1.5 - Oscilación Amortiguada

 Oscilación Amortiguada

Esto complementa el capítulo 15 del libro de Serway (todo el capítulo es bibliografía obligatoria).

En particular la sección 15.6 analiza lo que sucede en un sistema oscilatorio cuando se incluye la amortiguación

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Notas complementarias al texto de Serway

El movimiento oscilatorio amortiguado de un grado de libertad (como por ejemplo el de un resorte) puede modelizarse incorporando una fuerza de rozamiento viscoso (proporcional a la velocidad) .

  $F_{visc}=-b.v = -b.x'$ , 

donde b es el coeficiente de amortiguamiento.

La ecuación queda entonces $\sum F=m.a$, o sea $-k.x-b.x'=m.x''$ 

Esta ecuación se puede acomodar para adoptar una forma más general (que podría encontrarse en algún tipo de tablas con las soluciones generales) .

$x''+2\alpha x' + \omega_0^2 x =0$ 

Si lo relacionamos con el resorte, tenemos $\alpha=\frac{b}{2m}$ y $\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$ 

El parámetro $\alpha$ es la constante de atenuación, y $\omega_0$ es la frecuencia angular natural (o propia) sin atenuación.

NOTA: Prestar atención a los nombres y a las variables que estamos utilizando ya que se prestan a confusión. Hemos hablado de $b$ (coeficiente de amortiguamiento) que es el factor que multiplica a la velocidad en la ecuación diferencial, y de $\alpha$ (constante de atenuación) que es algo raro por el momento ya que sería la mitad del coeficiente de la x’ cuando la ecuación está normalizada (esto es, cuando el coeficiente de x’’ es uno). Pero a esto se sumará otro parámetro más que utilizaremos pronto y que llamaremos factor de amortiguamiento y que representaremos con la letra zeta griega ($\zeta$). Todos están relacionados entre sí, pero no valen lo mismo. Los mencionamos, ya que en distintos lugares podrán ver el tema expresado utilizando uno u otro de estos parámetros.

Con estas variables en los coeficientes de la ecuación diferencial, los casos de subamortiguado, crítico y sobreamortiguado se diferencian según la comparación entre $\alpha$ y $\omega_0$ El caso más común para nuestra área sera el de $\alpha<\omega_0$ que corresponde a un sistema que está subamortiguado y dará lugar a oscilaciones con amplitud decreciente.

Solución a la ecuación diferencial $x''+2\alpha x' + \omega_0^2 x =0$

Una conjetura posible es la de intentar como solución $x=e^{rt}$ 

Queda entonces $r^2.e^{rt}+2.\alpha.r.e^{rt}+\omega_0^2.e^{rt}=0$ $\Rightarrow$ $r^2+2.\alpha.r+\omega_0^2=0$ 

Aplicando Bhaskara (para solucionar la ecuación cuadrática)

$r_{1,2}=\frac{-2\alpha \pm \sqrt{4.\alpha^2-4.\omega_0^2}}{2} =-\alpha \pm \sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}$

Normalmente, cuando se presenta una raíz de este estilo, se busca que el argumento de la raíz sea real, pero en este caso lo más común es exactamente lo contrario. Como ese valor de r será el exponente de una exponencial $x=e^{rt}$, el resultado que más nos interesa será el oscilatorio, y eso se dará cuando la raíz tenga valor complejo (cuando alguna parte sea imaginaria del exponente). De modo que volvemos a escribir sacando fuera de la raíz la unidad imaginaria e invirtiendo los términos del argumento . $r_{1,2}=-\alpha \pm j\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}$ 

Esa raíz cuadrada se anotará como $\omega.$ Quedará entonces que la solución de la ecuación diferencial con amortiguamiento viscoso, cuando $\omega_0>\alpha$ tiene componente oscilatorio (raíz de un número negativo)

El tema es que, dado que los diferentes comportamientos se producen al comparar $\alpha$ y $\omega_0$, es común en algunos ámbitos definir un nuevo parámetro, conocido como factor de amortiguamiento (letra griega zeta) como $\zeta = \frac{\alpha}{\omega_0}$ 

Sistema subamortiguado 

Si el factor es menor que 1, entonces el sistema estará subamortiguado.

La solución general de la ecuación anterior termina siendo $x(t)=A.e^{rt}=A.e^{-\alpha.t}.e^{\pm j (\omega.t)}$

Ya que al valor de la conjetura se lo puede multiplicar por cualquier número (complejo incluso) y todo lo anterior se mantiene.

Tenemos entonces que cuando el sistema está subamortiguado $\omega$ tal como lo definimos es real y el último factor exponencial de la expresión anterior tiene exponente imaginario, lo que equivale a una solución tipo coseno o seno (para casos donde se espera x(t) con valores reales). 

 $x(t)=A.e^{rt}=A.e^{-\alpha.t}.cos(\omega.t)$

Si bien no estamos desarrollando con detalle el caso de un sistema sobreamortiguado, en realidad la solución es del mismo tipo. En esa situación, $\omega$ es la raíz de un número negativo, con lo que se vuelve imaginaria, pero como está la unidad imaginaria justo antes, el total es un número real. De este modo queda una exponencial con un número real en su exponente (que incluye al valor $\alpha$ y también al resultado del $\omega$ complejo), lo que termina dando una exponencial que tiende a reducir la amplitud con el tiempo. El caso de amortiguamiento crítico, también tiene este tipo de comportamiento, pero aparecen una serie de detalles al solucionar esa ecuación diferencial que quedan fuera de programa y que requieren un poquito más de análisis de ecuaciones diferenciales. La solución del tipo propuesto es válida $x=e^{rt}$ pero es necesario tener en cuenta una segunda solución $x=t.e^{rt}.$ 

Los detalles sobre el por qué de esta necesidad quedan fuera del alcance de este curso, pero para tranquilizar un poco los ánimos, se trata de un caso extremadamente infrecuente (equivalente a considerar que al tirar una moneda al aire pudiese caer de canto y quedar parada en esa posición)

Estas ecuaciones indican cómo se comporta el sistema cuando se lo aparta del equilibrio y se lo libera. Si el sistema está subamortiguado, y se lo desplaza de la posición de equilibrio para luego soltarlo, dicha posición inicial será su amplitud para t=0 (aquivalente a A en la ecuación) y se notará que oscilará con valores máximos relativos que decrecen progresivamente con el tiempo siguiendo una envolvente exponencial. Hay que tener en cuenta que también podría apartarse del equilibrio al sistema mediante una fuerza impulsiva inicial que luego se abandona o una velocidad inicial, o incluso una combinación de esas situaciones. En todos esos casos la solución es la misma, aunque para hallar los valores de la ecuación habría que igualar la ecuación de x’’ o x’ en tiempo t=0 para obtener todos los parámetros.

En lo que sigue analizaremos cómo afecta al sistema cuando la perturbación no es solamente un estado inicial, sino que está sometido a una oscilación forzada que se mantiene todo el tiempo.

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Ejercicio gráfico: La siguiente figura en fooplot se corresponde con una oscilación amortiguada con los siguientes parámetros:  α = 1/2;   ω0 = 2. En ese caso ζ = α / ω0 = 0,25

Se muestra en una gráfica de fooplot color negro la solución completa y en rojo una versión simplificada de la solución que consiste en aplicar la misma envolvente exponencial a una oscilación pura de frecuencia ω0.  La diferencia entre la curva negra y la roja sirve para comparar cuánto se aparta la solución de la frecuencia natural al modificar los parámetros.

ecuación completa = exp(-x/2)*cos(2*pi*sqrt(2^2-(1/2)^2)*x)

ecuación aproximada = exp(-x/2)*cos(2*pi*2*x)

El siguiente link lleva a la página de fooplot con estas ecuaciones y esa gráfica, permitiendo explorar diferentes opciones cuando el coeficiente de atenuación se acerca o se aleja más de ω0

link al gráfico interactivo

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Si se conoce una gráfica de oscilación amortiguada, es posible obtener los parámetros de la ecuación tomando valores de algunos puntos. En particular resulta sencillo si se consideran los máximos relativos de oscilaciones sucesivas

Si por ejemplo conocemos los valores (t1,y1) y (t2,y2) indicados en el gráfico, es posible calcular el valor de ω = 1/(t2-t1). En rigor de verdad, conviene considerar un intervalo de tiempo que incluya varios períodos para que el error de medición sea menor, pero la lógica es la misma. De modo semejante se puede mostrar fácilmente que 

$$y_2/y_1=A.e^{-\alpha .(t_2-t_1)}$$

De donde resulta sencillo despejar el valor de α

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El siguiente link corresponde a cómo instalar Matlab online (y contiene código para graficar este tipo de curvas)

link a página describiendo Matlab online