguiente: a) congele un determinado instante de propagación de una onda, b) reemplace un frente de ondas (que es cualquier grupo de puntos que tengan igual amplitud y fase, como por ejemplo cualquiera de las líneas que representan el punto máximo de las ondas) por "infinitas" fuentes puntuales, c) quite la onda original y observe el frente de ondas generado por los nuevos puntos. Los resultados de propagación coincidirán con los de la onda original.
La siguiente figura muestra el modo de interpretar el fenómeno de difracción de ranura mediante este principio. Si en lugar de infinitas fuentes se utiliza una cantidad finita de fuentes se obtiene una aproximación, que resultará muy cercana a la original si la distancia entre fuentes puntuales es menor que la longitud de onda emitida.
En la siguiente figura se muestra la simulación de una onda plana que se difracta y la versión aplicando el principio de Huygens (donde en lugar de una ranura se colocaron muchas fuentes puntuales una junto a otra ocupando la longitud de lo que era la ranura), La diferencia, claro está, es que al utilizar las fuentes puntuales las señales son emitidas hacia abajo (como hubiese sucedido en la ranura) y hacia arriba (que es un efecto que para el análisis no forma parte de nuestro foco de atención).
Dicho en otras palabras, el principio de Huygens permite "predecir" o "simular" el comportamiento de la ranura logrando coincidencia solamente si se continúa la dirección de propagación de la onda.
El principio de Huygens genera una onda "en espejo" adicional en el sentido contrario al de la propagación de la onda. El análisis es válido de uno de los lados del frente de ondas reemplazado. En 1991, Miller mostró formalmente que es posible lograr la reconstrucción del frente sin esa imagen en espejo usando "dipolos" en lugar de fuentes puntuales. Un dipolo es una fuente puntual doble en contrafase (Miller, D. (1991). Huygens's wave propagation principle corrected. Optics letters, 16 18, 1370-2) . De todas maneras, con el principio original suele ser suficiente para analizar una gran cantidad de situaciones de comportamiento complejo de las ondas.
Básicamente se trata de lo que habíamos hecho en la sección anterior, sólo que ahora descripto de un modo más formal.
Si se aplica el principio de Huygens a una onda plana que se enfrente a una ranura lineal vertical se produce un frente de ondas cilíndrico (como el que puede esperarse en el campo cercano de un line array).
Básicamente, un line array es una aplicación tecnológica del principio de Huygens para intentar generar un frente de ondas cilíndrico. Obviamente no se pueden colocar infinitas fuentes puntuales tal como requeriría Huygens, pero las aproximaciones prácticas dan buenos resultados. En principio, si las fuentes puntuales están razonablemente cercanas comparadas con la longitud de onda más corta (frecuencia más alta) que emitirá ese line array entonces puede considerarse que la separación entre ellas no será un problema. Por otro lado, su longitud total tampoco puede ser infinita, pero si es razonablemente larga la longitud total en relación con la longitud de onda más larga (frecuencia más baja), entonces los resultados serán razonables.
Hay una interesante cuestión a atender aquí porque los resultados parecen "contra intuitivos". ¿De qué modo se "abrirá" el sonido en un line array en la dirección horizontal y en la dirección vertical?
La cobertura se ensancha mucho horizontalmente (en la orientación en que el line array es más angosto) y se ensancha poco verticalmente (en la orientación en que el line array es más largo)
5.1. Arreglos con control de fase (phased array)
Al describir el principio de Huygens en la sección anterior reemplazamos la onda por un frente de ondas donde todos los puntos estuvieran en fase. Sin embargo, el principio también es válido para cualquier corte que uno realice en un patrón de propagación de ondas, siempre que la fuente puntual en cada punto del corte se reemplace con una fuente que tenga la misma fase que tenía la onda en ese punto.
Si consideramos una onda plana propagándose en el sentido que marca la flecha (con determinado ángulo) y hacemos un corte siguiendo la línea roja, obtendremos que en cada punto de la línea roja la fase de la onda es diferente.
Si quitamos la onda y reemplazamos la línea roja por una multiplicidad de fuentes puntuales con las fases correctas, obtendremos una onda que se propaga con la inclinación deseada. Será más aproximada cuanto más juntas estén las fuentes y cuanto más largo sea el arreglo.
NOTA: La mitad de la izquierda no coincide con la propagación original. La aplicación del principio de Huygens genera este efecto "espejado" en el que sólo una de las dos mitades será la que coincida con la onda que queremos representar o simular.
La siguiente es una serie de animaciones donde se va cambiando la diferencia de fases entre las fuentes que en este caso están ubicadas en forma horizontal. NOTA: El semicírculo punteado corresponde a sensores (micrófonos) que estaban ubicados allí para medir la direccionalidad de las ondas emitidas.
Caso 1: Con una cierta diferencia diferencia de fase entre fuentes se genera un campo sonoro equivalente a una fuente plana emitiendo con un ángulo.
Caso 2: Al incrementar la diferencia de fase entre fuentes el ángulo se inclina aún más.
Caso 3: El salto de fase entre fuentes es aún mayor, pero se ha cambiado el signo de esta diferencia entre fuentes adyacentes, lo que da por resultado una emisión inclinada hacia la izquierda.
Caso 4: Incrementando aun más la diferencia de fase, se inclina más el ángulo de emisión.
Caso 5: Si los cambios de fase entre fuentes adyacentes no son iguales (sino que siguen algún tipo de relación previamente calculada), pueden obtenerse patrones de emisión más extraños. En ese ejemplo las ondas tienden a concentrarse primero y luego se expanden
Caso 6: Aquí el frente de ondas tiene forma circular, pero parece que su punto de inicio (centro del círculo) estuviese bastante más atrás de la ubicación de las fuentes.
Caso 7: En este ejemplo se programaron dos secuencias de cambios de fase, lo que provoca que el sistema emita dos haces de ondas con inclinaciones hacia la izquierda y la derecha en forma simultánea.
Este tipo de procesamiento puede permitir un control muy preciso de la forma del frente de ondas. Está relacionado con un tipo de técnicas conocida como Wave Field Synthesis, o Sound Field Synthesis (síntesis de campo sonoro) en la cual se controla con precisión la emisión de cada fuente en forma independiente para lograr un tipo de propagación compleja.
5.2. Webinar Aplicaciones del principio de Huygens
En este webinar en el marco de AES Argentina hablo sobre el principio de Huygens y sus aplicaciones.
Tiene cuatro partes. En la primera (general) y la segunda (line arrays) hay una descripción muy cercana a lo que leyeron en las secciones previas. La tercera analiza un tipo de materiales acústicos que se conoce como difusor. En particular se analizan los difusores de ranura (phase grating) de tipo QRD, que veremos más adelante, con lo cual pueden considerar esta parte como opcional y dejarla para verla en ese momento. La cuarta parte es complementaria. Se refiere a aplicaciones mucho más novedosas en acústica sobre las que tenemos algunos trabajos desarrollados con el equipo de investigación y se conoce como "espejos de inversión temporal acústica". Son dispositivos tecnológicos que recrean el movimiento de las ondas en sentido inverso al natutral (tal y como si el tiempo se moviera en sentido contrario).
En la descripción del video hay un índice que los lleva directamente al comienzo de cada sección.